基于GARCH-POT-VaR模型的社保基金投資尾部風(fēng)險測度研究

摘要：社?；鹱鳛榻鉀Q我國老齡化問題的重要保障基金，近五年投資收益波動較大，如何準(zhǔn)確度量社?；鹜顿Y尾部風(fēng)險是提高社?；鹜顿Y安全性的重要問題。在考慮到收益率序列波動特征的基礎(chǔ)上，本文提出以GARCH族模型刻畫收益率序列波動性特征，POT模型處理極端尾部數(shù)據(jù)，構(gòu)建三種金融市場尾部風(fēng)險度量模型：ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT和ARMA-GJRGARCH-POT，將其應(yīng)用于風(fēng)險價值VaR的動態(tài)測度。在極值POT模型構(gòu)建時采用AU2統(tǒng)計量確定閾值，W2和A2統(tǒng)計量進(jìn)行尾部擬合優(yōu)度檢驗，避免了主觀性。最后對VaR進(jìn)行測度及回測，結(jié)果表明：傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風(fēng)險，結(jié)合POT模型的GARCH類模型對動態(tài)VaR的測度效果更為準(zhǔn)確，且各模型在990%置信水平下能夠更加準(zhǔn)確地量化股市收益率尾部風(fēng)險。

關(guān)鍵詞：社?；?；尾部風(fēng)險測度；ARMA-GARCH族模型；極值理論；VaR

一、引言與文獻(xiàn)綜述

隨著我國老齡化程度逐漸加深，全國社會保障基金（以下簡稱“社?；稹保┰诮鉀Q老齡化問題中的作用將越來越重要。社?；饛?000年8月設(shè)立之初的資產(chǎn)總額80509億元到2022年年末的基金資產(chǎn)總額2883521億元，同比增長約35倍①。在合理風(fēng)險范圍內(nèi)實現(xiàn)龐大資金規(guī)模的保值、增值顯得十分重要，一旦投資不慎，則會造成大面積的經(jīng)濟(jì)危害。此外，由全國社?；鹄硎聲迥昱兜臄?shù)據(jù)來看，2018—2022年投資收益率分別為-228%、1406%、1584%、427%、-507%②，收益率波動較大，且有兩年出現(xiàn)負(fù)收益率的情況，社保基金投資面臨的風(fēng)險較大。因此，要對社?；鹜顿Y風(fēng)險進(jìn)行有效的管控，其投資風(fēng)險測度的研究刻不容緩。

社保基金投資收益的異常波動往往會使投資者遭受重大損失，因而對資產(chǎn)收益率的尾部風(fēng)險進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫與預(yù)測，將有助于金融管理者規(guī)避市場風(fēng)險。當(dāng)前，風(fēng)險價值（VaR）是常用的金融風(fēng)險度量工具，VaR的傳統(tǒng)估計方法（蒙特卡洛模擬法、方差-協(xié)方差法、歷史模擬法）通常假定資產(chǎn)收益率序列為正態(tài)分布。然而，金融資產(chǎn)收益率序列數(shù)據(jù)通常具有尖峰厚尾特性，這意味著傳統(tǒng)方法估計的VaR會低估尾部風(fēng)險，即會忽略由極值事件引發(fā)的極端風(fēng)險，使風(fēng)險估計結(jié)果不精準(zhǔn)。極值理論是研究隨機(jī)過程產(chǎn)生極大值或極小值分布及其特征的方法，其著重對隨機(jī)過程的尾部進(jìn)行建模，且極值理論可以在總體分布未知的情況下，依靠樣本數(shù)據(jù)外推得到總體極值的變化性質(zhì)，克服了傳統(tǒng)統(tǒng)計方法不能超越歷史樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行風(fēng)險預(yù)測的問題。將極值理論引入金融風(fēng)險度量，可利用其對厚尾估計的優(yōu)勢修正VaR因正態(tài)分布假設(shè)不足所導(dǎo)致的尾部風(fēng)險低估問題，及其不能越過樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的局限性。此外，資產(chǎn)收益率序列除具有尖峰厚尾特征外，往往還會伴隨著一定的自相關(guān)性和波動聚集現(xiàn)象，GARCH族波動率模型可以很好地過濾收益率序列中的自相關(guān)性和條件異方差性。因此，波動率模型與極值理論相結(jié)合可以更好地模擬金融時間序列，進(jìn)行尾部風(fēng)險的度量，在此理論框架下構(gòu)建模型并求出相應(yīng)的VaR將更具現(xiàn)實意義。

