朱浩楠：讓數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生撬動世界的支點

怎樣根據(jù)景點特色與游覽需求合理規(guī)劃旅游路線？如何綜合考慮票價、視野效果等因素挑選性價比高的劇場座位？這些日常生活中的常見問題，實質(zhì)上都屬于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用范疇。自2014年開始，北京市十一學(xué)校教師朱浩楠一直致力于高中數(shù)學(xué)建模教育的實踐與推廣，從創(chuàng)立學(xué)校數(shù)學(xué)建模社團，到組建數(shù)學(xué)建模實驗室及開展各項活動，再到成為北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)建模教育中心核心成員，他帶領(lǐng)學(xué)生不斷挖掘生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并據(jù)此發(fā)展他們對于核心現(xiàn)象的認(rèn)識，不僅加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解，還引導(dǎo)他們找到了撬動世界的支點。

從“0”到“1”的高中數(shù)學(xué)建模

2014年夏天，剛?cè)肼殐H三天的朱浩楠便給時任北京市十一學(xué)校副校長的田俊遞送了一份文件，提議在高中階段開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，并附上了自己的課程規(guī)劃，希望通過啟發(fā)式引導(dǎo)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的深刻理解。田俊給出的建議是，可以先從社團做起。于是，受到鼓舞的朱浩楠開始將他對數(shù)學(xué)建模課程的構(gòu)想一步步化為現(xiàn)實。

彼時，數(shù)學(xué)建模在大學(xué)已廣泛普及，但在中學(xué)尚處于初步探索階段，落實起來基本上需要從零做起。在多數(shù)教師眼中，數(shù)學(xué)建模本身難度較大，開發(fā)起來費時費力，加之高考并不涉及相關(guān)內(nèi)容，因此，除了專門負(fù)責(zé)競賽輔導(dǎo)的教師之外，鮮有人愿意投入大量精力鉆研探索，導(dǎo)致教學(xué)素材十分匱乏。

朱浩楠認(rèn)為，數(shù)學(xué)一直被人們視為探索世界奧秘、驅(qū)動科技進(jìn)步的關(guān)鍵學(xué)科。然而，學(xué)生們整日沉浸在題海中，往往難以真正體會數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值。他相信，雖然絕大多數(shù)學(xué)生不會成為數(shù)學(xué)家，但每個人未來都需要借助數(shù)學(xué)解決各類問題。這更加堅定了他在高中推進(jìn)數(shù)學(xué)建模的信念。由于大學(xué)數(shù)學(xué)建模教材難度偏大，即便是向高中生講授節(jié)選的簡單章節(jié)，教學(xué)效果也不甚理想。對此，他一方面鉆研大學(xué)數(shù)學(xué)建模的參考書，并緊密結(jié)合高中課程標(biāo)準(zhǔn)，篩選出學(xué)生能夠基于課內(nèi)所學(xué)自然延伸、拓展的內(nèi)容；另一方面結(jié)合學(xué)生的生活實際，開發(fā)出新的案例，以便學(xué)生能夠更好地理解相關(guān)內(nèi)容。

解決了“教什么”，還需要解決“如何教”的問題。好的課堂設(shè)計是確保教學(xué)內(nèi)容充分發(fā)揮效用的關(guān)鍵。朱浩楠最初的教學(xué)方式是，先拋出一個問題，然后向?qū)W生講解解決問題的具體方法，但很快他便發(fā)現(xiàn)，之后學(xué)生每次所構(gòu)建的模型大多是課上演示模型的復(fù)制品，一旦遇到新的問題，學(xué)生的第一反應(yīng)往往是找模型套用，如果不能匹配，就束手無策了。

在朱浩楠看來，高中階段的數(shù)學(xué)建模教育并非僅僅為了傳授學(xué)生幾個針對特定問題的具體模型，而是借助這些過程和體驗，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而使他們在未來面對復(fù)雜的現(xiàn)實問題時，能夠結(jié)合實際情況，自主設(shè)計并完善相應(yīng)的模型或解法?；谶@樣的思考，他踏上了探索新方法的征程。

