從“特例”到“普例”

【編者按】

推理意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。推理意識(shí)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思維模式，對(duì)提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力具有不可替代的重要作用，學(xué)生能否形成良好的推理能力，不僅僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)造成直接影響，同時(shí)也在一定程度上關(guān)系到學(xué)生未來的發(fā)展。云南省“興滇英才支持計(jì)劃”周佳泉小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室、昆明市第二批“春城計(jì)劃”周佳泉小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室、盤龍區(qū)第四屆周佳泉小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室歷時(shí)兩年，對(duì)小學(xué)生“推理意識(shí)培養(yǎng)”專題進(jìn)行了深入探討和積極的課堂教學(xué)實(shí)踐?，F(xiàn)將周老師團(tuán)隊(duì)的一些研究成果分享出來，供廣大一線教師參考。

“數(shù)與形”是人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的內(nèi)容，形式新穎、趣味性強(qiáng)、思維難度大。既是代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互融合的有效途徑，更是培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)難得的載體。教材上面的例題只有兩個(gè)，配套的練習(xí)卻五花八門。教材似乎已經(jīng)在暗示我們，本節(jié)課的教學(xué)，要讓學(xué)生理解掌握普遍的通式、通法，而非專門探尋一種問題形態(tài)的特例、特式。

結(jié)合本工作室多位老師的執(zhí)教體會(huì)，試析如下：

一、“數(shù)”與“形”的學(xué)習(xí)難深入

數(shù)形結(jié)合思想的核心就是將二者結(jié)合起來，用“形”的直觀演繹“數(shù)”，用“數(shù)”的精準(zhǔn)把握“形”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和問題的有效解決。怎樣將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合給學(xué)生講清楚，對(duì)于師生來說確實(shí)是一個(gè)艱巨的挑戰(zhàn)。

1. “數(shù)”與“形”相分離。在教學(xué)中，有的問題借助圖形能講得更清楚，但不同的題方法都不同，都要帶領(lǐng)學(xué)生從頭去分析，于是有教師索性偷個(gè)懶，直接帶著學(xué)生找數(shù)字規(guī)律，數(shù)出每個(gè)圖的個(gè)數(shù)，變“形”為“數(shù)”，從數(shù)字的角度來發(fā)現(xiàn)規(guī)律；要么直接將圖形依次畫出來，找到規(guī)律或結(jié)果。這樣的教學(xué)將“數(shù)”和“形”分離開，學(xué)生并不理解結(jié)果背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)道理，對(duì)圖形的特點(diǎn)和規(guī)律的挖掘欠缺，丟失了數(shù)形結(jié)合的意義。

“數(shù)”與“形”相分離，就讓這節(jié)課明珠蒙塵，索然無(wú)味了。

2. 把“現(xiàn)象”當(dāng)“規(guī)律”。有的老師在教學(xué)例題1的時(shí)候，從幾個(gè)有限的奇數(shù)列中觀察得出“規(guī)律”——“有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加就是幾的平方”，就把這個(gè)所謂的“規(guī)律”當(dāng)成了本節(jié)課的研究結(jié)論。匆匆運(yùn)用這樣的結(jié)論去海量解題，讓學(xué)生的思維停留在了膚淺的“現(xiàn)象”層面。當(dāng)學(xué)生遇上類似“1+3+5+7+……+393+395+397+399=（ ）2”這樣復(fù)雜的奇數(shù)列求和的問題時(shí)，學(xué)生無(wú)從知曉一共有多少個(gè)奇數(shù)，頓時(shí)束手無(wú)策。甚至在面對(duì)“1+3+5+7+9+11=62”這樣簡(jiǎn)單的奇數(shù)列求和問題，也只能從所謂“規(guī)律”的角度去解釋“因?yàn)橛?個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，所以等于6的平方”，卻沒有辦法解釋背后的本質(zhì)“為什么幾個(gè)奇數(shù)相加就會(huì)是幾的平方”。

把“現(xiàn)象”當(dāng)“規(guī)律”，就讓這節(jié)課失去了應(yīng)有的深度，留于淺嘗輒止的膚淺。

3. “例”與“題”難貫通。從教材的編排來看，例題與練習(xí)確實(shí)“不配套”。它不再像以往的單元那樣，例題長(zhǎng)什么樣，后面的習(xí)題基本跟它長(zhǎng)得“八九分像”。這個(gè)單元是個(gè)例外，每一題都藏著不同的規(guī)律，每道練習(xí)都像是在新授課，要一題一題地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，面對(duì)題型復(fù)雜、變化較多的練習(xí)，學(xué)生難以實(shí)現(xiàn)舉一反三，倍感困難，難以對(duì)數(shù)與形進(jìn)行更深入的探究。

二、“特例”到“普例”的進(jìn)階難貫通

要突破“數(shù)與形”的教學(xué)瓶頸，貫通從“特例”到“普例”的學(xué)習(xí)進(jìn)階是一條有效途徑。學(xué)生循著這個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階步步登高，“數(shù)形結(jié)合思想”的滲透和“推理意識(shí)”的發(fā)展才有章可循。然而，從“特例”到“普例”的學(xué)習(xí)進(jìn)階的構(gòu)建也是充滿了挑戰(zhàn)：