使用波動率模型和極值理論在金融領(lǐng)域做風(fēng)險測度實證研究一直是熱點。McNeil和Frey（2000）首次使用極值理論（EVT）來估計條件異方差GARCH模型信息分布的尾部，研究表明將GARCH模型和POT模型相結(jié)合估計的VaR和預(yù)期損失（ES）效果更好。我國學(xué)者陳守東等（2007）以上證指數(shù)為研究對象，采用GARCH-EVT估計得到了相對于靜態(tài)指標(biāo)更好的收益率序列的動態(tài)VaR和ES。蔣晶晶等（2015）使用GARCH-EVT-VaR和GARCH-VaR模型對歐盟碳市場風(fēng)險進(jìn)行計量，并對模型計量結(jié)果后檢驗，對比分析證明了GARCH-EVT-VaR模型可以更加精確地對碳市場中的風(fēng)險進(jìn)行計量，為未來可能發(fā)生的極端事件做好準(zhǔn)備。胡根華（2019）構(gòu)建GJRGARCH-EVT模型，擬合中國與東盟主要國家股市收益率序列的邊緣分布，證明了“一帶一路”倡議的實施具有一定的風(fēng)險規(guī)避功能。梁媛和高彩霞（2018）建立ARMA-EGARCH-EVT、ARMA-TGARCH-EVT兩個風(fēng)險度量模型，以蘋果公司股票數(shù)據(jù)為分析對象，結(jié)果表明兩個模型都可以很好地捕捉尾部風(fēng)險。極值理論常用模型為POT模型，該模型的核心是選取一個合理的閾值，閾值的選擇決定了模型形狀參數(shù)和風(fēng)險價值估計的準(zhǔn)確性，然而對于閾值的選取至今未形成一個統(tǒng)一的方法。當(dāng)前閾值選取的常見方法主要有圖解法、Hill統(tǒng)計量法和基于Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2的GPD模型檢驗方法，但這些方法都具有一定的缺陷，國內(nèi)學(xué)者在閾值選取方法上進(jìn)行創(chuàng)新的成果較少。楊青等（2010）嘗試使用平均超出量函數(shù)圖結(jié)合Hill圖法確定CVaR-EVT模型閾值，但圖解法和Hill統(tǒng)計量法在實際應(yīng)用中受主觀因素影響較大；顧云等（2022）將HillPlot圖形法與W2、A2統(tǒng)計量結(jié)合交叉驗證確定最優(yōu)閾值，并與傳統(tǒng)確定閾值方法相比較，在一定程度上避免了選取閾值時的主觀性。由混合權(quán)重函數(shù)構(gòu)建的W2、A2統(tǒng)計量會阻礙對分布函數(shù)一側(cè)尾部的單獨研究，因此在構(gòu)建尾部擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量時，需要對分布函數(shù)的上尾或下尾差異進(jìn)行分配權(quán)重。為此，Hoffmann和Brner（2018）使用AU2統(tǒng)計量，并提出了一種不需要制定任何參數(shù)規(guī)范來分離所需子集的程序，以MSCI指數(shù)為分析對象，有效地確定了一個將未知底分布劃分為主體和尾部區(qū)域的閾值。

通過對以上文獻(xiàn)分析可以發(fā)現(xiàn)，將極值理論與GARCH族模型相結(jié)合的混合模型可以提高對資產(chǎn)收益率序列尾部風(fēng)險的計量精度，但不同類型的GARCH模型與極值理論相結(jié)合對尾部風(fēng)險的刻畫不盡相同，將不同類型的GARCH-EVT模型對資產(chǎn)收益率序列的尾部風(fēng)險模擬情況進(jìn)行比較的實證分析不多。此外，當(dāng)前對極值模型閾值的選取大都還停留在傳統(tǒng)方法上，不可避免地會受到主觀性的影響，風(fēng)險測度結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此，本文考慮標(biāo)準(zhǔn)GARCH和非對稱GARCH模型與極值理論相結(jié)合，并采用基于AU2統(tǒng)計量的擬合優(yōu)度檢驗法確定極值模型閾值，對比分析不同模型得到的VaR值并進(jìn)行回測檢驗，為我國社?；鹜顿Y風(fēng)險測度提供方法借鑒，豐富現(xiàn)有文獻(xiàn)研究結(jié)果。

二、模型及風(fēng)險計量指標(biāo)介紹

（一）ARMA-GARCH族模型

通常情況下，資產(chǎn)收益率序列具有尖峰厚尾特性，并伴隨著一定的自相關(guān)性和條件異方差性，為消除這些特性，可采用ARMA模型修正自相關(guān)，GARCH模型修正條件異方差。下式給出了ARMA（p，q）-GARCH（m，n）的一般形式：

