同生共長：統(tǒng)攝量率特質(zhì)的新路徑

關(guān)鍵詞：量與率；小學數(shù)學教學；分數(shù)學習；分數(shù)教學

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：B 文章編號：1673-4289（2024）12-0040-04

量與率的屬性是分數(shù)重要的本質(zhì)特質(zhì)之一。在認識分數(shù)的過程中，對于量與率的教學探索是教師關(guān)注的重點，在不斷的探索中尋求新的路徑與策略。

一、多維審視：量率割裂的現(xiàn)狀剖析

在認識分數(shù)過程中，學生對于量和率的理解比較輕松。但是在解決分數(shù)相關(guān)的實際問題，遇到需要運用量和率的不同屬性來分析數(shù)量關(guān)系時，學生常常混淆二者含義，不能正確運用。主要是因為教學中，量和率的感知沒有適度融合，割裂了量和率的內(nèi)涵本質(zhì)。

（一）教材視角，量率溝通是建構(gòu)分數(shù)意義的聯(lián)結(jié)點

從教材來看，蘇教版教材中“分數(shù)的意義”分三次學習。第一次是三年級上冊認識“一個物體的幾分之一”，第二次是三年級下冊認識“一個整體的幾分之一”，第三次是五下完整抽象分數(shù)的意義。三年級上冊教學分數(shù)的產(chǎn)生時，從用自然數(shù)表示平均分的結(jié)果過渡到用分數(shù)“1/2個”表示，再到“每份是這個蛋糕的1/2”，由量引到率，后面的教學直至三年級下冊認識“一個整體的幾分之一”重點都是率的屬性，而量的屬性被忽略。這一階段中量與率權(quán)重失衡，量、率兩種屬性缺少溝通。從多年的教學經(jīng)驗來看，到五年級時學生的思維定式已經(jīng)形成，再進行量率的辨析，往往需要大量的強化訓練才能正確運用量率解決問題。筆者認為，認識一個整體的幾分之一是建構(gòu)分數(shù)意義的關(guān)鍵節(jié)點，是理解量率的最佳時機。這一階段就適時溝通量率的不同屬性，形成量率的正確認知，實現(xiàn)量率屬性的有效聯(lián)結(jié)，能為后續(xù)進一步建構(gòu)分數(shù)意義打下堅實的基礎(chǔ)。

（二）學生視角，量率運用是學生分數(shù)學習的痛點

于學生而言，量率使用一直是分數(shù)學習的痛點。以下題為例：

大部分學生在解決類似的問題時錯誤率很高。他們對于分數(shù)的率與量混淆不清，無法準確判斷什么情況下是部分與整體的關(guān)系，什么情況下表示具體的數(shù)量，在量與率之間難以正確轉(zhuǎn)換。究其原因，在初步認識分數(shù)時，對于分數(shù)率的屬性認識先入為主，形成了思維慣性，以致在解決問題時常常以偏概全，不能正確運用。

（三）教師視角，量率達成是教師分數(shù)教學的難點

于教師而言，分數(shù)量率相關(guān)問題的教學一直是難以攻克的難點。多數(shù)教師往往通過大量重復(fù)的強化訓練、機械記憶來達成理想的教學效果。這無疑加大了學生的學習負擔，事倍功半?？陀^來看，一方面教師對分數(shù)的本質(zhì)屬性把握不到位，有失偏頗；另一方面，在分數(shù)意義的點段式教學中，靈活性不夠，照本宣科，亦步亦趨，不能根據(jù)學生的效果反饋適時調(diào)整教學內(nèi)容。率的教學中通過強化規(guī)范性表達，忽視量于率的深層理解。而涉及量與率的辨析時，往往是在暴露問題后才被動糾錯，缺乏主動建構(gòu)，沒有提前干預(yù)的意識和策略，教學效果不佳。

二、分層建構(gòu)：統(tǒng)攝量率特質(zhì)的實踐路徑

基于以上三個維度的審視與分析，教師嘗試從分數(shù)整體的知識結(jié)構(gòu)來統(tǒng)攝量與率的特質(zhì)理解。從三年級下冊“分數(shù)的初步認識（二）”開始，從“蘊伏感知”“深入辨析”“融合進階”三個層次，引導學生逐步建構(gòu)對于量和率的本質(zhì)理解。

