兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用探討

摘"要：兩個(gè)重要極限是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析和實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。首先，探討第一個(gè)重要極限的意義，利用夾逼定理給出第一個(gè)重要極限的證明方法。其次，探討第二個(gè)重要極限的價(jià)值，主要利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限和夾逼定理給出第二個(gè)重要極限的證明方法；探討主要變式并給出證明；探討主要變式之間的共同特征。最后，探討兩個(gè)重要極限在三個(gè)方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：第一個(gè)重要極限"第二個(gè)重要極限"0/0未定型"1∞未定型

中圖分類號(hào)：O172

ExplorationofTwoImportantLimitsandTheirApplicationsCHENYanMinjiangTeachersCollege，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujianProvince，350108China

Abstract：TwoimportantlimitsarethebasicconceptsinCalculus，andtheyarewidelyusedinmathematicalanalysisandpracticalapplications.Firstofall，thesignificanceofthefirstimportantlimitisdiscussed，andtheproofmethodofthefirstimportantlimitisgivenbyusingthesqueeze"theorem.Secondly，thevalueofthesecondimportantlimitisdiscussed，theproofmethodofthesecondimportantlimitisgivenbyusingthemonotoneboundedsequenceboundlimitandthesqueezetheorem;Themainvariantsarediscussedandproved;Thecommoncharacteristicsofthemainvariantsarediscussed.Finally，theapplicationsoftwoimportantlimitsarediscussedinthreeaspects.

KeyWords：Thefirstimportantlimit;Thesecondimportantlimit;0/0undefined;1∞undefined

在數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念，用于描述函數(shù)或數(shù)列趨向于某個(gè)值的過程。兩個(gè)重要極限是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析和實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。例如：在物理學(xué)中，它們可以用來描述物體的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，它們可以用來解決復(fù)利計(jì)算等問題。本文將詳細(xì)探討這兩個(gè)重要極限的意義和證明方法，最后給出這兩個(gè)重要極限的一些應(yīng)用。

1"第一個(gè)重要極限：

第一個(gè)重要極限在微積分中非?；A(chǔ)且重要，它揭示了正弦函數(shù)和它的角度之間的一種關(guān)系。證明這個(gè)極限值的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)的性質(zhì)和夾逼定理。第一個(gè)重要極限的幾何意義就是正弦函數(shù)在原點(diǎn)處的斜率。下面先敘述一個(gè)定理，然后再證明。

夾逼定理：若對(duì)于∈或時(shí)，有，且，則。

現(xiàn)證明第一個(gè)重要極限。

證明：取一個(gè)半徑為1的單位圓，表示以弧度計(jì)的圓心角，設(shè)（如圖1所示），因?yàn)樯刃蔚拿娣e大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點(diǎn)的切線），所以有，各式同除以正值，得，即。

（1）下面證明（）"。

證明：因?yàn)?，且，所以由夾逼定理推得可知，又因?yàn)?，所以再次運(yùn)用夾逼定理即可得

（2）上面證明是在的假設(shè)下進(jìn)行的，對(duì)于取負(fù)值的情形證明如下。

證明：取一個(gè)半徑為1的單位圓，表示以弧度計(jì)的圓心角，設(shè)，因?yàn)樯刃蔚拿娣e大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點(diǎn)的切線），所以有，再由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及不等式性質(zhì)等價(jià)變形，得，各式同除以負(fù)值，得，即。最后由夾逼定理同理可得：

綜上，由式（1）、式（2）成立可得第一個(gè)重要極限得證。

第一個(gè)重要極限還有一個(gè)重要的變式：，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則即可得證。