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（1）

et=σtεt（2）

σ2t=ω+∑mi=1φie2t－i+∑nj=1θiσ2t－j（3）

式（1）為均值方程，刻畫ARMA（p，q）過程，t代表時間，r表示收益率，c代表均值方程的截距項，et代表隨機(jī)擾動項，αi為自回歸項系數(shù)，表示滯后i期的收益率對當(dāng)前收益率的影響，βj為移動平均項系數(shù)，表示滯后j期的殘差對當(dāng)前收益率的影響。式（2）描述了殘差項，σt為條件方差，εt是一個白噪聲過程。式（3）為方差方程，ω為常數(shù)項，φ、θ分別表示ARCH系數(shù)和GARCH系數(shù)。

經(jīng)ARMA-GARCH模型過濾后可得到條件均值μt和條件方差σt，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt}，zt是近似服從均值為0、方差為1的獨立同分布的隨機(jī)變量：

（zt－q+1，…，zt）=rt－q+1－μt－q+1σt－q+1，…，rt－μtσt

=et－q+1σt－q+1，…，etσt（4）

對于GARCH族模型，其定階比較困難，不少研究表明m、n取值都為1的GARCH模型，一方面具有很好的擬合性；另一方面在金融上的應(yīng)用更為廣泛，而且符合計量模型簡約性的要求。因此，我們通常直接建立GARCH（1，1）模型。此外，由于GARCH模型不能刻畫收益率序列的杠桿效應(yīng)，下面再介紹兩種能描述收益率非對稱性的EGARCH和GJRGARCH模型。

為了克服GARCH模型的某些缺陷，Nelson于1991年提出了EGARCH模型，ARMA（p，q）-EGARCH（1，1）模型形式表示為

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（5）

et=σtεt（6）

lnσ2t=ω+φet－1σt－1－Eet－1σt－1+λet－1σt－1+θlnσ2t－1（7）

其中，在εt近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下，E（εt）=2π，通過引入杠桿系數(shù)λ，波動率對正值和負(fù)值的et－1反應(yīng)不同，負(fù)的et－1對波動率的貢獻(xiàn)為（φ－λ）et－1/σt－1，正的et－1對波動率的貢獻(xiàn)為（φ+λ）et－1/σt－1。所以當(dāng)λ小于0且顯著時，負(fù)收益對條件方差的影響要大于正收益，即刻畫了金融市場資產(chǎn)收益率對波動率影響的杠桿效應(yīng)，反之則存在反杠桿效應(yīng)。

另一個常用來處理非對稱效應(yīng)的波動率模型為門限GARCH（TGARCH）模型，又稱為GJRGARCH模型，由Glosten、Jagannathan和Runkle提出。ARMA（p，q）-GJR-GARCH（1，1）模型形式表示為

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（8）

et=σtεt（9）

σ2t=ω+（φ+λdt－1）e2t－1+θσ2t－1（10）

其中，dt－1是虛擬變量；參數(shù)λ大于0時，若et－1<0，dt－1=1，若et－1＞0，dt－1=0。從模型可以看出，負(fù)的et－1對波動率的貢獻(xiàn)（φ+λ）e2t－1大于正的et－1對波動率的貢獻(xiàn)φe2t－1。同樣，參數(shù)λ的顯著性可以判斷非對稱效應(yīng)的存在。

（二）極值理論POT模型

極值模型包括BMM模型（區(qū)間極值模型）和POT模型（閾值模型），但是BMM模型可能會忽略掉一些包含豐富信息的數(shù)據(jù)，其有效性不充分。POT模型是一種對樣本中超過某一閾值的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法，對樣本中所有超過閾值的數(shù)據(jù)利用廣義Pareto分布（GPD）進(jìn)行擬合。不少研究表明，POT模型適用于刻畫極端風(fēng)險，對擬合厚尾分布具有較好效果。因此，本文采用極值POT模型描述股市收益率尾部風(fēng)險。經(jīng)由ARMA-GARCH模型過濾得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt}近似為獨立同分布時，對某一足夠大的閾值u，可假設(shè)超出量（Xt=zt－u）近似服從GPD分布：

G（x；ξ，β）=1－1+ξxβ－1/ξ，ξ≠01－exp（－xβ），ξ=0（11）

其中，ξ、β分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，當(dāng)ξ≥0時，x≥0，當(dāng)ξ＜0時，0≤x≤-β/ξ。形狀參數(shù)ξ決定了分布尾部的厚度，ξ越大尾部越厚，相反尾部越薄。

