結合“分數(shù)除法”淺談課堂教學中數(shù)學思想與方法的落實

著名數(shù)學家張景中曾指出：“小學生學的數(shù)學很初等，很簡單。但盡管簡單，里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學思想?！钡拇_，小學數(shù)學的基礎知識背后蘊藏著數(shù)學最深刻的思想，這些知識的特征并非“簡單”，而是本質。數(shù)學是充滿想象力和邏輯性的藝術，小學數(shù)學課堂需要幫助學生在看似瑣碎的知識中，完成知識的拼接與對“藝術”的感受。

許多一線教師對于如何自然地滲透數(shù)學基本的思想和方法感到棘手，甚至有些教師不知基本知識中蘊含著美妙的數(shù)學思想、涵蓋著重要的數(shù)學方法。因此，訓練學生良好的思維品質是數(shù)學教學的重要終極目標。本文結合人教版六年級上冊“分數(shù)除法”一課的教學設計，淺談在教學中滲透數(shù)學基本思想和基本方法的具體做法以及個人感悟。對于六年級的學生來說，分數(shù)除法是計算教學中的最后一個內容。學生已經(jīng)具備了學習分數(shù)乘法計算和整數(shù)除法的經(jīng)驗，通過預習，基本能掌握分數(shù)除法的算法，但對于計算背后的原理，理解得并不透徹。為體現(xiàn)新課標“以人為本”的理念，本節(jié)課的教學在設計上主要分為三個層次：

第一層次：復習。

復習時安排了三道小題，為學生選擇原有知識中的有效信息做好鋪墊，使學生可以在新知的學習過程中輕松體會到分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義是相同的。

第二層次：新課。

一是在手腦并用中體會分數(shù)除以整數(shù)的算理；二是在數(shù)形結合中歸納分數(shù)除以整數(shù)的方法；三是在檢查討論中完善分數(shù)除以整數(shù)的方法。

第三層次：練習。

先進行仿練，再進行開放性練習，利用所學知識解決問題。

一、復習導入環(huán)節(jié)

此環(huán)節(jié)滲透類比思想、猜想驗證的研究方法。

1.教師導入

要學習分數(shù)除法的意義，先帶領學生回顧整數(shù)除法的意義。根據(jù)整數(shù)乘法算式13×5=65，寫出兩個除法算式。

生：65÷13=5，65÷5=13。

學生回顧并總結整數(shù)除法的意義：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

師：大家想一想，分數(shù)除法的意義是什么？

生：因為除法是乘法的逆運算，所以分數(shù)除法的意義是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

有理有據(jù)，學生運用知識的遷移及類比的思想，初步猜出分數(shù)除法的意義。在本堂課中，既要讓學生學會知識的遷移，又要讓他們找到基本的數(shù)學思維路徑。

2.學生驗證

每盒水果糖重100克，3盒水果糖有多重？你能改編出兩道除法應用題嗎？

二、新授探究階段

通過談話交流、自主探究小組合作等學習方式，在問題探索、問題解決過程中揭示數(shù)學思想方法。此階段滲透了分類的思想、數(shù)形結合的思想、比較的思想、轉化的思想和模型的思想。

1.探究計算

師：分數(shù)的計算可能會有幾種情況？請舉例說明。

小結：分數(shù)除法可以轉化為以前學過的分數(shù)乘法來計算。

學生在此過程中，充分借助“形”，利用數(shù)與形相結合探究出除法計算的基本算理。新的課程理念指出，數(shù)形結合的思想方法是將數(shù)（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。由此不難發(fā)現(xiàn)，教師在借助長方形圖或者線段圖研究問題并進行實踐操作過程中，自然有效地滲透了數(shù)形結合的思想。在課堂上，學生回答課堂提問時所表達出來的觀察和思考能深刻體現(xiàn)其是如何理解數(shù)學問題的。

設計意圖：喚醒學生已有的知識記憶，通過活動學生可以初步感受成功的喜悅，更為重要的是理解了其中蘊含的數(shù)形結合研究問題的方法與思想，對學生的數(shù)學學習至關重要。

接下來教師提問：比較兩種算法，說說哪一種算法適用范圍更廣，為什么？

此處通過比較兩種思維方式，發(fā)現(xiàn)當除以3時，第一種雖簡單但是就沒法分了，所以第二種適用范圍更廣，有效促進了學生的思維發(fā)展。

設計意圖：此處教師變換探索的角度，在運算和比較中再次驗證操作活動中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。在學生的體驗和表達中，提升了學生的思維和認知，概括歸納出計算方法的“通法”。

