了解數(shù)的擴充過程，把握數(shù)的學(xué)習(xí)共性

第4章 實數(shù)

領(lǐng)" 銜" 人：黃秀旺（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

數(shù)的概念是由人類生產(chǎn)和生活的實踐需要逐漸形成和發(fā)展起來的。在人類歷史發(fā)展的最初階段，由于計量的需要，形成了自然數(shù)的概念；為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù)；為了表示各種具有相反意義的量，人們又引進了零和負數(shù)。

經(jīng)歷數(shù)的擴充過程

在小學(xué)階段，我們重點學(xué)習(xí)了整數(shù)與分數(shù)的概念以及相關(guān)的運算。到了七年級，我們進一步學(xué)習(xí)了負數(shù)，把數(shù)的概念擴充到有理數(shù)。隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會發(fā)現(xiàn)“正方形對角線和邊長的比不能用有理數(shù)表示”，為了解決這個問題，數(shù)的概念是否需要繼續(xù)擴充呢？這時，我們引進了無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。那么，對于方程x2=-1，同學(xué)們能否在實數(shù)范圍中找到它的解呢？

整體感知本章學(xué)習(xí)思路

在學(xué)習(xí)本章之前，大家已經(jīng)能對有理數(shù)進行加、減、乘、除、乘方等運算，其中減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，那么，乘方有逆運算嗎？

本章從乘方運算的逆運算——開方運算入手，再用諸如x2=2，x2=3，x2=5的式子，求出無限不循環(huán)小數(shù)，從而引入無理數(shù)，使數(shù)的范圍由有理數(shù)擴充到實數(shù)。然后，類比有理數(shù)及其運算，引入相反數(shù)、絕對值等概念，從而幫助我們掌握實數(shù)的運算和運算律。內(nèi)容安排層層遞進，旨在讓我們能夠理解無理數(shù)的概念、表示方式，以及求出近似值，掌握實數(shù)的運算規(guī)律。

系統(tǒng)概括數(shù)的學(xué)習(xí)共性

從小學(xué)到初中，我們可以把數(shù)的學(xué)習(xí)過程劃分為自然數(shù)階段、分數(shù)（小數(shù)）階段、有理數(shù)階段、實數(shù)階段。

從自然數(shù)開始，我們經(jīng)歷了“引入（提出問題）→定義→表示→性質(zhì)（大小比較）→運算→運算律”的學(xué)習(xí)過程。再回顧分數(shù)（小數(shù)）及有理數(shù)（出現(xiàn)負數(shù)），不難發(fā)現(xiàn)，我們也是經(jīng)歷了以上研究過程。因此，對于實數(shù)的學(xué)習(xí)，我們也應(yīng)該從引入（提出問題：無法用有理數(shù)表示邊長為1的正方形對角線的長）開始，然后定義無理數(shù)、實數(shù)，表示實數(shù)（其關(guān)鍵就是表示無理數(shù)）。接下來，我們還要重點研究無理數(shù)的大小比較，以及含無理數(shù)算式的運算和運算律等。

綜上所述，每一次數(shù)的擴充，其研究思路、內(nèi)容以及研究方法都與前面的學(xué)習(xí)具有共性，比如從具體、特殊（例子）到一般（結(jié)論），借助圖形（數(shù)軸）將數(shù)與形結(jié)合起來，讓抽象的數(shù)有“形”，使我們對數(shù)及其運算的認識“直觀”起來。

因此，學(xué)習(xí)實數(shù)這一章，既是學(xué)習(xí)新的內(nèi)容（無理數(shù)、實數(shù)），又是對之前數(shù)的學(xué)習(xí)的回顧與總結(jié)。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）