假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的總體分布函數(shù)是F（z），總體分布函數(shù)通常情況下未知，超出量Xt的分布函數(shù)記為Fu（x），由條件概率公式推導(dǎo)可得到總體分布函數(shù)表達(dá)式：

F（z）=（1－F（u））×Fu（x）+F（u）（12）

對于選取的閾值u，在樣本總量n中超過閾值u的個數(shù)記為Nu，則F（u）可以近似表示為

F～（u）=n－Nun（13）

再將G（x；ξ，β）代替Fu（x），即可得到總體分布F（z）表達(dá)式：

F（z）=1－Nun1+ξxβ－1/ξ，ξ≠01－Nunexp－xβ，ξ=0（14）

（三）POT模型閾值選取方法

POT模型建立的核心是選取合適的閾值，選取的閾值是否恰當(dāng)會影響到風(fēng)險指標(biāo)估計結(jié)果的精準(zhǔn)度。目前有學(xué)者嘗試使用由加權(quán)均方誤差構(gòu)建的Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2來確定閾值，但W2、A2統(tǒng)計量的權(quán)重函數(shù)對分布的上尾和下尾進(jìn)行相同程度的加權(quán)，不利于對分布的一側(cè)尾部進(jìn)行單獨研究。Brner和Hoffmann提出建議使用AU2上尾檢驗統(tǒng)計量或AL2下尾檢驗統(tǒng)計量來有效確定閾值，后續(xù)又通過對一攬子加密貨幣收益率尾部數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，能夠有效度量尾部風(fēng)險。

考慮加權(quán)均方誤差Rn來衡量模擬分布G（x）與經(jīng)驗累積分布函數(shù)Fn（x）之間的差異，如式（15）所示，其中w（t）為非負(fù)權(quán)重函數(shù)，a、b代表應(yīng)力參數(shù)，分別影響下尾權(quán)重和上尾權(quán)重。當(dāng)a=b=0時，Rn代表著W2統(tǒng)計量；當(dāng)a=b=1時，Rn代表著A2統(tǒng)計量；當(dāng)a=1，b=0時，為AL2下尾統(tǒng)計量；當(dāng)a=0，b=1時，為AU2上尾統(tǒng)計量，見式（16）。由于需要對收益率的極端損失數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，對隨機(jī)變量z做坐標(biāo)變換y=－z，隨機(jī)變量z分布的下尾分析可以在坐標(biāo)變換后，通過使用隨機(jī)變量y的上尾統(tǒng)計量來執(zhí)行，因此本文只考慮AU2統(tǒng)計量。

Rn=n∫+∞－∞（Fn（x）－G（x））2w（G（x））dG（x）w（t）=1ta（1－t）bt∈［0，1］，a≥0，b≥0（15）

Rn，0，1=12n－∑ni=1［2G（xi）+2（n－i）+1nln（1－G（xi）］（16）

基于上尾檢驗統(tǒng)計量AU2的擬合優(yōu)度檢驗法來確定極值模型閾值的自動化建模過程步驟如下：

（1）對從未知分布中隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù)樣本按照y（1）＞y（2）＞…＞y（n）降序排列；

（2）設(shè)k=2，…，n，并對每個k求出相應(yīng)的G（x；ξ，β）的參數(shù)估計值ξ^、β^；

（3）對于每個i=1，…，k，由式（11）計算相應(yīng)概率G（xi；ξ^，β^），并代入式（16）確定統(tǒng)計量AU2k；

（4）找到使AU2k取得最小值時對應(yīng)的索引值k*。

通過以上步驟可以找到最優(yōu)閾值u^=yk*，并且未知底分部的尾部模型G（x；ξ^k*，β^k*）由樣本子集y（1）＞y（2）＞…＞y（k*）估計確定。

（四）風(fēng)險測度指標(biāo)構(gòu)建

風(fēng)險價值（VaR）的定義為資產(chǎn)在置信水平q下，其在未來一段時間內(nèi)的最大可能損失，其實質(zhì)是某一置信水平下的高分位數(shù)。下面給出ARMA-GARCH族模型下VaR的估計表達(dá)式，在假定收益率近似服從正態(tài)分布下，收益率序列{rt}的VaRtq與殘差序列{zt}的VaRq的關(guān)系為

