巧用二次函數(shù)求解兩類實(shí)際問題

【摘要】 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用．本文通過對(duì)初中數(shù)學(xué)中常見的兩類實(shí)際問題進(jìn)行分析，闡述如何巧用二次函數(shù)求解這些問題，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，提高解決實(shí)際問題的能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題方法

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，且在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．通過巧用二次函數(shù)，可以有效地解決許多實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力．因此，深入研究運(yùn)用二次函數(shù)求解實(shí)際問題具有重要的意義．

1 用二次函數(shù)求解體育運(yùn)動(dòng)問題

例1 如圖1，某滑雪比賽滑道分為四段區(qū)域，運(yùn)動(dòng)員從助滑區(qū)AB的臺(tái)端A點(diǎn)出發(fā)，在助滑道AB上獲得高速度，至跳臺(tái)區(qū)BC依靠慣性配合身體動(dòng)作躍向空中，從跳臺(tái)區(qū)的末端C點(diǎn)飛出后，身體以拋物線軌跡在空中飛行，最后落在著陸區(qū)斜坡CD上，并在終點(diǎn)區(qū)DE上停留等待裁判根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作完美情況來(lái)評(píng)分．已知著陸區(qū)斜坡CD的坡度均勻，CD的垂直高度CF為60m，水平距離DF為80m．某位運(yùn)動(dòng)員的一次動(dòng)作中，在離開跳臺(tái)末端C點(diǎn)后水平前進(jìn)了20m時(shí)，高度恰好升高了20m達(dá)到拋物線的最高點(diǎn)P．

（1）請(qǐng)你建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并寫出拋物線的表達(dá)式；

（2）運(yùn)動(dòng)員在著陸區(qū)斜坡CD上著陸，可以利用斜坡的角度進(jìn)行有效的緩沖，若在終點(diǎn)區(qū)DE上著陸，則會(huì)增加受傷風(fēng)險(xiǎn)．請(qǐng)你判斷這位運(yùn)動(dòng)員此次動(dòng)作會(huì)在哪個(gè)區(qū)域著陸，并說明理由．

解析 （1）以點(diǎn)F為原點(diǎn)，地平線DG為x軸，豎直CF為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則P20，80．

設(shè)拋物線y=ax－202+80，

將點(diǎn)C0，60代入函數(shù)表達(dá)式，

得60=a0－202+80，

解得a=－120．

所以，拋物線的表達(dá)式為y=－120x－202+80．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由題意，得D0，80．

因運(yùn)動(dòng)員落地即為y=0，

即0=120x－202+80，

解得x1=－20（舍去），x2=60．

由60<80，可判斷這位運(yùn)動(dòng)員此次動(dòng)作會(huì)在著陸區(qū)斜坡CD上著陸．

評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)在體育運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用．第（1）問中，利用待定系數(shù)法進(jìn)行解答即可；第（2）問中，由題意，得D0，80，運(yùn)動(dòng)員落地即為y=0，解出x的值即可進(jìn)行判斷．

2 用二次函數(shù)解決拋體運(yùn)動(dòng)問題

例2 如圖3所示，某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點(diǎn)30m時(shí)達(dá)到最大高度40m．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點(diǎn)A，點(diǎn)A與點(diǎn)O的水平距離為50m，與地面的豎直距離為10m，AB是高度為9m的防御墻．若以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求石塊運(yùn)動(dòng)軌跡所在拋物線的解析式；

（2）試通過計(jì)算說明石塊能否飛越防御墻AB；

（3）在豎直方向上，試求石塊飛行時(shí)與坡面OA的最大距離．

解析 （1）設(shè)石塊的運(yùn)動(dòng)軌跡所在拋物線的解析式為y=ax－302+40a≠0，

把0，0代入，

得900a+40=0，

解得a=－245，

所以y=－245（x－30）2+40，

即y=－245x2+83x．

（2）把x=50代入y=－245x2+83x，

得y=2009=2229，

2229>10+9，

所以石塊能飛越防御墻AB．

（3）設(shè)直線OA的解析式為y=kxk≠0，

把50，10代入，得10=50k，

得k=15，

故直線OA的解析式為y=15x，如圖5．

設(shè)直線OA上方的拋物線上的一點(diǎn)M的坐標(biāo)為t，－245t2+83t，

過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交OA于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，則Nt，15t，

MN=－245t2+83t－15t

=－245t2+3715t

=－245t－11142+136940，

因?yàn)椋?45<0，

所以，該函數(shù)圖象開口向下，MN有最大值，

當(dāng)t=1114時(shí)，MN取最大值，最大值為136940．

所以，在豎直方向上，石塊飛行時(shí)與坡面OA的最大距離是136940米．

評(píng)析 本題主要考查了二次函數(shù)在解決拋體運(yùn)動(dòng)中的巧妙應(yīng)用．正確確定石塊運(yùn)動(dòng)軌跡所在拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．確定拋物線方程后，可運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并結(jié)合實(shí)際問題的要求進(jìn)行解題．

3 結(jié)語(yǔ)

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，巧用二次函數(shù)可以有效地解決體育運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問題．在教學(xué)過程中，教師要注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，加強(qiáng)練習(xí)與鞏固，結(jié)合實(shí)際生活幫助學(xué)生更好地理解和掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力．相信通過不斷的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，學(xué)生能夠更加熟練地運(yùn)用二次函數(shù)來(lái)解決各種實(shí)際問題，為今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

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