1. “平方數(shù)”只是“特例”。從“1+3+5+7+……”的探究中，得出的“從1開始，有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加就是幾的平方”，我們稱其為“平方數(shù)”。在奇數(shù)列的世界中，這條規(guī)律無(wú)往而不勝。但是到了偶數(shù)列、自然數(shù)列和其他普通等差數(shù)列時(shí)，這個(gè)規(guī)律卻不靈了。

究其原因，就是奇數(shù)列只是眾多等差數(shù)列中的一個(gè)特例，它不具有普遍性。

2. “梯形數(shù)”才是“普例”。通過數(shù)形結(jié)合的策略，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其實(shí)奇數(shù)列、偶數(shù)列、自然數(shù)列和其他普通等差數(shù)列都是“梯形數(shù)列”。（如下圖）

自然數(shù)列" " 奇數(shù)列" " "偶數(shù)列

都可以用梯形面積計(jì)算公式來求和。即：（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。這樣的思路讓學(xué)生眼前一亮——原來梯形的面積計(jì)算公式還能這么用！

“特例”只是一枝獨(dú)秀，“普例”才是天下皆春。

3. 從“特例”到“普例”的阻礙。從“特例”到“普例”的學(xué)習(xí)進(jìn)階中，最困難的地方就在于“特例”的首因效應(yīng)。它會(huì)讓學(xué)生誤以為所有的等差數(shù)列之和都應(yīng)該是一個(gè)平方數(shù)，在狹窄的視域中雖“苦苦追尋”卻仍“一無(wú)所獲”。打破這一阻礙的有效手段就是畫圖——一旦畫圖，學(xué)生就會(huì)豁然開朗?！皵?shù)”與“形”結(jié)合起來的必要性昭之若揭。（如下圖）

由此，再一次證明“數(shù)”與“形”不能分離，結(jié)合起來才能相得益彰。

三、“形”與“數(shù)”的融通探索

“數(shù)”與“形”相融通，只要運(yùn)用恰當(dāng)，難題往往迎刃而解。

1. “形”的直觀讓“數(shù)”的理解更容易。還是那個(gè)老問題“為什么幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)（從1開始）的和就會(huì)是幾的平方？”“你如何判斷一個(gè)比較長(zhǎng)的連續(xù)奇數(shù)列（1開始）中奇數(shù)有多少個(gè)？”一旦把“數(shù)”與“形”相結(jié)合起來思考，問題瞬間變得很簡(jiǎn)單：

正方形的最外一層“拐彎”數(shù)就對(duì)應(yīng)著奇數(shù)列中的最后一個(gè)數(shù)。把最外一層“拐彎”數(shù)“添1”再“均分”，就非常容易知道這是一個(gè)幾行幾列的正方形，也就是這個(gè)奇數(shù)列的和是幾的平方?；氐剿闶街?，把最后一個(gè)奇數(shù)“加1再均分”，就能想出它的和是幾的平方。

把“數(shù)”當(dāng)做“形”，也能很容易地想出一個(gè)奇數(shù)列中有多少個(gè)數(shù)：

當(dāng)我們把數(shù)列“補(bǔ)全”之后，原來的最后一個(gè)奇數(shù)是n，整個(gè)數(shù)列就一共有“n+1”個(gè)數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)占一半，就是“（n+1）÷2”個(gè)。

當(dāng)抽象的“數(shù)”化作具體的“形”，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題也就不難了。

2. “數(shù)”的無(wú)窮讓“形”的想象無(wú)邊界。再怎么畫，“形”總是有限的，“數(shù)”卻是無(wú)窮的。用“數(shù)”表“形”，則形也變得無(wú)邊無(wú)界，可以表示同類問題的所有情況。如下圖，在“數(shù)”的加持下，這樣的形千變?nèi)f化，可以表示任意一個(gè)奇數(shù)列的最后一項(xiàng)。既使學(xué)生突破了圖形想象的邊界，又深入理解了“（末項(xiàng)+1）÷2”的道理所在。

3. “數(shù)”“形”結(jié)合讓難題解決更簡(jiǎn)單。在后續(xù)練習(xí)中，關(guān)于圖形中“最外圍”的“數(shù)”的問題，一旦把它轉(zhuǎn)化為“面積差”來理解就非常容易了：

它們都可以用“整體面積”減去“內(nèi)部面積”。并且通過算式的代數(shù)整理（如第2題）得到最簡(jiǎn)形式：當(dāng)有n個(gè)綠色小正方形時(shí)，藍(lán)色小正方形的個(gè)數(shù)為“3（n+2）-n=2n+6”。在“數(shù)”的解析下，“形”的特征也更顯著。

“數(shù)”與“形”，如鳥之雙翼，車之兩輪。執(zhí)其一端，則不行；并行不悖，則暢通。

【注：本文系2022年度云南省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“基于核心素養(yǎng)的小學(xué)生推理意識(shí)培養(yǎng)的策略研究”（批號(hào)：BFJC22020）階段性研究成果】