VaRt+1q=μt+1+σt+1VaRq（17）

其中，VaRq=F－1z（q）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的q分位數(shù)。

同理，對于給定置信度q，由式（14）可得POT模型下的VaR估計表達(dá)式：

VaRq=F－1z（q）=u+（nNu（1－q）－ξ^－1）（18）

結(jié)合波動率模型，可得到基于ARMA-GARCH族模型和POT模型下構(gòu)建的動態(tài)VaR估計表達(dá)式：

VaRt+1q=μt+1+σt+1u+（nNu（1－q）－ξ^－1）（19）

（五）VaR回測分析

對于模型得到VaR估計值，使用Kupiec（1995）提出的似然比檢驗進(jìn)行回測分析，其核心思想是當(dāng)實際損失大于VaR估計值時，則該VaR值沒有有效衡量資產(chǎn)在持有期的預(yù)期最大損失，即估計失敗。記T為實際考察天數(shù)，失敗次數(shù)為N，p=N/T為實際失敗率。期望失敗率記為p*=1－q，期望失敗率與實際失敗率越接近，估計的VaR越準(zhǔn)確。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量LR如下：

LR=－2ln（（1－p*）T－Np*N）+2ln（（1－N/T）T－N（N/T）N）～χ2（1）（20）

假設(shè)在95%置信水平下，自由度為1的卡方分布臨界值為3841，若在95%置信水平下計算的LR統(tǒng)計量小于3841，即認(rèn)為此時VaR值有效，模型適用。

三、實證分析

（一）數(shù)據(jù)樣本選取及分析

我國社?；鹜顿Y以往集中于銀行存款、國債等低風(fēng)險、低收益產(chǎn)品，這也限制了社?；鸬谋Ｖ?、增值能力。因此，近些年社?；鹪谥饾u增加對股市的投資比例。社?；鹜顿Y股市可以提高收益率，但鑒于我國資本市場尚不成熟，基金入市也面臨較大風(fēng)險。本文以上證指數(shù)為例，對社?；鹜顿Y風(fēng)險進(jìn)行刻畫，樣本數(shù)據(jù)來源于WIND數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)處理及分析借助SPSS260、MATLABR2021b完成。

選取上證指數(shù)2013年1月4日至2023年7月28日共2569個交易日收盤價為研究對象，由于樣本時間跨度較長，且該時期出現(xiàn)了影響股市的極端事件，這將有利于提取收益率序列的尾部風(fēng)險信息。使用收益率公式rt+1=lnpt+1－lnpt，對原始收盤價做對數(shù)收益率處理，能夠剔除時間序列數(shù)據(jù)中的趨勢項成分，使處理后的數(shù)據(jù)更具平穩(wěn)性原始收盤價有2569個數(shù)據(jù)，進(jìn)行對數(shù)處理后得到2568個數(shù)據(jù)。。其中pt表示股票在第t個交易日的收盤價，rt為對數(shù)收益率，圖1給出了樣本對數(shù)收益率的時間序列。

圖1樣本容量為2568的上證指數(shù)收益率序列

由圖1可以初步判斷該收益率序列圍繞0上下波動，大致為平穩(wěn)序列。收益率伴隨著明顯的波動聚集性，即大波動后緊跟著大波動，小波動后緊跟著小波動。此外，該收益率序列波動對正收益和負(fù)收益的反應(yīng)不一致，即可能存在非對稱效應(yīng)。一些觀測值區(qū)間波動較大，如第700個觀測值到第1000個觀測值，這可能是受一些極端事件的影響所致。綜上，初步判斷該收益率序列大致吻合GARCH族模型建模特征。

對該收益率序列的統(tǒng)計特性、相關(guān)檢驗進(jìn)行進(jìn)一步分析，結(jié)果如表1所示。從均值計算結(jié)果來看，上證指數(shù)收益率偏低，由標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果來看，該收益率序列波動較大，符合股票市場高風(fēng)險、高收益的特征。偏度系數(shù)06411大于0，屬于右偏分布，說明收益率序列是非對稱的。峰度系數(shù)286101遠(yuǎn)大于正態(tài)分布的峰值3，J-B檢驗結(jié)果在1%顯著性水平下能夠認(rèn)為該序列不服從正態(tài)分布，再由對數(shù)收益率序列Q-Q圖（圖2）可知，尾部樣本點明顯偏離直線，說明該收益率分布函數(shù)尾部相較于正態(tài)分布尾部具有厚尾特性。由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)圖（圖3）可知，對數(shù)收益率序列存在明顯自相關(guān)性。最后，對收益率序列做平穩(wěn)性檢驗可知，ADF檢驗t統(tǒng)計量在1%顯著性水平下接受原假設(shè)，即該序列平穩(wěn)，可做時間序列分析。

