反比例函數(shù)綜合問題的解題策略

【摘要】本文通過對反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題、圖象面積問題以及與幾何圖形的綜合應(yīng)用進(jìn)行分析，總結(jié)出有效的解題方法，以幫助學(xué)生更好地掌握反比例函數(shù)綜合問題的求解．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；解題策略

反比例函數(shù)的綜合問題通常涉及多個知識點(diǎn)的融合，具有一定的難度和挑戰(zhàn)性．因此，掌握反比例函數(shù)綜合問題的解題策略對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力具有重要意義．

1 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D和點(diǎn)E32，4，且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若一次函數(shù)y=2x+m與反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時（點(diǎn)M可與點(diǎn)D，E重合），直接寫出m的取值范圍．

解析 （1）因反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D和點(diǎn)E32，4，

所以k=32×4=6，

所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=6x（x>0）

因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，

所以BC∥AO，BA⊥OA.

因?yàn)辄c(diǎn)E32，4，且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

所以B（3，4），所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，

代入y=6x得，y=63=2，

所以D3，2.

（2）當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)E32，4時，

則4=2×32+m，解得m=1；

當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)D3，2時，

則2=2×3+m，解得m=－4.

因一次函數(shù)y=2x+m與反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時（點(diǎn)M可與點(diǎn)D，E重合），得-4≤m≤1．

評析 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的綜合問題，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解題．第（1）問中，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥AO，BA⊥OA，再由E為BC的中點(diǎn)得到點(diǎn)B坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；第（2）問中，求出直線y=2x+m恰好經(jīng)過D和恰好經(jīng)過E時m的值，即可得到答案．

2 反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象面積的問題

例2 如圖2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1=12x（x>0）的圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，交反比例函數(shù)y2=4x（x>0）的圖象于點(diǎn)C，P為y軸上一點(diǎn)，連接PA，PC，則△APC的面積為 ．

解析 連接AO，OC，如圖3，可知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1=12x（x>0）的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y2=4x（x>0）的圖象上，AB⊥x軸，

得S△OAB=12×12=6，

S△OBC=12×4=2，

S△AOC=S△OAB－S△OBC=6－4=2，

因?yàn)锳B⊥x軸，可知AB∥y軸，

所以S△APC=S△AOC=4．

評析 本題考查反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的面積問題，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．本題中，連接AO，OC，利用S△AOC=S△OAB－S△OBC，結(jié)合三角形面積公式解題．

3 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合

例3 如圖4，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn－1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1、P2、P3…Pn都在函數(shù)y=4xx>0的圖象上，斜邊OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x軸上，則點(diǎn)A2018的坐標(biāo)為 ．

解析 可設(shè)點(diǎn)P1x，y，過P1作P1H⊥x軸于H，△P1OA1為等腰直角三角形，

可知x=y，

而y=4x，則x2=4，

得x=2（負(fù)值已舍去），

根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A14，0，

設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是4+m，m，

又y=4x，則mm+4=4，

即m2+4m－4=0，

解得m1=－2+22，

m2=－2－22，

因?yàn)閙>0，所以m=－2+22，

再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A2（42，0）；

同理得點(diǎn)A3的坐標(biāo)是43，0，以此類推，則An點(diǎn)的坐標(biāo)是4n，0．

故點(diǎn)A2018的坐標(biāo)為42018，0．

評析 本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行求解．首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，知點(diǎn)P1的橫、縱坐標(biāo)相等，再結(jié)合雙曲線的解析式得到點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（2，2），則根據(jù)三線合一求得點(diǎn)A1的坐標(biāo)；同樣求得A2點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)A1、A2點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可類推．

4 結(jié)語

反比例函數(shù)綜合問題是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，但通過對反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖象以及與其他函數(shù)、幾何圖形的綜合應(yīng)用進(jìn)行深入分析，掌握有效的解題策略和方法，就能夠順利地解決這些問題．在解題過程中，要認(rèn)真審題，分析圖形，選擇合適的解題方法，注意計算的準(zhǔn)確性，同時要善于總結(jié)歸納，舉一反三，不斷提高自己的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力．

參考文獻(xiàn)：

[1]吳鳳燕.反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題的解題策略探討[J].數(shù)理天地（初中版），2024（16）：29-30.