初中二次函數(shù)動點問題的解題策略與教學(xué)研究

【摘要】隨著初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的深入，二次函數(shù)動點問題成為中考教學(xué)的重點內(nèi)容，這類問題考查了學(xué)生函數(shù)知識、三角形知識、矩形知識以及動態(tài)轉(zhuǎn)化靜態(tài)的思維方式等，這類題型充分地展現(xiàn)出了初中數(shù)學(xué)的價值.考慮到動點問題的求解需要特定的數(shù)學(xué)技巧以及扎實的基礎(chǔ)，為此對其進(jìn)行系統(tǒng)的研究和討論.本文詳細(xì)地介紹幾種二次函數(shù)動點題型，并提出具體、系統(tǒng)的思考方式和解題方法，減少學(xué)生對動點問題的排斥感，降低解題難度，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題策略

二次函數(shù)動點問題常作為各地區(qū)中考壓軸題目，難度較大，涉及知識點較多，需要學(xué)生明確此類題型的考查方式，掌握二次函數(shù)動點問題的解題思路.如動點的運(yùn)動路徑，與其他幾何圖形、直線關(guān)系.為此學(xué)生要了解并掌握二次函數(shù)的特點，靈活地應(yīng)用幾何知識與代數(shù)知識.

例1 如圖1，二次函數(shù)y=－14x2+32x+4的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作直線PD⊥x軸于點D，作直線BC交PD于點E.

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；

（3）連接AC，過點P作直線l∥AC，交y軸于點F，連接DF，試探究：在點P運(yùn)動的過程中，是否存在點P，使得CE=FD，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

分析 此題目是關(guān)于二次函數(shù)圖象以及性質(zhì)的題目，在題干中給出了二次函數(shù)y=－14x2+32x+4，得到A（－2，0）、B（8，0）和C（0，4），利用待定系數(shù)法，可直接求解出BC直線的解析式，即y=－12x+4.針對例題1中的第（3）問，過C作CH⊥PD于點H（如圖2所示）.假設(shè)點P的坐標(biāo)為P（m，－14m2+32m+4），根據(jù)PF∥AC，可以假設(shè)直線PF的解析式為y=2x+b，并由此得到PF的解析式為y=2x－14m2－12m+4，F(xiàn)（0，－14m2－12m+4），得到OF=－14m2－12m+4.在本道題目解答中，利用了三角形相似，Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），并由此得到∠HCE=∠FDO，相應(yīng)的∠FDO=∠CBO，tan∠FDO=tan∠CBO，故－14m2－12m+4m=48，

解得m=25－2或m=4.

例2 如圖3，二次函數(shù)y=－x2+bx+c（b>0）的圖象與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C ，二次函數(shù)的最大值為254，P為直線BC上方拋物線上的一動點.

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖3，過點P作PD⊥BC，垂足為D，連接CP．是否存在點P，使以點C，D，P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖4，點Q也是直線BC上方拋物線上的一動點（點Q在點P的左側(cè)），分別過點P，Q作y軸的平行線，分別交直線BC于點M，N，連接PQ．若四邊形PQNM是平行四邊形，且周長l最大時，求l的最大值及相應(yīng)的點P的橫坐標(biāo)．

分析 在解決二次函數(shù)動點問題中，需要將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的靜態(tài)問題，以幫助梳理題干信息、分析與理解問題[1].在本題目第（3）問中，Q為直線BC上方拋物線上的一個動點，過點M作MF⊥QF，交QN延長線上一點F，此時可以得到一個平行四邊形PQNM（如圖5所示），假設(shè)PM=n，此時可以求出直線PQ的解析式，將直線與拋物線解析式聯(lián)立y=－x+4+ny=－x2+3x+4，可以得到FM長，F(xiàn)M=xp－xQ=24－n，在等腰直角三角形FMN中求解出MN的長度，MN=FMcos∠NMF=24－ncos45°=22×4－n=28－2n，再利用含有n的代數(shù)式表示平行四邊形的PQMN周長，即l=2（MN+PM）=－（8－2n）2+48－2n+8=－（8－2n－2）2+12，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計算出周長l的最大數(shù)值12，以及此時n的數(shù)值2，故P的橫坐標(biāo)為2+2.

結(jié)語

經(jīng)過上述題型練習(xí)，學(xué)生可以總結(jié)出常見的二次函數(shù)動點問題的解題思想，采用化歸、分類討論的方式，可以將動態(tài)問題轉(zhuǎn)換為靜態(tài)問題，進(jìn)而提煉出解題路徑，以此來提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳進(jìn)發(fā).二次函數(shù)動點問題解題教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（12）：53-54.