（二）ARMA-GARCH類模型構(gòu)建及樣本過濾

首先構(gòu)建ARMA模型描述該時間序列的變化趨勢，模型階數(shù)由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)及結(jié)合AIC、BIC信息準(zhǔn)則確定，最終選擇構(gòu)建ARMA（3，6）模型作為均值方程，模型參數(shù)估計如表2所示，參數(shù)估計結(jié)果均在1%顯著性水平下顯著。

對ARMA（3，6）模型殘差項et分別做滯后5、10、15階的Ljung-Box相關(guān)性檢驗，檢驗結(jié)果如表3所示，可知ARMA（3，6）模型對該時間序列模擬較好，殘差序列不存在自相關(guān)性。ARMA模型通常假定殘差項服從白噪聲過程，即殘差項的方差是一個常數(shù)，所以ARMA模型只能消除收益率序列的自相關(guān)性，還需要建立GARCH模型消除收益率序列的異方差性。首先對殘差平方項e2t做拉格朗日乘數(shù)LM-ARCH檢驗，確保該序列適合使用GARCH模型進(jìn)行刻畫，輔助線性回歸模型滯后階數(shù)為5，檢驗結(jié)果如表3所示，可知收益率序列存在ARCH效應(yīng)，可以構(gòu)建GARCH模型。

由于GARCH模型不能夠刻畫收益率序列的非對稱效應(yīng)，即收益的上漲或下跌會非對稱地影響隨后的波動。因此，本文繼續(xù)構(gòu)建ARMA（3，6）-EGARCH（1，1）、ARMA（3，6）-GJRGARCH（1，1）模型進(jìn)一步來刻畫收益率的非對稱效應(yīng)。從表6參數(shù)估計結(jié)果可以看到，EGARCH模型杠桿系數(shù)λ大于0且顯著，正收益對波動性帶來087倍的影響要大于負(fù)收益對波動①在ARMA模型和GARCH模型之間存在相關(guān)性或者相互影響的情況下，即使某些ARMA模型參數(shù)不顯著，GARCH模型可能仍然需要這些參數(shù)來更好地捕捉數(shù)據(jù)的特征，不顯著的參數(shù)表4不再列出。

性帶來078倍的影響，表明收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。GJRGARCH模型的杠桿系數(shù)λ大于0且顯著，正收益對波動性帶來016倍的影響要小于負(fù)收益對波動性帶來053倍的影響，說明收益率序列存在杠桿效應(yīng)。兩個模型均證明該收益率序列存在顯著的非對稱效應(yīng)，但得到非對稱結(jié)果相反。Ljung-Box檢驗、K-S檢驗結(jié)果證明在5%顯著性水平下兩模型均擬合效果良好且過濾后的標(biāo)準(zhǔn)化殘差為白噪聲。

為進(jìn)一步對模型擬合效果進(jìn)行評價，使用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）、貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）及對數(shù)似然函數(shù)值對三種模型進(jìn)行評價。AIC、BIC越小，對數(shù)似然函數(shù)值越大，代表模型擬合效果越好，即模型所預(yù)測出的結(jié)果更符合實際數(shù)據(jù)。由表7可知，非對稱類模型各指標(biāo)評價要優(yōu)于對稱GARCH模型，表明考慮到收益率序列非對稱特性的GARCH模型對數(shù)據(jù)擬合效果會更好。此外，EGARCH模型擬合效果要優(yōu)于GJRGARCH模型，因此我們更傾向于認(rèn)為該收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。

（三）POT模型及最優(yōu)閾值構(gòu)建

極值POT模型是對超過某一閾值的觀測值使用廣義Pareto分布進(jìn)行擬合，因此在POT模型中，閾值的選取極為重要，其將直接影響到模型對收益率序列尾部數(shù)據(jù)的擬合程度。對于經(jīng)由ARMA-GARCH族模型過濾得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt}，采用AU2統(tǒng)計量確定閾值u，同時使用W2、A2統(tǒng)計量檢驗極值POT模型擬合優(yōu)度。表8給出了三種模型在AU2取得最小值時的POT模型相關(guān)參數(shù)估計量，從形狀參數(shù)ξ來看，參數(shù)值均大于0，說明樣本數(shù)據(jù)表現(xiàn)出比正態(tài)分布尾部更厚的特征，與描述性分析結(jié)果一致。此外，三種模型的AU2、W2、A2統(tǒng)計量檢驗均在5%顯著性水平下通過擬合優(yōu)度檢驗。