不僅“知其所以然”，還要“知其若不然”

發(fā)現(xiàn)并提出問題是整套數(shù)學(xué)建模流程的起點。它往往被視為創(chuàng)新誕生的第一步，也恰恰是相當(dāng)一部分學(xué)生的短板所在。朱浩楠每年都會給學(xué)生布置一項作業(yè)，要求他們根據(jù)自己的興趣愛好，提出一個想要通過數(shù)學(xué)建模解決的問題。令他感到有些意外的是，最初幾年收集上來的作業(yè)基本上集中于校園垃圾桶擺放、校門口車流量調(diào)控以及學(xué)校食堂座位分布這三類問題。問過學(xué)生之后才得知，他們之所以提出這些問題，并非出于個人興趣，而是模仿了那些頻繁出現(xiàn)在教材和習(xí)題中的場景。

發(fā)現(xiàn)并提出問題原本是人的本能，為何積累了十幾年學(xué)習(xí)經(jīng)驗的高中生反而在這一方面變遲鈍了？朱浩楠認(rèn)為，其中一個重要原因在于不少教師把數(shù)學(xué)課上成了“如何解數(shù)學(xué)題”，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知中的數(shù)學(xué)與生活體驗相脫節(jié)。“這種做法雖然能提高學(xué)生的應(yīng)試能力，但忽視了向他們闡釋解題方法背后的數(shù)學(xué)原理。久而久之，當(dāng)學(xué)生走出考場，真正面對現(xiàn)實生活中的具體問題時，往往難以意識到很多問題其實可以用數(shù)學(xué)的方法來解決?！彼忉尩?。

朱浩楠鼓勵學(xué)生大膽猜想、勇于提問、小心求證。他常對學(xué)生說：“只要敢于提出，就是好問題?！辈⑦M(jìn)一步引導(dǎo)他們基于這些問題構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。即使中途失敗了也沒關(guān)系，那就再帶他們回頭審視“基本假設(shè)是否正確”，然后在不斷試錯中迭代改進(jìn)。

為了幫助學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)，朱浩楠在課堂上并不急于帶學(xué)生直奔標(biāo)準(zhǔn)答案，而是盡可能帶他們體會研究科學(xué)問題真實而自然的過程，有時還會特意設(shè)計一些“彎路”，不僅讓學(xué)生“知其所以然”，還要“知其若不然”。“因為前者僅能教會學(xué)生很好地復(fù)制他人的研究成果，后者才是突破現(xiàn)有認(rèn)知壁壘，進(jìn)而解決新問題的關(guān)鍵。”因此，在朱浩楠的課堂上，時常能聽到他向?qū)W生提問：“這套數(shù)學(xué)模型有沒有更好的建立辦法？”“為什么他們是那樣構(gòu)造的？”“能否換一個角度解決這個問題？”等，從而將學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考不斷引向深入。

以“人口模型”為例，朱浩楠先讓學(xué)生在黑板上列出他們認(rèn)為可能影響某地人口流動的因素，并闡述各自的理由。學(xué)生們紛紛發(fā)言，有的提到教育政策、醫(yī)療水平，有的提出豬肉價格、大型演唱會的數(shù)量等因素也可能對人口流動產(chǎn)生影響。接著，他故意發(fā)問：“那你們能否用這些影響因素去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢？”學(xué)生們最初感到不解，表示因素太多，需要合并，而后便很快開始自發(fā)進(jìn)行篩選、分類，經(jīng)過多輪討論及反問，最終確定了幾個主要影響因素，并在黑板上通過連線清晰地展示了它們之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，進(jìn)而確定了建模的基本假設(shè)。整個過程中，朱浩楠并沒有直接給出任何答案，而是通過適時的引導(dǎo)，讓學(xué)生借助一系列問題串逐步探索出自己想要的答案。在他看來，讓學(xué)生經(jīng)歷試錯是必要的，也只有經(jīng)過這個過程，學(xué)生才能學(xué)會在面對復(fù)雜的實際問題時，根據(jù)簡單有效原則，抓住主要矛盾，并厘清要素之間的關(guān)系。