2.總結方法

分數(shù)除以一個不為零的整數(shù)，等于分數(shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。至此，同時完成了除法計算方法的建模。

分數(shù)÷整數(shù)（非零）=分數(shù)×1/整數(shù)。

引導學生觀察：將除法的計算轉化為已掌握的舊知乘法，從而用乘法解決了問題。

結合直觀圖，再次引導學生觀察結果和被除數(shù)的關系，學生會發(fā)現(xiàn)其結果都是將其轉化成了更小的計數(shù)單位。

小結：利用乘倒數(shù)的方法把分數(shù)除法轉化成更小的計數(shù)單位來計算。

設計意圖：通過交流，引導學生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，從中悟出分數(shù)除以整數(shù)的算理，即轉化成更小的計數(shù)單位。初步體會新舊知識之間、方法之間的轉化與統(tǒng)一，自然地滲透轉化的思想，由此點撥學生的轉化策略意識和建模思想。

整節(jié)課的設計，充分發(fā)揮了學生的主體作用和學生對問題的探索，大大激發(fā)了他們的求知興趣，使學生在學習知識的同時，感受并領會了數(shù)學思想和數(shù)學方法的魅力。

三、全課小結

在小結階段，不僅注重知識的歸納，還應注意提煉、概括所蘊含的數(shù)學方法。例如，學生不僅能說出如何計算分數(shù)除法，還能夠說出討論問題時可以用紙片或圖形代替來研究，或懂得以多種方法進行比較、優(yōu)化，等等。

四、教學反思

數(shù)學教學的目標應該是指向思維的培養(yǎng)。反思本節(jié)課的設計與教學具備如下的特點：

一是在思維上，首先，教師本節(jié)課深刻把握教材中所反映的數(shù)學思想方法及其與數(shù)學相關知識之間的聯(lián)系，并引領學生適時做出歸納和概括。同時，本節(jié)課的教學抓住了學生知識的“生長點”，嚴謹?shù)卦谠兄R基礎上進行新的延伸。例如分數(shù)除法的意義就是在整數(shù)除法的基礎上做出有效的正遷移。分數(shù)除法的意義這一新的知識點像一塊新加入的“磚塊”，完成了小學除法的意義這一完整的認知。其次，在探究環(huán)節(jié)的授課活動中，教師帶領學生“回頭看”，使學生意識到自己研究除法計算時借助的是圖形，意識到未知的除法計算轉化成了已經(jīng)掌握的乘法計算，增強了學生對數(shù)形結合這一思想方法的領會以及轉化這一學習策略的理解。通過這樣簡單的“回頭看”，加強了學生對數(shù)學思想方法的理解和應用意識。隨著知識體系在小學不同階段的螺旋式上升，數(shù)學教師也在教授知識的同時，完成了對學生知識的建構、能力的培養(yǎng)以及思維的提升。

二是在方法上，教師對于問題的答案不是傾囊相授，而是讓學生經(jīng)歷一段時間的觀察、思考后，主動積極地探索與感悟。例如本節(jié)課中對于用長方形表達5份中的4份是多少，學生比較熟悉，但如再分成2份、3份，學生理解起來便可能存在困難。故在教學此部分時，教師留給學生充足的時間，讓學生經(jīng)歷涂一涂、畫一畫、算一算、比一比等教學活動，借助長方形圖數(shù)形結合研究問題的直觀優(yōu)勢，充分發(fā)揮學生的主體作用，引導學生關注新舊知識之間的聯(lián)系，充分理解計算的一致性，完成內容的結構化學習。比較分成2份和3份的計算方法，讓學生在課堂中通過比較、思考完成了分數(shù)除法一般計算方法的提煉。而教師恰恰正是在此教學的智慧與經(jīng)驗中陪伴學生完成發(fā)現(xiàn)的魅力旅程，從而讓學生獲得了基本的數(shù)學知識技能、基本的研究問題的思想方法，積累了基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

當然，要使學生真正具備個性化的數(shù)學思想方法，還要有一個反復訓練、不斷完善的過程。這就要求教師在教學中大膽實踐、持之以恒，寓數(shù)學思想方法于教學之中，使學生真正形成個性化的思維活動，形成良好的思維品質，為后續(xù)學習奠定扎實的基礎，從而實現(xiàn)數(shù)學這門學科的育人功能。

（作者單位：山東省濟南陽光100中學）