核心素養(yǎng)視角下有效建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)模型的策略

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，數(shù)學(xué)模型則是對數(shù)量關(guān)系和空間形式特點的抽象分析，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索精神和創(chuàng)新精神。在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生可以通過簡化、提煉事物關(guān)系的方式，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決某一類問題，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與規(guī)律具有一定的促進(jìn)作用。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，教師容易忽視建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，導(dǎo)致學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)的特點。所以，為了踐行核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，教師有必要在授課中改變以往的教學(xué)方式，在傳授新知的同時，引導(dǎo)學(xué)生解構(gòu)數(shù)學(xué)問題并建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從而了解從問題到數(shù)學(xué)模型的變化過程，進(jìn)而運(yùn)用模型思維解決實際問題，助力學(xué)生成長。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意義

（一）促進(jìn)數(shù)學(xué)思維形成

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，離不開歸納、推理、整合、概括具體問題，并基于具體問題進(jìn)行想象。在對問題進(jìn)行深入思考、總結(jié)后，學(xué)生可以在大腦中建構(gòu)最初的數(shù)學(xué)模型，并加以驗證，最后確定數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生概括數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可以堅持不斷地學(xué)習(xí)新知，總結(jié)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律，并建構(gòu)清晰、直觀的數(shù)學(xué)模型，由此形成具有鮮明個人特色的數(shù)學(xué)知識體系，使學(xué)生能夠從更深層次出發(fā)理解具體問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型快速解決實際問題，理解抽象事物的含義，推動學(xué)生由形象思維向抽象思維過渡，發(fā)展其理性思維能力。

（二）學(xué)以致用解決實際問題

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，是學(xué)生思維走向更深層次的過程，如借助構(gòu)建簡潔的符號與公式，表明事物之間存在的繁瑣關(guān)系，總結(jié)定理則可以促使學(xué)生梳理事物之間錯綜復(fù)雜的關(guān)系，都可以讓學(xué)生進(jìn)行主動探究、深度思考。在以往學(xué)習(xí)習(xí)慣的影響下，學(xué)生會自發(fā)地以數(shù)學(xué)的眼光看待生活問題，用數(shù)學(xué)知識解釋生活中的各類現(xiàn)象，簡化復(fù)雜的事物關(guān)系，清晰地認(rèn)識到萬事萬物背后的內(nèi)在聯(lián)系，深切體會數(shù)學(xué)知識對現(xiàn)實生活的指導(dǎo)作用。通過讓生活問題數(shù)學(xué)化，學(xué)生在面對生活問題時，可以自發(fā)推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決具體問題，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ)。

二、核心素養(yǎng)視角下建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的策略

（一）導(dǎo)入問題案例，探尋內(nèi)在規(guī)律

數(shù)學(xué)知識具有較強(qiáng)的邏輯性，不同知識點之間存在著密切聯(lián)系，如正方形和長方形面積知識是學(xué)習(xí)多邊形面積知識的基礎(chǔ)，加減乘除法是學(xué)習(xí)加減乘除混合運(yùn)算的基礎(chǔ)。同類數(shù)學(xué)知識之間存在的這種內(nèi)在聯(lián)系，為建構(gòu)新知的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生掌握解決某類問題的思路創(chuàng)造了有利條件。對此，在授課中，數(shù)學(xué)教師可以引入案例教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生對比分析問題案例，推理問題案例的內(nèi)在規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)從特殊到一般的論證過程，構(gòu)建問題模型，運(yùn)用問題模型解決同類問題，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，助力學(xué)生成長。

在導(dǎo)入問題案例的過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)著重把握案例之間的內(nèi)在聯(lián)系，挑選聯(lián)系較為緊密的案例作為教學(xué)素材。對比分析問題案例，提煉數(shù)學(xué)知識點內(nèi)在規(guī)律的教學(xué)方式，對學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出的要求更高。考慮到不同學(xué)生個體之間的身心發(fā)展存在差異，為了使學(xué)生自主挖掘數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律，成功建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，教師必須充分發(fā)揮自身的指導(dǎo)作用，在必要時設(shè)問以引出關(guān)鍵知識點，讓學(xué)生通過對比分析準(zhǔn)確抓住問題案例中隱藏的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定堅實基礎(chǔ)。

以人教版六年級數(shù)學(xué)上冊第三單元《分?jǐn)?shù)除法》為例，本單元主要讓學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的概念與分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算方法，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過自主推導(dǎo)的方式，掌握分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算規(guī)律。在教學(xué)中，教師可以引入問題案例對比分析法，從分?jǐn)?shù)除法結(jié)果建構(gòu)問題模型，實現(xiàn)解題的目的。

考慮到分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的復(fù)雜性，教師可以從分?jǐn)?shù)除法類型入手，循序漸進(jìn)地開展對比分析活動。例如，將分?jǐn)?shù)除法分為三種類型分?jǐn)?shù)除整數(shù)、整數(shù)除分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)三類，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法類型差異分別導(dǎo)入問題案例，引導(dǎo)學(xué)生由算式的計算結(jié)果出發(fā)，反向推導(dǎo)、驗證分?jǐn)?shù)除法的計算法則。觀察分?jǐn)?shù)除整數(shù)、整數(shù)除分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)在含義分析和運(yùn)算難度等方面存在的差異，按照由簡到難的順序設(shè)置案例。

考慮到實際學(xué)情以及學(xué)生對整數(shù)除法運(yùn)算規(guī)律的理解，教師可以按照分?jǐn)?shù)除整數(shù)、整數(shù)除分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)的順序組織教學(xué)活動。例如，教師可以在課上設(shè)置分?jǐn)?shù)除整數(shù)算式：1/2÷2=1/4，1/4÷4=1/16，