學(xué)習(xí)自由之藝和科學(xué)精神

朱浩楠始終堅信，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一門用以培養(yǎng)人的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該指向培養(yǎng)學(xué)生的心智追求，促進(jìn)其全面而自由地發(fā)展。正如他在數(shù)學(xué)建模實驗室的標(biāo)語中寫到的，要帶領(lǐng)學(xué)生“學(xué)習(xí)自由之藝和科學(xué)精神，將自己從成為工具的潛在風(fēng)險中解放出來”。

對不少教師而言，考試考什么，課上就帶學(xué)生重點練什么，是他們教學(xué)時所奉行的“金科玉律”。朱浩楠卻不喜歡這樣，他更希望自己的課堂能夠教學(xué)生解決試卷之外的數(shù)學(xué)問題。比如教到數(shù)列的通項公式時，除了講等差、等比等常規(guī)內(nèi)容，他還要花時間講解畫圖等研究數(shù)列的通用方法。學(xué)生們減少了套用公式計算的時間，但學(xué)會了如何用不那么“標(biāo)準(zhǔn)”的數(shù)列解決實際研究中更容易出現(xiàn)的問題。

朱浩楠對于數(shù)學(xué)建模實驗室人員的選拔，只遵循自然吸引、自然流失的原則，為每個對數(shù)學(xué)建模感興趣的學(xué)生提供學(xué)習(xí)機會。他還特別在教室里設(shè)置了咖啡角，并專門配備了兩套手沖咖啡器具及多種特色的咖啡豆。學(xué)生在課間即可預(yù)約品嘗他現(xiàn)場沖泡的咖啡。

也正是在這種自由的學(xué)習(xí)氛圍之下，學(xué)生們紛紛勇敢地朝著自己感興趣的方向不斷探索，進(jìn)而逐步發(fā)掘出屬于自己的人生課題。有學(xué)生因為自身久病成醫(yī)，在讀博期間，通過數(shù)學(xué)模型設(shè)計出中醫(yī)醫(yī)療領(lǐng)域軟硬件結(jié)合的AI解決方案。還有學(xué)生出身于藝術(shù)世家，在數(shù)學(xué)建模的啟發(fā)下，想要借助模型設(shè)計助推藝術(shù)創(chuàng)作融入日常生活，堅定了自己想要深耕數(shù)字藝術(shù)設(shè)計的發(fā)展方向。

除了完成校內(nèi)的教學(xué)任務(wù)，朱浩楠每年還通過各類校外活動帶領(lǐng)學(xué)生開展項目研究。在北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院每年舉辦的數(shù)學(xué)建模夏令營中，學(xué)生們組成多支團隊，分別申報課題研究，待到論文答辯結(jié)束后，再由朱浩楠與其他專家評委共同從眾多課題中挑選出具有潛力的項目，邀請相應(yīng)的團隊成員加入“繼續(xù)指導(dǎo)計劃”。他還帶領(lǐng)學(xué)生持續(xù)進(jìn)行多輪的實證調(diào)查與觀點交流，在完善、落實課題的過程中，引導(dǎo)他們認(rèn)識到，科學(xué)研究從來都不是比賽獲獎或完成答辯的一時之功，而是一段需要不斷探求真理的長期過程。

讓數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思維相得益彰

2017年，高中課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)建模納入學(xué)科核心素養(yǎng)體系，并明確要求學(xué)校應(yīng)專門開設(shè)8～12課時，推動其進(jìn)入新的發(fā)展階段，也由此吸引了更多教師加入探索隊伍。朱浩楠為自己身邊有了越來越多的同行者感到欣喜，同時也在更大范圍的實踐中發(fā)現(xiàn)了新問題：適用學(xué)生學(xué)習(xí)的建模素材浩如煙海，為什么要選這些而不選擇那些？如果未來涌現(xiàn)出更優(yōu)質(zhì)的素材，難道都要將其納入教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生越學(xué)越多嗎？