以GARCH-POT模型為例，圖4左圖給出了AU2統(tǒng)計量隨尾部樣本量k的增加及其P值變化情況，右圖為在AU2統(tǒng)計量最小值附近，包括W2、A2統(tǒng)計量在內(nèi)及其相應(yīng)p值的擴(kuò)大圖?？梢钥吹?，GARCH-POT、EGARCH-POT、GJRGARCH-POT模型分別在k=199、k=188、k=431處AU2達(dá)到了最小值，此時的閾值代表著最佳閾值，同時，在此區(qū)域附近AU2、W2、A2統(tǒng)計量幾乎都達(dá)到了最小，相應(yīng)P值均很高，表明構(gòu)建的POT模型對尾部數(shù)據(jù)擬合質(zhì)量足夠高。根據(jù)經(jīng)驗法則，超出閾值的樣本數(shù)量應(yīng)占據(jù)總樣本數(shù)量的10%～15%，本文由AU2統(tǒng)計量確定三種模型的尾部樣本數(shù)據(jù)占比分別為78%、73%、168%，如果使用AU2統(tǒng)計量確定閾值的方法是錯誤的，那么W2、A2統(tǒng)計檢驗應(yīng)該會拒絕閾值范圍內(nèi)的廣義Pareto分布，而檢驗結(jié)果顯示三種模型在各自選定閾值下的擬合優(yōu)度較好，這說明最優(yōu)尾部長度與數(shù)據(jù)總量之間并不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系，使用AU2統(tǒng)計量能夠避免主觀因素的影響且有效確定閾值。

圖5給出了數(shù)據(jù)的經(jīng)驗累積分布函數(shù)，以GARCH-POT模型為例，經(jīng)驗分布函數(shù)Fn（x）在u=y（199）=06961處分離出尾部區(qū)域，內(nèi)圖顯示了GPD分布作為

尾部模型和經(jīng)驗分布函數(shù)尾部區(qū)域的比較，以及給出了金融機(jī)構(gòu)風(fēng)險評估中常用置信水平950%、99%、999%下的高分位數(shù)比較。可以看到由ARMA-GARCH、ARMA-EGARCHT和ARMA-GJRGARCH模型得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差尾部經(jīng)驗累積分布與GPD分布表現(xiàn)基本一致，因此可以使用POT模型進(jìn)行VaR法的尾部風(fēng)險測度。

（四）VaR測度及回測分析

首先利用GARCH類模型對收益率序列樣本觀測日期內(nèi)三種置信水平下的VaR進(jìn)行風(fēng)險測度，根據(jù)前文得到的GARCH類模型遞推得到每天的條件方差和條件均值，在標(biāo)準(zhǔn)化殘差近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下，計算相應(yīng)分位數(shù)，代入式（17）計算每一天的VaR值，回測分析結(jié)果如表9所示。可知，只有EGARCH-VaR

模型在99%置信水平下的VaR值通過了回測檢驗，其余模型在較高置信水平下（990%、999%）會低估風(fēng)險，表明傳統(tǒng)GARCH-VaR模型對厚尾特征下的資產(chǎn)收益率序列尾部風(fēng)險估計精度不高。

將POT模型估計參數(shù)代入式（18）得到置信水平分別為950%、990%、999%下的VaR估計值，三種模型估計的尾部風(fēng)險計量結(jié)果如表10所示。初步可知，隨著置信水平的提高，模型對VaR的估計越來越高。由POT模型估計得到的VaR只是一個靜態(tài)測度值，靜態(tài)VaR沒有考慮波動率的時變特性，其在整個時間段內(nèi)都是靜止不變的，在測算上會存在較大的誤差。動態(tài)VaR結(jié)合了波動率的時變性，下一個時間點的波動性根據(jù)上一個時間點的波動性進(jìn)行預(yù)測，整個時期中波動性并不是固定的，因此在預(yù)測精度、時效性等方面都是靜態(tài)風(fēng)險值所無法比擬的。

結(jié)合上述結(jié)果，進(jìn)一步利用式（19）測算2568個交易日上證指數(shù)的動態(tài)風(fēng)險價值，三種模型及對應(yīng)不同置信水平下的動態(tài)VaR值如圖6所示，并對計量結(jié)果進(jìn)行失敗率回測檢驗，結(jié)果見表11。從圖6來看，三種模型得出的VaR大體上都能刻畫收益率序列的波動聚集特性，結(jié)合表11中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

