關(guān)于圓錐曲線探究性問題破解的教學(xué)指導(dǎo)

［摘 要］ 對(duì)于圓錐曲線探究性問題的教學(xué)，研究者建議從構(gòu)建問題的形式和知識(shí)內(nèi)容的角度入手，引導(dǎo)學(xué)生整合解題策略. 在實(shí)例指導(dǎo)環(huán)節(jié)中，關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生依照解題策略逐步構(gòu)建思路，并總結(jié)方法經(jīng)驗(yàn). 文章按照“問題探索—策略解讀—實(shí)例指導(dǎo)”的流程開展教學(xué)探究.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；探究性；模型；教學(xué)指導(dǎo)

作者簡(jiǎn)介：余建平（1970—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲杭州市教壇新秀、淳安縣數(shù)學(xué)名師等榮譽(yù).

問題探索

圓錐曲線中的探究性問題較為常見，從主體內(nèi)容來看，主要有兩類：一是探索證明直線與曲線的數(shù)量關(guān)系，如相等或不相等；二是探索證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素的位置關(guān)系，如直線與曲線相切，直線過定點(diǎn)等.

探究性問題的解析突破，核心方法是根據(jù)直線與曲線的性質(zhì)、位置關(guān)系等先探索分析，再通過代數(shù)計(jì)算來確定結(jié)論. 圓錐曲線探究性問題的解析過程充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，即先對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，再確定后續(xù)的解析思路.

對(duì)于圓錐曲線探究性問題的教學(xué)，建議設(shè)置探究專題，探索解題模型，生成相應(yīng)的解題模板，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行解題指導(dǎo). 在解題指導(dǎo)過程中，建議根據(jù)不同題型，引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn).

策略解讀

對(duì)于圓錐曲線探究性問題，常設(shè)定問題條件，探索結(jié)論是否成立，對(duì)于該類問題可以采用一定的方法策略，根據(jù)題設(shè)條件來構(gòu)建思路，下面針對(duì)常見的情形總結(jié)方法.

1. 注意事項(xiàng)

對(duì)于圓錐曲線探索性問題，建議采用“先假設(shè)，再驗(yàn)證”的解析思路，即先假設(shè)結(jié)論成立或存在，再推導(dǎo)滿足條件的結(jié)論. 若最終推導(dǎo)正確，則假設(shè)成立；若推導(dǎo)出現(xiàn)互斥或相悖，則假設(shè)不成立. 需要注意以下三點(diǎn)：

（1）當(dāng)條件與結(jié)論不唯一時(shí)，注意分類討論；

（2）若給出了結(jié)論，需要推導(dǎo)其存在的條件，則可先假設(shè)結(jié)論成立，再推導(dǎo)條件；

（3）若探究性問題的結(jié)論與條件均未知，此情形難以用常規(guī)方法求解，則需要開放思維，使用特殊方法，如特殊值法求解.

2. 解題步驟

對(duì)于圓錐曲線探索性問題，常規(guī)的破解思路為“肯定順推”，即需要將不確定的問題明確化，通常分為三個(gè)步驟.

第一步，假設(shè)存在滿足條件的元素，如常數(shù)、點(diǎn)、直線或曲線，再引入?yún)⒆兞浚?/p>

第二步，整合題設(shè)條件，列出關(guān)于參變量的方程或不等式；

第三步，解析方程或不等式，若滿足條件，則結(jié)論成立；若不滿足條件或無解，則結(jié)論不成立.

實(shí)例指導(dǎo)

開展圓錐曲線探究性問題破解指導(dǎo)，需要根據(jù)問題類型來確定具體思路. 整個(gè)過程按照上述總結(jié)的解題策略，分步構(gòu)建，逐步探究.

1. 探究點(diǎn)的存在

例1 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F（2，0），點(diǎn)B（2，－）在橢圓C上，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線y＝kx（k≠0）與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸相交于點(diǎn)M，N. 探究：在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1

思路指導(dǎo) 本題第（2）問是一個(gè)與點(diǎn)的位置相關(guān)的探究性問題，其背景是橢圓與直線相交，旨在探索是否存在點(diǎn)P使得∠MPN始終為直角. 根據(jù)上述總結(jié)的解題策略，建議指導(dǎo)學(xué)生按照“肯定順推”的思路去破解.

對(duì)于問題所提的核心要求——∠MPN始終為直角，可以從向量的角度進(jìn)行構(gòu)建，即∠MPN=90°？圯·=0，從而將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，再判斷實(shí)數(shù)k對(duì)結(jié)論是否有影響.

過程構(gòu)建 （1）橢圓C的方程為+=1.

（2）根據(jù)上述思路分析可知，整個(gè)過程分為三個(gè)步驟.

第一步，假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（x，0），E（x，y），x＞0，則F（－x，－y）.

第二步，若∠MPN為直角，則·=0. 聯(lián)立直線EF與橢圓的方程，得+=1，y=kx.除去y，并整理得（1+2k2）·x2－8=0，解得x=，則y=. 又點(diǎn)A（－2，0），所以直線AE的方程為y=（x+2）. 所以點(diǎn)M0，. 同理可得點(diǎn)N0，. 所以，=－x，，=－x，. 因?yàn)椤?0，所以－x，·－x，=0，整理得x－4=0.

第三步，解方程x－4=0，得x=2或x=－2. 分析其滿足條件，所以存在點(diǎn)P使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2， 0），（-2，0）.