層次一：量率相伴，蘊伏感知

（1）分一個桃

出示一個桃，問：把1個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得____？

生1：每只小猴分得1/2個。

師：你們說得都對，老師記錄下來（板書）。

（2）分6個桃、8個桃、5個桃

出示一盤桃，問：把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得____？

生1：每只小猴分得3個。

生2：每只小猴分得這盤桃的3/6。

……

學生自己動手分一分8個桃、5個桃，用兩種方法表示每只小猴分得多少。

交流分的結(jié)果，教師記錄。

層次二：量率相比，深入辨析

（1）表示1/5和1/5米出示圖1。

師：你想怎么表示涂色部分？你是怎么想的？

生1：把這個直條看作一個整體，平均分成5份，涂色部分是這個直條的1/5。

出示圖2。

師：還可以怎么表示？為什么可以這樣表示？

生2：還可以表示為1/5米。

師：也就是說，這個陰影部分可以用兩種方法表示了。大家同意嗎？

（2）辨析1/5和1/5米

師：同樣大小的涂色部分為什么會有兩種表示方法呢？

生3：這個直條不知道具體長度時，我們就把它看作一個整體，平均分成5份，陰影部分就是這個整體的1/5。當這個直條表示1米時，那我們就是把1米的長度平均分成5份，每份就是1/5米了。

生4：相同之處是都有1/5，不同之處是1/5米后面多個“米”字。

師：這是它們寫法上的不同之處，如果從含義上來看呢？

生5：從含義上來看，1/5表示涂色部分是直條平均分的5份中的一份，1/5米表示的是具體的長度。

師：大家說得太好了。誰能概括地說一說兩種寫法的含義有什么不同呢？

（3）1/4和1/5千克

出示圖3。

師：如果這個整體表示1千克，你會用不同的方法表示涂色部分嗎？

生1：1/4和1/4千克。

師：說說你是怎么想的？

生2：1/4表示其中的一份跟整體之間的一種關(guān)系，1/4千克表示的是具體的重量，相當于250克。

師：如果這個整體表示1小時呢？

（4）理解1/3和1/3小時

出示圖4。

生3：1/3、1/3小時。

生4：1/3表示部分與整體之間的一種關(guān)系，1/3小時表示的是具體的時間，相當于20分鐘。

（5）辨析1/5和1/5米、1/4和1/4千克、1/3和1/3小時

師：比較以上三種數(shù)據(jù)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：分數(shù)不僅可以表示部分與整體的關(guān)系，也可以表示具體的數(shù)量。

層次三：量率相融，進階認知

（1）回顧反思

師：通過今天的學習，你對分數(shù)有了哪些新的認識？

……

（2）變式應(yīng)用

思考：兩根同樣長的彩帶，一根用去它的1/10，另一根用去1/10米，哪一根用去的長？為什么？

三、內(nèi)涵融通：量率同生共長的策略探索

本節(jié)課在三年級下冊認識一個物體的幾分之一的基礎(chǔ)上，對于分數(shù)的第二次初步認識，從分一個物體拓展到分一個整體，學生對于分數(shù)并不陌生。有了一定的知識基礎(chǔ)和認知經(jīng)驗，教師嘗試在認識一個整體的幾分之一時就感知量率的區(qū)別與聯(lián)系，將分數(shù)意義的部分難點前移，為后續(xù)五年級認識完整抽象分數(shù)意義，全面建構(gòu)分數(shù)本質(zhì)屬性做好充分的準備。

（一）量率同行，整體架構(gòu)認知過程

本課教材中，例題的問題是“把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾”，這樣的問題直接聚焦到率的認識，而跳過了學生很有可能出現(xiàn)的量的表達（如3個），不利于之后與量有關(guān)的探究。因此，教師著眼全局，整體架構(gòu)學習過程，教學中順應(yīng)學生本真的思維，量與率同時呈現(xiàn)。教學前半程以認識一個整體為主，將量蘊伏于率的感知中。后半程再以前半程積累的量率表達為素材，辨析量與率，內(nèi)化、提升對量率的理解。

例如，在片段一的導入和片段二的例題呈現(xiàn)中，將問題改編為“每只小猴分得____”，而不是限制為“每只小猴分得幾分之幾”，學生從分6個桃，到分8個桃、5個桃，每次分得的結(jié)果都用兩種方法表示，尤其是在分5個桃時，不能再用自然數(shù)表示，需要用2個桃加÷個桃來表示，在理解“一個整體”的同時，也隱含了分數(shù)不僅可以表示部分與整體的關(guān)系，還可以表示具體的數(shù)量。這樣的設(shè)計既順應(yīng)學生的真實思考，同時也蘊伏量率的相生相伴。