（1）在風(fēng)險測度方法上，GARCH-POT-VaR模型對收益率序列尾部風(fēng)險的測度效果與傳統(tǒng)GARCH-VaR模型相比有較大提升。這表明將波動率GARCH類模型與極值理論相結(jié)合，不僅能夠?qū)κ找媛市蛄械牟▌有浴⒎菍ΨQ性等特征進(jìn)行刻畫，還能夠?qū)ξ膊繑?shù)據(jù)特征較好的擬合，得到的VaR值更貼近實際損失。

（2）三種模型在三種置信水平下均通過了失敗率檢驗，三種模型測度效果并沒有太大差別，并且EGARCH-POT-VaR和GJRGARCH-POT-VaR模型測度結(jié)果幾乎一致。

（3）相較于950%和999%置信水平，990%置信水平下各模型的LR統(tǒng)計量更小，失敗率也更貼近期望失敗率，因此，各模型在990%置信水平下對尾部風(fēng)險的估計效果最精準(zhǔn)。

四、結(jié)語

本文利用GARCH族模型在刻畫收益率序列波動性方面的優(yōu)勢及極值POT模型對尾部極端數(shù)據(jù)的處理能力，構(gòu)建ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT、ARMA-GJRGARCH-POT模型，結(jié)合VaR風(fēng)險測度方法對社保基金投資風(fēng)險進(jìn)行測度，有以下幾點結(jié)果：第一，股市收益率序列描述性統(tǒng)計結(jié)果顯示，收益率不服從正態(tài)分布，而呈現(xiàn)尖峰厚尾特性，并伴隨著自相關(guān)、波動聚集、非對稱特征。第二，ARMA-EGARCH、ARMA-GJRGARCH模型相較于ARMA-GARCH只能刻畫自相關(guān)、波動聚集特性，還能較好地刻畫資產(chǎn)收益率的非對稱特性，且ARMA-EGARCH對收益率序列的波動性刻畫最為真實。第三，極值POT模型檢驗結(jié)果證明GPD分布能夠較好地模擬收益率序列的尾部分布，同時在選取閾值時，采用AU2統(tǒng)計量擬合優(yōu)度檢驗法可以有效避免主觀因素的影響。第四，由VaR回測結(jié)果來看，傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風(fēng)險，POT模型能夠較好彌補(bǔ)GARCH類模型對尾部風(fēng)險估計不足的缺陷。三種GARCH-POT模型都能夠?qū)討B(tài)VaR進(jìn)行較好的測度，且在990%置信水平下各模型測度效果最好。

當(dāng)前我國資本市場尚不成熟，社?；鹜顿Y還面臨較大風(fēng)險，GARCH-POT-VaR模型為全國社會保障基金理事會準(zhǔn)確測度我國股市尾部風(fēng)險提供了理想工具，有利于投資管理人對資產(chǎn)價格波動風(fēng)險的量化和管控。

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ResearchonTailRiskMeasurementofSocialSecurityFundInvestmentBasedonGARCH-POT-VaRModel

CHENGuodongWANGJiaqi

（SchoolofManagementandEconomics，NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower，Zhengzhou450046，China）

Abstract：Socialsecurityfundisanimportantsecurityfundtosolvetheagingproblemofourcountry，theinvestmentincomefluctuatesgreatlyinthepastfiveyears，howtoaccuratelymeasuretheinvestmentriskofsocialsecurityfundisanimportantissuetoimprovetheinvestmentsecurityofsocialsecurityfundOnthebasisofconsideringthevolatilitycharacteristicsofthereturnseries，theGARCHfamilymodelisproposedtodepictthevolatilitycharacteristicsofthereturnseriesandthePOTmodeltoprocessextremetaildata，andthreetailriskmeasurementmodelsoffinancialmarketsareconstructed：ARMA-GARCH-POT，ARMA-EGARCH-POTandARMA-GJRGARCH-POTareappliedtothedynamicmeasurementofVaRIntheconstructionofextremePOTmodel，AU2statisticswereusedtodeterminethethreshold，andW2andA2statisticswereusedtotestthegoodnessoftailfitting，whichavoidedsubjectivityFinally，VaRismeasuredandback-testedTheresultsshowthatthetraditionalGARCH-VaRmodelwillunderestimatetheextremetailrisk，andtheGARch-typemodelcombinedwithPOTmodelhasamoreaccuratemeasurementeffectondynamicVaR，andeachmodelcanmoreaccuratelyquantifythetailriskofstockmarketreturnatthe990%confidencelevel

Keywords：SocialSecurityFund；TailRiskMeasurement；ARMA-GARCHFamilyModel；ExtremeValueTheory；VaR