帶著這些問題，朱浩楠一頭扎入與之相關(guān)的文獻(xiàn)著作，希望從中獲得更深層次的思想指導(dǎo)。直到他讀到美國哲學(xué)家貝塔朗菲的著作《一般系統(tǒng)論》時，才覺得豁然開朗。根據(jù)貝塔朗菲的觀點——不同學(xué)科領(lǐng)域的研究最終會涌現(xiàn)出同樣一組方程或動力學(xué)關(guān)系，這種跨領(lǐng)域的相同結(jié)構(gòu)被稱為“一般系統(tǒng)”，能夠在不同領(lǐng)域中遷移應(yīng)用，幫助人們揭示社會與自然的本質(zhì)規(guī)律。受此啟發(fā)，朱浩楠根據(jù)貝塔朗菲在描述“一般系統(tǒng)”時提到的數(shù)學(xué)模型和邏輯關(guān)系，對教學(xué)素材進(jìn)行了重新調(diào)整，還嘗試將著作中蘊含的哲學(xué)思維不著痕跡地融入教學(xué)，希望能在一定程度上打通學(xué)生在不同領(lǐng)域間的認(rèn)知壁壘。

起初，朱浩楠擔(dān)心學(xué)生覺得數(shù)學(xué)與哲學(xué)融合之后過于抽象、深奧，嘗試之后卻意外地發(fā)現(xiàn)，越是這樣講，學(xué)生反而理解得越透徹。一方面，哲學(xué)原理為數(shù)學(xué)建模提供了世界觀的指導(dǎo)，使學(xué)生能夠更加深刻地理解數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與運算背后的邏輯。例如，他啟發(fā)學(xué)生從近代科學(xué)三大傳統(tǒng)的角度分析函數(shù)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而通過判斷函數(shù)是否符合半衰期原理，來確定合適的函數(shù)模型。學(xué)生普遍反饋更加理解了函數(shù)模型的內(nèi)涵。另一方面，數(shù)學(xué)建模也為抽象的哲學(xué)原理提供了具體、生動的實例支撐，便于學(xué)生更直觀地理解哲學(xué)概念。在一堂面向初學(xué)者的建模課上，朱浩楠從“夫妻誰來洗碗”的日常問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本流程，并通過自然語言與數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化，聯(lián)結(jié)每個數(shù)學(xué)符號與其對應(yīng)的現(xiàn)實意義?！皩W(xué)生能夠從案例中體會到，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不是憑空臆想出來的，而是自然與社會深刻規(guī)律的抽象映現(xiàn)。要想發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，并發(fā)明語法去承載它們，則需要運用基本假設(shè)和現(xiàn)代科學(xué)傳統(tǒng)?！?/p>

朱浩楠相信，學(xué)生學(xué)過的模型和方法都可能隨著時間的推移而逐漸淡出記憶，但在思想上獲得的啟迪和成長會內(nèi)化并融入他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而拓寬他們的視野，重塑他們的思維方式。比如，有的學(xué)生在借助微分動力系統(tǒng)建立的生態(tài)模型中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)捕食者被獵殺，被捕食者種群增長速度并沒有上升，從而在探究過程中領(lǐng)悟到不能僅憑直覺或基本規(guī)律輕易得出結(jié)論。還有的學(xué)生參與了以數(shù)學(xué)建模為載體的哲學(xué)思想實驗，在多元觀點的交鋒與碰撞中培養(yǎng)了批判性思維，還逐漸練就了透過表象看本質(zhì)的能力。

學(xué)生的每一次進(jìn)步與成長，都是朱浩楠珍視的禮物，這也成為激勵他一往無前的不竭動力。他未來最真摯的愿望，便是期待高中數(shù)學(xué)建模能夠如同星星之火，燎原四方，為更多學(xué)生照亮未來成長的廣闊天地。