導(dǎo)數(shù)在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中的應(yīng)用

摘要：近年來，人工智能發(fā)展勢頭強(qiáng)勁。在這一領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)在算法設(shè)計(jì)和模型優(yōu)化等方面扮演著舉足輕重的角色。同時(shí)，導(dǎo)數(shù)也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)。以卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練為設(shè)計(jì)案例，旨在提煉出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和思想，以期激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的科研能力，同時(shí)也為基礎(chǔ)課程的建設(shè)和發(fā)展提供助力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)；梯度；CNN；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

中圖分類號(hào)：TP18文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）35-0016-05開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

0引言

在21世紀(jì)的數(shù)字化時(shí)代，人工智能（ArtificialIn?telligence，AI）已成為推動(dòng)科技創(chuàng)新與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)鍵動(dòng)力。從深度學(xué)習(xí)的重大突破到自然語言處理的飛速發(fā)展，AI正以驚人的速度革新著生活和工作的方式[1]。如今，圖像識(shí)別技術(shù)現(xiàn)已經(jīng)能夠匹敵甚至超越人類視覺，自動(dòng)識(shí)別和分類數(shù)百萬圖像。語音助手如Siri（或其他語音助手）日益智能，可理解和執(zhí)行復(fù)雜命令。自動(dòng)駕駛系統(tǒng)，如特斯拉Autopilot，為駕駛者提供輔助功能。醫(yī)療領(lǐng)域中，AI輔助診斷系統(tǒng)幫助醫(yī)生提高診斷疾病的準(zhǔn)確性和治療效率。金融行業(yè)內(nèi)，通過大數(shù)據(jù)分析與機(jī)器學(xué)習(xí)算法，AI助力銀行和投資公司評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)，并預(yù)測市場趨勢。教育領(lǐng)域內(nèi)，個(gè)性化學(xué)習(xí)系統(tǒng)根據(jù)學(xué)生習(xí)慣與能力提供定制化教學(xué)方案。從智能音箱到自動(dòng)駕駛汽車，從精準(zhǔn)醫(yī)療到個(gè)性化教育，人工智能的應(yīng)用已經(jīng)深入人們生活的每一個(gè)角落。而在這一切背后，有一種數(shù)學(xué)工具正在發(fā)揮著至關(guān)重要的作用——那就是導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)在人工智能的廣闊天地里，應(yīng)用廣泛至極。它是機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)核心算法的數(shù)學(xué)基石，尤其在模型優(yōu)化、性能分析以及特定應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮著不可替代的作用。例如，在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)，導(dǎo)數(shù)可以幫助計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于參數(shù)的梯度，沿梯度指引快速降低損失并提升預(yù)測能力。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)幫助人們理解智能體的行為和環(huán)境之間的相互作用。如策略梯度方法[2]，計(jì)算獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)關(guān)于智能體行為的導(dǎo)數(shù)，以便優(yōu)化智能體的策略和反饋調(diào)整自己的行為，以達(dá)到更好的性能。再如基于梯度的優(yōu)化算法，尋找最佳策略[3]和支持向量機(jī)[4]中的最優(yōu)超平面。在模型性能分析中，導(dǎo)數(shù)評(píng)估模型對輸入變化的敏感度，增強(qiáng)對模型魯棒性和過擬合的理解。在圖像識(shí)別任務(wù)中，基于導(dǎo)數(shù)理解模型對輸入像素值輕微變動(dòng)的反應(yīng)，可揭示模型面對對抗性攻擊時(shí)的脆弱性。在自然語言處理領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)的重要性同樣不言而喻。比如，Word2Vec模型采用導(dǎo)數(shù)來計(jì)算詞向量之間的相似度。在處理序列數(shù)據(jù)，如機(jī)器翻譯或文本生成時(shí)，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RecurrentNeuralNetwork，RNN）和長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LongShortTermMemory，LSTM）等[5-7]模型利用導(dǎo)數(shù)來計(jì)算隱藏狀態(tài)的變化，使得模型能夠?qū)W習(xí)并記住長時(shí)間的依賴關(guān)系。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用使人工智能模型能夠更精確地捕捉到數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征，為解決復(fù)雜的實(shí)際問題提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。

導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的核心理論，既是被視為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也常被視為難點(diǎn)。其概念的抽象性、眾多復(fù)雜的公式及其應(yīng)用常常使得學(xué)生感到困惑與挫敗。若教學(xué)過程僅理論與計(jì)算而忽視實(shí)際應(yīng)用，難以幫助學(xué)生全面理解導(dǎo)數(shù)的概念與功能，也不利于激發(fā)學(xué)生的興趣和培養(yǎng)創(chuàng)新能力。因此本文從導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度等基本概念出發(fā)，深入分析它們之間的關(guān)系，進(jìn)而以導(dǎo)數(shù)在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ConvolutionalNeuralNet?work，CNN）[8]的應(yīng)用為例，深度討論導(dǎo)數(shù)在人工智能領(lǐng)域的具體應(yīng)用，進(jìn)而為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)豐富化和基礎(chǔ)課程的建設(shè)與發(fā)展提供有力支持。具體工作主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先回顧相關(guān)知識(shí)，包括導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度等基本概念及其聯(lián)系；然后介紹梯度下降法；接著推導(dǎo)CNN的參數(shù)梯度遞推公式，并結(jié)合梯度下降法更新參數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；最后通過Py?thon環(huán)境下LeNet算法[9]在MNIST數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證梯度下降方法的有效性。

