借助化歸思想高效處理初中數(shù)學試題

【摘要】與小學數(shù)學知識相比較來說，初中數(shù)學教學內(nèi)容顯得更為抽象和復雜，學生要學習很多數(shù)學定義、定理和公式等內(nèi)容.很多初中生在數(shù)學學習過程中都會遇到不少障礙，特別是在解題環(huán)節(jié)，他們往往會遇到一些難題，以至于陷入到困境之中．這時初中數(shù)學教師可指導學生借助化歸思想分析和解答這些試題，幫助他們順利突破解題障礙，增強數(shù)學學習自信．本文針對如何借助化歸思想高效處理初中數(shù)學試題進行探討，并羅列部分解題案例．

【關(guān)鍵詞】化歸思想；初中數(shù)學；解題

通俗來講，化歸思想即為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的統(tǒng)稱，本質(zhì)上是實現(xiàn)把問題從、從難到易、從繁到簡的轉(zhuǎn)變，既屬于常用解題思想之一，還是一個有效的思維策略，更是數(shù)學思維的一種．針對初中數(shù)學教學而言，隨著所學內(nèi)容難度與深度的增加，相應的試題難度也有所增大，在平常的解題訓練中，當使用常規(guī)方法難以解題時，教師便可以引領(lǐng)學生結(jié)合具體題目靈活使用化歸思想，使其找到更為簡潔的解題思路，助推他們高效地處理數(shù)學試題．

1 借助化歸思想實現(xiàn)未知往已知的轉(zhuǎn)變

例1 在圖1中，有一個等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=CD，AC和BD兩條對角線的交點是O，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，那么AC是多長？

分析 解答這一題目時，可以該等腰梯形的對角線是垂直關(guān)系為切入點，采用平移對角線AC的方式把未知的等腰梯形往已知的平行四邊形和直角三角形進轉(zhuǎn)變，結(jié)合化歸思想輕松求出AC的長度[1]．

詳解 根據(jù)題意可經(jīng)過D點畫出輔助線，即DE∥AC，且與BC的延長線在E點相交，

則AD=CE=3，AC=DE，

BE=BC+CE=5+3=8，

因為AC⊥BD，

所以BD⊥DE．

又因為這是一個等腰梯形，

那么兩條對角線AC=BD，

則BD=DE．

故在Rt△BDE里面，根據(jù)勾股定理可得BD2+DE2=BE2，

代入相關(guān)數(shù)據(jù)后求得BD=22，BE=42，

則AC=DE=42

所以AC的長度是42．

2 借助化歸思想實現(xiàn)陌生往熟悉的轉(zhuǎn)變

例2 請解一元二次方程2（x－1）2－5（x－1）+2=0．

分析 雖然題目中明確指出這是一個一元二次方程，但是如果直接將原方程展開以后進行求解的話，將會變得十分繁瑣和復雜，通過對原方程式的觀察發(fā)現(xiàn)，可設(shè)x－1=y，從而借助化歸思想實現(xiàn)陌生往熟悉的轉(zhuǎn)變，通過求解新方程獲得最終結(jié)果．

詳解 根據(jù)題意可設(shè)x－1=y，

那么原方程就變化為2y2－5y+2=0，

據(jù)此能夠求得y1=2，y2=12，

當y1=2時，x－1=2，求得x1=3，

當y2=12，x－1=12，求得x2=32，

所以該方程的解為x1=3，x2=32．

3 借助化歸思想實現(xiàn)復雜往簡單的轉(zhuǎn)變

例3 已知x2+x－1=0，那么x3+2x2+2009的值是什么？

分析 針對這一題，從表面上來看就顯得較為復雜，題干題目提供的已知信息較少，無法直接求出x的值，但是可借助化歸思想，采用降次或者化零為整等方式展開轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)由復雜往簡單的轉(zhuǎn)變，從而降低解題難度[2]．

詳解 根據(jù)x2+x－1=0能夠得到x2=1－x，

那么x3+x2+2009

=x（1－x）+2（1－x）+2009

=－x2－x+2011

=－（x2+x－1）+2010

=2010，

所以x3+x2+2009的值是2010．

4 借助化歸思想實現(xiàn)一般往特殊的轉(zhuǎn)變

例4 在圖2中，∠AOB為定角，一個定點P處在∠AOB的角平分線之上，連接OP，然后以O(shè)P為弦畫出一個圓，同OA，OB分別相交于C，D兩點，請證明OC+OD為定值．

分析 處理這道題目時，可借助化歸思想實現(xiàn)一般往特殊的轉(zhuǎn)變，即為先將一般性問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥庑詥栴}，再進行求解，然后通過研究特殊性情況處理問題，由此獲得結(jié)論．在本題中，可將題目里面一般情況先展開特殊化處理，如圖3所示，如果OP是該圓內(nèi)一條特殊的弦，也就是直徑，長度設(shè)為L，∠AOB=2α，證明在這種特殊情況下OC+OD為定值，然后證明一般情況下OC+OD也為定值．

