幾何背景下線段最值問題的解題策略

【摘要】本文通過對不同類型的幾何模型進行分析，結合具體實例，總結求解線段最值問題的有效方法，以提高學生解決此類問題的能力．

【關鍵詞】初中數(shù)學；線段最值；解題策略

在數(shù)學學習中，線段最值問題是一個重要的研究課題．解決線段最值問題需要綜合運用幾何知識、代數(shù)方法和邏輯推理能力．通過對這類問題的深入研究，可以培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識．

1 “將軍飲馬”模型

例1 已知點P在∠MON內．

（1）如圖1，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接OG、OH、OP、CH．

①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？

②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由.

（2）如圖2，若∠MON=30°， A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點E，試求PE+QE的最小值．

解析 （1）①△OGH是等邊三角形，

因為點P關于OM對稱的點為G，

所以OP=OG，∠POM=∠GOM，

同理OP=OH，∠PON=∠HON，

所以OG=OH，

因為∠MON=30°，

所以∠GOH=60°，

所以△OGH是等邊三角形．

②GH=2OP，當∠MON=90°時，∠GOH=180°，

所以G、O、H在同一直線上，OP=OG=OH．

因為GH=OG+OH=2OC，

所以GH=2OP.

（2）過Q作ON的對稱點Q′，連接PQ′，交ON于點E，連接QE，如圖3，

所以PE+QE最小值為PQ′．

因為∠MON=30°，∠ABO=90°，

所以∠OAB=60°．

因為AQ=OP=2，QB=1.5，

所以AB=3.5，

所以OA=2AB=7，

所以AP=5．

因為點Q與Q′關于ON對稱，

所以QB=Q′B=1.5，所以AQ′=5，所以△APQ′是等邊三角形，

所以PQ′=5，即PE+QE的最小值為5．

點評 本題主要考查了軸對稱—最短路線問題，軸對稱的性質和等邊三角形的判定和性質．首先要識別屬于“將軍飲馬”模型，利用模型技巧作對稱點并連線，即可快速解題．

2 垂線段最短模型

例2 如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值為 ．

解析 當DE⊥AB時，DE的值最小，

因為AD是∠BAC的平分線，

∠C＝90°，CD＝5，

所以DE的最小值＝CD＝5．

點評 本題考查的是角平分線性質，關鍵是知道垂線段最短是解題的關鍵．

3 旋轉求最值模型

例3 如圖5，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內一點，求22BP+5AP+3PC最小值．

解析 如圖6，將△APC繞點A逆時針旋轉45°，得到△AP′C′，將△AP′C′擴大，相似比為324倍，得到△AP″C″，

則AP″=324AP′，P″C″=324P′C′，

AC″=324AC′，

過點P作PE⊥AP″于E，

所以AE=PE=22AP，

所以P″E=AP″-AE=24AP，

所以PP″=PE2+P″E2=104AP，

當點B、P、P″、C″在同一直線上時，22BP+5AP+3PC=22PB+PP″+P″C″最短，

此時22PB+PP″+P″C″=22BC″，

因為∠BAC″=∠BAC+∠CAC″=90°，AB=6，

AC″=324AC′=324×4=32，

所以BC″=AB2+AC″2=62+（32）2=36．

所以22BP+5AP+3PC=22BC″=22×36=123.

點評 此題考查旋轉的性質、全等三角形的性質、勾股定理.正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉及全等的性質構建等量的線段，利用三角形的三邊關系及點共線的知識求解，有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構建圖形．

4 結語

綜上所述，在幾何背景下求解線段最值問題，從以上三種模型中分別尋找相應的解題策略．在實際解題過程中，需要根據(jù)具體問題的特點，靈活選擇合適的方法．通過對線段最值問題的深入研究和不斷探索，可以提高學生的數(shù)學思維能力和解決問題的能力，為進一步學習數(shù)學打下堅實的基礎．

參考文獻：

[1]丁力.初中數(shù)學幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J].數(shù)學教學通訊，2020（14）：79-80.

[2]陸燕.初三學生在求解幾何最值問題中思維障礙成因的調查研究[D].揚州：揚州大學，2023.

[3]陳禮弦.利用“兩點之間線段最短”解決最值問題[J].數(shù)理化解題研究，2024（08）：13-15.