這里坐標(biāo)（i′，j′）是第l+1層中在向前傳播中受第l層坐標(biāo)（i，j）影響的點(diǎn)，坐標(biāo)（h，w）是影響區(qū)域中的最大值的坐標(biāo)。同時(shí)影響坐標(biāo)（i′，j′）的點(diǎn)有k×k個(gè)，并且都滿足式（29）。因此在第l層中影響坐標(biāo)（i′，j′）的k×k區(qū)域內(nèi)最大值位置處的元素的誤差項(xiàng)為δ（l+1）i′，j′，其他位置全部值為0。當(dāng)平均池化時(shí)

2.3小結(jié)

圖4是基于YannLeCun在1998年設(shè)計(jì)并提出的經(jīng)典LeNet模型和MNIST數(shù)據(jù)集作為訓(xùn)練樣本集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖中展現(xiàn)的是隨迭代次數(shù)增加，目標(biāo)函數(shù)（loss）變化曲線圖。由圖可見，隨著迭代（epochs）次數(shù)增加，在更新參數(shù)的情況下，目標(biāo)函數(shù)逐漸減少。可見在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，反向傳播算法通過鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算損失函數(shù)對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，確保參數(shù)更新方向和步長，降低損失，促進(jìn)模型學(xué)習(xí)和優(yōu)化，提升預(yù)測能力。

3結(jié)束語

從高等數(shù)學(xué)的基本概念—導(dǎo)數(shù)出發(fā)，結(jié)合當(dāng)前熱門的人工智能領(lǐng)域，本文深入闡述了導(dǎo)數(shù)在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程的具體應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)確定了CNN不同網(wǎng)絡(luò)層參數(shù)更新方向和步長，逐步調(diào)整參數(shù)，使輸出更接近期望，促進(jìn)CNN高效學(xué)習(xí)和優(yōu)化。最后，通過經(jīng)典卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和數(shù)據(jù)集進(jìn)行演示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果深層體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在其中的實(shí)際應(yīng)用。若新技術(shù)融合于基礎(chǔ)課程，有助于學(xué)生領(lǐng)悟理論、培養(yǎng)實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維，也利于未來技術(shù)工作或科研必備能力的形成；同時(shí)，促進(jìn)課程建設(shè)與發(fā)展，使新技術(shù)為基礎(chǔ)學(xué)科提供支持。

參考文獻(xiàn)：

[1]BOMMASANIR，HUDSONDA，ADELIE，etal.Ontheopportu?nitiesandrisksoffoundationmodels[M].arXivpreprintarXiv，2021.

[2]劉建偉，高峰，羅雄麟.基于值函數(shù)和策略梯度的深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)綜述[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2019，42（6）：1406-1438.

[3]孫燦宇.增強(qiáng)學(xué)習(xí)算法尋找最優(yōu)策略分析[J].電子技術(shù)與軟件工程，2017（4）：183.

[4]顧亞祥，丁世飛.支持向量機(jī)研究進(jìn)展[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2011，38（2）：14-17.

[5]SHERSTINSKYA.Fundamentalsofrecurrentneuralnetwork（RNN）andlongshort-termmemory（LSTM）network[J].PhysicaD：NonlinearPhenomena，2020，404：132306.

[6]YUY，SIXS，HUCH，etal.Areviewofrecurrentneuralnet?works：LSTMcellsandnetworkarchitectures[J].NeuralCompu?tation，2019，31（7）：1235-1270.

[7]DEBARRENATF，F(xiàn)ERRANDOJL，GARCíAA，etal.Toolre?mainingusefullifepredictionusingbidirectionalrecurrentneu?ralnetworks（BRNN）[J].TheInternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology，2023，125（9）：4027-4045.

[8]SHYAMR.Convolutionalneuralnetworkanditsarchitectures[J].JournalofComputerTechnologyamp;Applications，2021，12（2）：6-14.

[9]LECUNY，BOTTOUL，BENGIOY，etal.Gradient-basedlearn?ingappliedtodocumentrecognition[J].ProceedingsoftheIEEE，1998，86（11）：2278-2324.

[10]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2003.

[11]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)-上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[12]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2003.

[13]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007．

[14]阿斯頓，李沐.動(dòng)手學(xué)深度學(xué)習(xí)[M].北京：人民郵局出版社，2005.

[15]雷明.機(jī)器學(xué)習(xí)與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2019.

【通聯(lián)編輯：王力】

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