重視創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

【摘要】時代在進(jìn)步，社會在發(fā)展，學(xué)生在變化，教學(xué)與考試也不能故步自封，教學(xué)改革一直在進(jìn)行，比如考試試題的創(chuàng)新.“新材料、新情境、新問題”是近年中考命題堅持的理念，所以試卷中出現(xiàn)了大量立意新穎別致的創(chuàng)新試題，此類試題以創(chuàng)建的新情境為背景，在考查數(shù)學(xué)知識的同時，注重對學(xué)生解題能力的考查，旨在提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)新試題；中考；學(xué)科素養(yǎng)

近幾年，數(shù)學(xué)中考出現(xiàn)了大量的創(chuàng)新型試題，這些創(chuàng)新題不僅測試學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，還著重考查學(xué)生的創(chuàng)新思維、解決問題的能力以及數(shù)學(xué)思想方法的運用.這類題目內(nèi)容新穎，常伴有“定義”“規(guī)定”等字眼，使用抽象的語言給出新的定義、運算或符號.考生需要仔細(xì)揣摩和理解新定義的含義，并運用新定義解決相關(guān)問題.這類題目考查考生的理解與運算、信息遷移的能力，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力.

1 定義新運算

例1 （2024·四川眉山·中考）定義運算：ab=a+2ba－b，例如43=（4+2×3）（4－3），則函數(shù)y=（x+1）2的最小值為（ ）

（A）－21. （B）－9. （C）－7. （D）－5.

分析 本題考查求二次函數(shù)的最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)等性質(zhì)求最值即可．

詳解 由題意得，y=x+12=（x+1+2×2）（x+1－2）=（x+5）（x－1），

即y=x2+4x－5=x+22－9，

所以當(dāng)x=－2時，函數(shù)y=x+12的最小值為－9．

故選：（B）．

點評 本題考查了新定義計算，正確理解定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．創(chuàng)新型試題能夠考查更高層次的思維能力.傳統(tǒng)試題多注重知識的記憶，創(chuàng)新試題則側(cè)重于知識的運用、分析、綜合和評價，比如讓學(xué)生設(shè)計一個實驗方案來驗證物理定律，或者對社會熱點問題提出創(chuàng)新解決方案，這可以提升學(xué)生的創(chuàng)新思維和批判性思維能力.

2 定義新概念

例2 （2024·四川廣元·中考）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．

（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且cosα=74，β=30°，求該介質(zhì)的折射率；

（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖1所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖2，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面積．

分析 （1）根據(jù)cosα的值，設(shè)b=7x，則c=4x，利用勾股定理求出a=（4x）2－（7x）2=3x，進(jìn)而可得sinα=ac=3x4x=34，問題可解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為32，根據(jù)sinαsinβ=sin60°sinβ=32，可得sinβ=33，在Rt△ODC中，設(shè)OD=3x，OC=3x，問題隨之得解．

詳解 （1）因為cosα=74，

所以如圖3，設(shè)b=7x，則c=4x，

由勾股定理得，a=（4x）2－（7x）2=3x，

所以sinα=ac=3x4x=34，又因為β=30°，所以sinβ=sin30°=12，所以折射率為：sinαsinβ=3412=32．

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為32，

因為α=60°，所以sinαsinβ=sin60°sinβ=32，所以sinβ=33．

因為四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點，所以AD=2OD，∠D=90°，

又因為∠OCD=β，所以sin∠OCD=sinβ=33，

在Rt△ODC中，設(shè)OD=3x，OC=3x，

由勾股定理得，CD=（3x）2－（3x）2=6x，所以tanβ=ODCD=3x6x=12．

又因為CD=10cm，所以O(shè)D10=12，所以O(shè)D=52cm，所以AD=102cm，

所以截面ABCD的面積為：102×10=1002cm2．

點評 本題以定義新概念介質(zhì)的“絕對折射率”為背景，考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識.創(chuàng)新型試題有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，其新穎的形式和內(nèi)容，讓學(xué)生不再被動地接受知識，而是主動探索.

3 定義新規(guī)則

例3 （2024·四川瀘州·中考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先向上平移aa>0個單位，再繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的ρa(bǔ)，θ變換．如點A2，0按照ρ1，90°變換后得到點A′的坐標(biāo)為－1，2，則點B3，－1按照ρ2，105°變換后得到點B′的坐標(biāo)為 ．

分析 根據(jù)題意，點B3，－1向上平移2個單位，得到點C3，1，再根據(jù)題意將點C3，1繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)105°，得到OB′=OC=2，∠B′OD=45°，據(jù)此求解即可．

詳解 根據(jù)題意，點B3，－1向上平移2個單位，得到點C3，1，

所以CE=1，OE=3，

所以O(shè)C=12+32=2，sin∠COE=CEOC=12，所以∠COE=30°，

根據(jù)題意，將點C3，1繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)105°，

所以∠B′OE=105°+30°=135°，作B′D⊥x軸于點D，

所以O(shè)B′=OC=2，∠B′OD=180°－135°=45°，

所以B′D=OD=OB′·sin45°=2，所以點B′的坐標(biāo)為－2，2，

故答案為：－2，2．

點評 本題定義新規(guī)則“圖形的ρa(bǔ)，θ變換”，通過圖形的ρa(bǔ)，θ變換，考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形等基礎(chǔ)知識．此類創(chuàng)新型試題有助于選拔創(chuàng)新人才.在升學(xué)考試或者各類競賽中，創(chuàng)新試題能夠?qū)⒕哂袆?chuàng)新意識、能靈活運用知識的學(xué)生篩選出來，挖掘有潛力的人才.