第一個(gè)重要極限還可以進(jìn)一步推廣當(dāng)趨于常數(shù)時(shí)的情形，即，可令，進(jìn)行換元等價(jià)變形后即可得證。

小結(jié)：認(rèn)真觀察、、，可以發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）極限式子中都含有三角函數(shù)；（2）極限式子中函數(shù)的變量可以是趨于0，也可以是趨于某個(gè)常數(shù)，但是它們的極限都等于常數(shù)1；（3）極限式子外在形式不同，但是本質(zhì)屬性相同，都屬于含有三角函數(shù)的未定型——0/0。

2第二個(gè)重要極限：

第二個(gè)重要極限在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在概率論和復(fù)利計(jì)算中。證明這個(gè)極限的關(guān)鍵在于利用指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及單調(diào)有界原理。下面先敘述一個(gè)定理，然后再證明。

定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

這個(gè)定理在幾何上是很顯然的，例如單調(diào)增而有界數(shù)列，當(dāng)增大時(shí)它對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的點(diǎn)不會(huì)向左移動(dòng)，而又不會(huì)超過某一定點(diǎn)，所以當(dāng)無限增大時(shí)，點(diǎn)就會(huì)聚集在某一定點(diǎn)附近，即可以任意地?。ㄍ瑯涌山忉寙握{(diào)遞減而有界數(shù)列）。

下面證明數(shù)列的極限存在。

證明：因?yàn)橛?/p>

由此可知，的前項(xiàng)不小于的相應(yīng)項(xiàng)，而且比的展開式還多一個(gè)正項(xiàng)，所以，因此是單調(diào)遞增數(shù)列。此外，由的展開式可得

所以是有界數(shù)列。

綜上所述，是單調(diào)有界數(shù)列，因此極限存在，通常用字母來表示它，即

同時(shí)還可以證明，函數(shù)當(dāng)時(shí)，有極限，且。

下面證明：。

證明：設(shè)，則，且和同時(shí)趨于，因?yàn)?/p>

應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則，即得。

證明：令，則當(dāng)時(shí)，.從而

由（1）（2）可得。

第二個(gè)重要極限有一個(gè)重要變式，即

下面證明：

證明：令，則當(dāng)時(shí)，，從而

小結(jié)：通過觀察、、這幾個(gè)在第二個(gè)重要極限推導(dǎo)過程中得到的公式，可以發(fā)現(xiàn)它們有幾個(gè)特點(diǎn)：（1）極限式子中函數(shù)的變量可以是自然數(shù)也可以是實(shí)數(shù)，但是它們的極限都等于常數(shù)；（2）盡管極限式子中的函數(shù)的變量趨向不同，但是底數(shù)都是“1+0”的形式；（3）極限式子中的函數(shù)的指數(shù)部分的極限值為，且與底數(shù)第二個(gè)加數(shù)互為倒數(shù)；（4）極限式子外在形式不同，但是本質(zhì)屬性相同，都屬于同一個(gè)未定型——。

此外，利用換元法還可以在重要變式（3）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到第二個(gè)重要極限更為一般的變式，即：當(dāng)時(shí)，有，則

或當(dāng)時(shí)，有，則

3""兩個(gè)重要極限應(yīng)用探討

下面通過極限計(jì)算、理論證明以及解決實(shí)際問題這三個(gè)方面的應(yīng)用探討，幫助大家大致了解兩個(gè)重要極限在數(shù)學(xué)中的重要地位和作用。

3.1"探討一：利用兩個(gè)重要極限公式計(jì)算函數(shù)的極限

例1"求

解法一：當(dāng)趨于0時(shí)，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數(shù)可以考慮用第一個(gè)重要極限，不能直接應(yīng)用第一個(gè)重要極限，可用換元法，令，令，當(dāng)趨于0時(shí)，且，于是得

解法二：當(dāng)趨于0時(shí)，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數(shù)，可以考慮用第一個(gè)重要極限的推廣，即直接用等價(jià)無窮小進(jìn)行因式替換，由于當(dāng)時(shí)，～，～，得