片段三中，將前面蘊伏的數(shù)量線與分率線浮出水面，走到前臺。通過表示1/5米、1/4千克、1/3小時等多個具體數(shù)量，辨析、凸顯分數(shù)在什么樣的情境下表示具體數(shù)量，什么情境下表示部分與整體的關(guān)系。片段三則將分數(shù)量率的應(yīng)用推向一個新的高度。整節(jié)課教師善于運用數(shù)形結(jié)合的策略組織學習內(nèi)容，量率同行，由表及里，循序漸進，發(fā)展學生抽象思維。

（二）量率辨析，深入分數(shù)本質(zhì)內(nèi)核

分數(shù)具有非常豐富而獨特的本質(zhì)內(nèi)涵。北師大版教材就從“分率”“度量”“兩數(shù)相除的商”三個維度編排學生認識分數(shù)的認知路徑。遵循蘇教版教材教學的思路，本節(jié)課教師在前期蘊伏量率的基礎(chǔ)上，先從分率的角度突破“一個整體”的概念認知，再從度量的角度，步步為營，引導學生層層深入分數(shù)本質(zhì)內(nèi)核。

1.抽象出“一個整體”

“一個整體”的概念是分數(shù)內(nèi)涵核心知識點。教師先讓學生分裝在一個盤子里的6個桃，通過討論排除3/6這一錯誤思維，肯定3個和1/2兩種正確的表示方法。以此為基礎(chǔ)，再分8個桃、5個桃，同樣用兩種方法表示分的結(jié)果。引導學生觀察思考：①3次分桃的結(jié)果，有什么相同之處？②盤子里桃的個數(shù)不同，為什么分的結(jié)果都可以用÷來表示？最終得出結(jié)論：把許多相同的物體看成是一個整體，分得的結(jié)果和平均分的份數(shù)有關(guān)，和分的總數(shù)無關(guān)。至此，抽象出“一個整體”的概念。

2.拓展到一個度量單位

抽象出“一個整體”的概念，學生從分率的角度認識了分數(shù)。從度量角度對分數(shù)的認識從表示一個直條的1/5切入，然后賦予直條1米的具體長度，辨析1/5和1/5米有什么相同和不同之處，厘清1/5表示的是部分與整體之間的一種關(guān)系，而÷米表示的是具體有多長，為下一步遷移到不同的度量單位做好思路準備。

3.延伸到多個度量單位

以1/5和1/5米的認識為基礎(chǔ)，教師再分別賦予直條1千克、1小時等不同的數(shù)量，用兩種方式表示出1/4和1/4千克、1/3和1/3小時，討論“涂色部分為什么會有兩種表示方法”“你有什么發(fā)現(xiàn)”等問題，通過充分的討論交流，深層次溝通量與率的內(nèi)涵關(guān)聯(lián)，理解分數(shù)不僅可以表示部分與整體的關(guān)系，也可以像自然數(shù)那樣表示具體的數(shù)量，直抵分數(shù)本質(zhì)內(nèi)核。

（三）量率轉(zhuǎn)換，溝通聯(lián)結(jié)彰顯價值

片段三中，比較兩根彩帶的1/10和1/10米誰更長，引發(fā)學生思考。當彩帶長度分別是1米、大于1米和小于1米三種情況時，哪根用去的多，結(jié)果是不一樣的。解決這個問題時，學生需要把彩帶賦予具體長度，轉(zhuǎn)化成具體長度的數(shù)量屬性，再把具體長度轉(zhuǎn)化成關(guān)系進行比較。在同一個問題情境中量和率互相轉(zhuǎn)化，兩種屬性溝通聯(lián)結(jié)。這個過程中，學生須根據(jù)實際問題選擇統(tǒng)一量率進行比較，對于分數(shù)本質(zhì)意義的認識進一步深化豐富，分析比較的思辨能力得到歷練，學習力得以提升，彰顯出分數(shù)學習的價值。

綜觀本節(jié)課教學，雖然是分數(shù)意義的第二次初步認識，教師能以教學現(xiàn)實為基點，嘗試適度進行量與率的辨析教學，深度而為，是一次有意義的探索，為后續(xù)的分數(shù)意義抽象與概括，豐富對分數(shù)本質(zhì)的深層認知奠定了良好的基礎(chǔ)。