詳解 如圖3所示，當OP從圓心經(jīng)過時，

設(shè)OP=L，∠AOB=2α，

則∠ODP=∠OCP=90°，

OC+OD=2OD=2Lcosα，

故OC+OD為定值；

當OP不從圓心經(jīng)過時，在圖2中以添加輔助線PF⊥OB，垂足為F點，PE⊥OA，垂足為E點，

由于OP是∠AOB的角平分線，

那么PE=PF，OE=OF=Lcosα，

故∠PDF=∠PCE，

則Rt△PDF≌Rt△PCE，

由此得到DF=CE，

OC+OD=（OE－CE）+（OF+FD）=OE+OF=2Lcosα，

所以O(shè)C+OD也為定值．

5 借助化歸思想實現(xiàn)代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)變

例5 已知m和n均為正數(shù)，其中兩者之和是3，設(shè)S=m2+4+n2+4，那么S的最小值是什么？

分析 從表面上來看，這是一道代數(shù)式試題，不過直接求解的難度較大，很難找到切入點，所以要仔細分析題干中給出的已知條件，發(fā)現(xiàn)可通過圖形樣式將代數(shù)式給展現(xiàn)出來，實現(xiàn)代數(shù)往幾何的轉(zhuǎn)變，再結(jié)合圖形的特征求得結(jié)果[3]．

詳解 根據(jù)題意可畫出圖4，讓線段AB與DE在C點相交，分別連接AD和BE，

那么AD=BE=2，m+n=AB=3，

而且∠CBE=∠CAD=90°，

這時CD+CE的最小值即為S的最小值，

通過對圖形的觀察能夠發(fā)現(xiàn)，當CD+CE有最小值時，需要E，C，D三個點位于同一條直線上面，而且C點為線段AB的中點，就有S的最小值，

假設(shè)AC=m，CB=n，

由于m+n=AB=3，

那么能夠得到AC＝BC＝12AB=32，

也就是m=n=32，

則在Rt△BEC和Rt△ADC里面，

可以得到CD=AD2+AC2=4+94=52，

同時CE=BC2+BE2=52，

故DE=S=CE+CD=52+52=5，

所以S的最小值便為5．

例6 在一個△ABC里面，三條邊分別為a，b，c，其中a2+b2+c2=ab+ac+bc，那么△ABC是一個什么形狀的三角形？

分析 當解答這道題目時，通過對題干內(nèi)容的閱讀和研究發(fā)現(xiàn)，提供代數(shù)式十分關(guān)鍵，是解題突破口，盡管這是一道判斷三角形形狀的幾何類題試題，不過可以借助化歸思想實現(xiàn)幾何往代數(shù)的轉(zhuǎn)變，利用數(shù)的經(jīng)精確性進行解題，最終用湊完全平方式的方法完成答題，準確判斷出△ABC的形狀．

詳解 根據(jù)a2+b2+c2=ab+ac+bc能夠得到2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，

也就是a2－2ab+b2+a2－2ac+c2+b2－2bc+c2=0，

由此得到（a－b）2+（a－c）2+（b－c）2=0，

要想讓上述成立，只能是a－b=0，a－c=0，b－c=0，

據(jù)此得到a=b=c，由此表明這個三角形的三條邊長度是一樣的，

所以△ABC的形狀是等邊三角形．

6 借助化歸思想實現(xiàn)函數(shù)往方程的轉(zhuǎn)變

例7 在圖5中，有一個一次函數(shù)y=－x+2與反比例函數(shù)y=－8x，兩個函數(shù)的圖象分別在A，B兩點相交，A，B兩點的坐標分別是什么？△AOB的面積是多大？

分析 本題難度一般，當兩個函數(shù)的圖象相交時，交點橫、縱坐標同時適合這兩個函數(shù)的解析式，當求兩個交點的坐標時，可以直接把兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立到一起，組成一個方程組，借助化歸思想實現(xiàn)函數(shù)往方程的轉(zhuǎn)變，通過解方程組求出兩個點的具體坐標，然后根據(jù)圖象同坐標軸的交點坐標便可求出圍成三角形面積的大?。?/p>

詳解 把兩個函數(shù)的解析式y(tǒng)=－x+2與y=－8x聯(lián)立到一起，組成一個方程組，

通過解方程得到x1=4，y1=－2；x2=－2，y2=4，

結(jié)合對圖象的觀察可知點A的坐標為（－2，4），點B的坐標為（4，－2）；

因為一次函數(shù)y=－x+2的圖象與y軸的交點是D，

則D點的坐標為（0，2），

那么SAOD=12×2×2=2，SBOD=12×2×4=4，

故SAOB=SAOD+SBOD=2+4=6，

所以△AOB的面積是6．

7 結(jié)語

總的來說，在初中數(shù)學教學活動中，教師需格外關(guān)注解題訓練環(huán)節(jié)，平時以做好數(shù)學理論知識的講授工作為前提，并注重各種數(shù)學思想的滲透，尤其是化歸思想的融入，當遇到部分特殊試題時，指引學生根據(jù)實際情況借助化歸思想確定解題方案，使其從中找到清晰的解題流程和方法，減少錯誤情況的出現(xiàn)，最終驅(qū)使他們快速、準確地處理試題和求出結(jié)果．

參考文獻：

[1]闕開煜.例談化歸思想在初中數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)學之友，2024，38（13）：85-86+90.

[2]陳敏，寧肖肖.初中數(shù)學解題中化歸思想的運用[J].現(xiàn)代中學生（初中版），2024（04）：13-14.

[3]袁婕妤.化歸思想在初中數(shù)學解題教學中的實踐應用[J].數(shù)理天地（初中版），2024（01）：91-92.