例2"求

解法一：先等價(jià)變形成1∞型的未定式，再運(yùn)用第二個(gè)重要極限的變式（3）求解。

解法二：對(duì)1∞型的未定式指數(shù)進(jìn)行等價(jià)變形時(shí)，可以巧妙利用“1”的兩個(gè)特性：進(jìn)行求解。

注意：解法二中巧妙利用“1”對(duì)1∞型的未定式指數(shù)進(jìn)行等價(jià)變形，可以形成模式化，對(duì)于越復(fù)雜的冪指函數(shù)使用這個(gè)方法就越簡便。等價(jià)變形如下所示：

3.2"探討二：兩個(gè)重要極限在理論推導(dǎo)方面的應(yīng)用

16個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中三角函數(shù)占10個(gè)。10個(gè)三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中，和的導(dǎo)數(shù)是推導(dǎo)其他三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的重要基礎(chǔ)。而要推導(dǎo)和的導(dǎo)數(shù)，都要用到第一個(gè)重要極限。此外，和的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)都要用到第二個(gè)重要極限。16個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式再加上求導(dǎo)法則，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)所有的初等函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。進(jìn)而就有了洛必達(dá)法則，可以用來解決形如00、1∞以及0/0、∞0等未定型的極限。而兩個(gè)重要極限就是0/0和1∞未定型的特殊情況。此外，要注意不能利用洛必達(dá)法則證明兩個(gè)重要極限，這樣會(huì)犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

3.3"探討三：重要極限公式在解釋、解決現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象和問題方面的簡單應(yīng)用

第二個(gè)重要極限可以用來解釋、解決現(xiàn)實(shí)世界中存在的許多現(xiàn)象和問題。例如，細(xì)胞繁殖、放射性衰變、人口增長、存款復(fù)利計(jì)算等消亡與生長同時(shí)并存的現(xiàn)象和問題。下面以銀行連續(xù)復(fù)利和的計(jì)算為例進(jìn)行說明。

假設(shè)某人在中國銀行有一筆存款，本金為，年利率為，一年過后本利和為，，年過后本利和為。如果一年分次計(jì)算利息，年利率仍然保持不變，則每期利率為，一年過后本利和為，年過后本利和為。若一年計(jì)算利息期數(shù)，則上述公式就成為連續(xù)復(fù)利和公式。年過后的連續(xù)復(fù)利和為

通過分析上面的連續(xù)復(fù)利和計(jì)算公式，可以看出隨著年頭的增長所得的本利和越大，但是不超過這個(gè)上限。因此，第二個(gè)重要極限可以用來解決銀行連續(xù)復(fù)利和的計(jì)算和近似估計(jì)。

4"結(jié)語

兩個(gè)重要極限是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析和實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。文章通過探討兩個(gè)重要極限的意義和證明方法等過程，幫助人們更好地理解并掌握兩個(gè)重要極限的特征、變式以及推廣。另外，給出這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算、理論證明以及生活實(shí)際中的應(yīng)用，幫助人們更好地理解兩個(gè)重要極限的地位和價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]吳順唐.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].南京：南京大學(xué)出版社，2022：43-46.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2023：47-49.

[3]張創(chuàng)源，青君.等價(jià)替換在1∞型極限中的應(yīng)用[J].南方職業(yè)教育學(xué)刊，2020（2）：95-98.

[4]韋慧，倪晉波.高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限計(jì)算的幾種方法[J].安陽工學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（2）：93-96.

[5]張傳芳，楊春玲.關(guān)于一類1∞型未定式的極限問題[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024（2）：75-76，80.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指導(dǎo)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2023：38-45.

[7]王麗麗.洛必達(dá)法則在解析求極限類問題中的應(yīng)用[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022（1）：76-80.

[8]張茜，李巧俠.MATLAB在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實(shí)踐，2021（9）：12-14.

[9]賈俊晶，張超.近十年考研數(shù)學(xué)三的極限計(jì)算試題分析[J].高等數(shù)學(xué)研究，2023（6）：24-28.