解后思考 上述過程探究的是點(diǎn)的存在性，采用的是“肯定順推”的思路，即先假設(shè)其存在，然后進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)證. 整個(gè)過程分為三個(gè)步驟，核心步驟為幾何條件的向量化，具體來說，即∠MPN=90°？圯·=0. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾何條件的向量化或代數(shù)化的表達(dá)方式.

2. 探究參數(shù)取值

例2 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F，F(xiàn)，離心率為，又知拋物線x2=4y在點(diǎn)P（2，1）處的切線恰好經(jīng)過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)M（－4，0），斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF的斜率分別為k，k. 探索：是否存在常數(shù)λ，使得kk＋kk＝λkk？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路指導(dǎo) 本題第（2）問是與斜率相關(guān)的參數(shù)探究性問題，探索是否存在常數(shù)λ，使得kk＋kk＝λkk. 問題的背景是橢圓與直線相交，關(guān)鍵在于斜率的計(jì)算與構(gòu)建. 突破思路為“肯定順推”.

過程構(gòu)建 （1）先求出拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y=x-1，顯然經(jīng)過x軸上的點(diǎn)（1，0），所以橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），可得c=1；再結(jié)合橢圓的離心率求得a=，b=1. 所以，橢圓C的方程為+y2=1.

（2）根據(jù)上述思路分析可知，整個(gè)過程分為三個(gè)步驟.

第一步，假設(shè)存在滿足條件的常數(shù)λ，設(shè)A（x，y），B（x，y），直線l的方程為y=k（x+4）.

第二步，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得y=k（x+4），+y2=1.除去y，并整理得（1+2k2）x2+16k2x+32k2－2=0. 根據(jù)題設(shè)條件可得Δ>0，x+x=－，xx=.又F（-1，0），k=，k=，所以+=·+.

第三步，整體代換變形，即+==，所以kk＋kk＝kk. 所以，存在滿足條件的常數(shù)λ=.

解后思考 上述求解核心在于整體代換變形. 在處理斜率問題時(shí)，必須掌握用直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)來構(gòu)建斜率的方法和技巧. 這類問題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提出了較高的要求，同時(shí)也使得在代數(shù)式的變形過程中，合理運(yùn)用整體代換和參數(shù)引入等方法和技巧變得至關(guān)重要.

教學(xué)建議

圓錐曲線探究性問題的教學(xué)指導(dǎo)應(yīng)當(dāng)注重問題的特點(diǎn)，從綜合知識(shí)的角度深入分析，合理分類，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題策略，形成解題模板. 針對(duì)整個(gè)教學(xué)過程，筆者提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 確定常見類型，解讀問題特點(diǎn)

圓錐曲線探究性問題十分常見，建議在教學(xué)指導(dǎo)時(shí)對(duì)問題進(jìn)行分類，并靈活調(diào)整分類標(biāo)準(zhǔn). 例如，直線與曲線結(jié)合的背景，結(jié)論的類型和核心條件的類型等. 在此基礎(chǔ)上，深入解讀問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注探索性問題的破解思路，即構(gòu)建直線與曲線的位置關(guān)系，確定需要探索的條件，如點(diǎn)存在、參數(shù)存在，以及線段之間的關(guān)系等. 在教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是探究性問題的構(gòu)建形式；二探究性問題的核心知識(shí)點(diǎn).

2. 明晰解題思路，生成解題模板

解題教學(xué)的核心任務(wù)為：引導(dǎo)學(xué)生洞察問題本質(zhì)，明確解題的策略與方法，構(gòu)建解題步驟. 因此，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)致力于探索解題模型的思路，引導(dǎo)學(xué)生深入分析問題的特征，細(xì)致拆解問題的結(jié)構(gòu). 這樣，學(xué)生就能清晰地理解“肯定順推”的基本思路，并能從設(shè)定條件、轉(zhuǎn)化構(gòu)建方程、推導(dǎo)結(jié)論這三個(gè)核心層面來建立解題思路. 同時(shí)，還需要深入解讀這三個(gè)核心層面，包括注意事項(xiàng)、轉(zhuǎn)化策略和分析流程.

3. 解題思路引導(dǎo)，整體素養(yǎng)提升

圓錐曲線探究性問題對(duì)學(xué)生的整體能力提出了較高的要求，教學(xué)中必須培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，包括分析過程、選擇方法、運(yùn)算轉(zhuǎn)換、判斷結(jié)論等. 以上述探究過程為例，解題分三步完成：第一步，讀題審題，把握位置關(guān)系；第二步，根據(jù)問題條件，選擇解題方法；第三步，提煉核心條件，并轉(zhuǎn)化構(gòu)建. 實(shí)際上，解題過程也是整合思想方法的過程，涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等. 因此，在解題指導(dǎo)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的融入，引導(dǎo)學(xué)生通過領(lǐng)悟和體會(huì)，提升綜合素質(zhì).

寫在最后

在圓錐曲線探究性問題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生深入解讀問題的特點(diǎn)，探索其基本的構(gòu)建形式，從而生成對(duì)應(yīng)的解題策略. 在解題指導(dǎo)環(huán)節(jié)中，針對(duì)具體問題，引導(dǎo)學(xué)生分步探究，并適時(shí)總結(jié)和思考，從而培養(yǎng)他們的解題思維.