1/5÷10=1/50，以此激發(fā)學(xué)生參與對比分析推理活動的積極性，使學(xué)生自發(fā)參與探究分?jǐn)?shù)除整數(shù)運(yùn)算規(guī)律的過程。教師還可以設(shè)置問題明確探究方向，問題一：已知數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活存在緊密聯(lián)系，我們能否將算式還原到生活中，用生活經(jīng)驗判斷除法算式結(jié)果的正確性？問題二：上述算式中數(shù)字之間的關(guān)系是否具有相似性？這樣，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可以將分?jǐn)?shù)除法還原到現(xiàn)實生活場景中，認(rèn)識到可以通過生活經(jīng)驗判斷分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算結(jié)果，并嘗試從加、減、乘、除等多個方向，分析算式的內(nèi)在規(guī)律。最后，學(xué)生可以討論并提出猜想：分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算規(guī)律，即整數(shù)與分?jǐn)?shù)分母相乘的結(jié)果，從而通過對比分析問題案例，掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本方式。

接下來，教師可以提出分?jǐn)?shù)除整數(shù)問題案例，2÷1/2=4，9÷1/4=36，10÷2/5=25，引導(dǎo)學(xué)生在已有經(jīng)驗的指導(dǎo)下，自發(fā)地將問題代入現(xiàn)實生活場景，通過討論認(rèn)識到整數(shù)除分?jǐn)?shù)，就是按照分?jǐn)?shù)個體將整數(shù)分為多個部分的分?jǐn)?shù)除法，并在討論后提出猜想：整數(shù)除分?jǐn)?shù)計算結(jié)果等于整數(shù)與分?jǐn)?shù)分母相乘后除以分子得到的結(jié)果?？紤]到分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)除法意義的抽象性，數(shù)學(xué)教師需要為使學(xué)生做好準(zhǔn)備，引導(dǎo)學(xué)生對比分析分?jǐn)?shù)除整數(shù)和整數(shù)除分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)律之間的相似性，為避免誤導(dǎo)探究方向，影響課堂教學(xué)效率，教師可以增設(shè)問題案例1/2÷2=1/4，1/2×1/2=1/4，2/4÷2=1/4，2/5÷10=1/25，引導(dǎo)學(xué)生分析算式并提出猜想：是否所有的分?jǐn)?shù)除法問題都可以轉(zhuǎn)化為乘法問題。

在分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)的部分，教師可以提出以下案例：

1/2÷1/2=1，1/4÷1/2=1/2，2/5÷2/3=3/5，引導(dǎo)學(xué)生嘗試帶入生活經(jīng)驗分析上述問題。如果學(xué)生仍無法理解分?jǐn)?shù)除法的含義，教師可以適時通過提問引導(dǎo)：“整數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，那么分?jǐn)?shù)除法是否可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法？”經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生可以結(jié)合分?jǐn)?shù)乘法知識驗證問題答案，并在既有算式基礎(chǔ)上生成新問題：1/2×？=1，1/4×？=1/2，2/5×？=1/15。最后，借助乘除法互換推導(dǎo)分?jǐn)?shù)除分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)律：一個分?jǐn)?shù)除另一個分?jǐn)?shù)等于分?jǐn)?shù)乘另一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，完成分?jǐn)?shù)除法模型的推導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展推理意識和能力。

（二）組織實踐活動，培養(yǎng)幾何直觀

幾何直觀素養(yǎng)指感知幾何圖形及其組成元素，利用幾何圖形性質(zhì)解決問題，理解幾何圖形特征，并在實際情境中應(yīng)用幾何圖形知識解決生活問題的能力。為了通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，在授課中，教師可以組織實踐活動。實踐活動是思、學(xué)、用相結(jié)合的教學(xué)活動，可以讓學(xué)生通過實踐驗證所猜想的結(jié)論，通過分析實踐讓學(xué)生認(rèn)識到自身的不足，并運(yùn)用所學(xué)知識建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。在不斷經(jīng)歷實踐—反思—再實踐的過程中，學(xué)生可以深化對平面幾何性質(zhì)的理解，建構(gòu)幾何知識模型，為發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ)。

實踐活動對學(xué)生的動手能力和獨立思考能力有一定要求。部分學(xué)生會因為實踐能力不足而遭遇失敗，或是過分沉迷于實踐，從而忽視思考、反思、總結(jié)等環(huán)節(jié)，難以體會參與實踐活動的重要意義。為此，在實踐活動正式開始前，數(shù)學(xué)教師可以創(chuàng)設(shè)小組合作教學(xué)情境。在開始活動之前，組織學(xué)生以小組為單位，圍繞共同目標(biāo)開展實踐活動，并討論實踐活動的流程以及各自的實踐探究方向。小組長根據(jù)時間安排開展組內(nèi)匯報活動，說明各自的實踐成果和猜想，并組織組員交流實踐經(jīng)歷和實踐成果，反思實踐活動中的不足之處。在此基礎(chǔ)上，教師可以重新為學(xué)生分配任務(wù)，設(shè)置探索方向，引導(dǎo)小組長組織成員定期交流探索經(jīng)驗，提出全新的實踐探索方向，與思學(xué)用深度融合，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，為建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

以人教版五年級數(shù)學(xué)上冊第六單元《多邊形的面積》為例，本單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容為三角形、平行四邊形、梯形以及常見的正多邊形面積的計算方式。為了在實踐中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過實踐活動，建構(gòu)數(shù)學(xué)幾何模型，以此探究多邊形面積公式。

首先，教師可以創(chuàng)設(shè)生活化教學(xué)情境，明確實踐目標(biāo)。例如，借多媒體設(shè)備展示校園平面圖，配合語言并創(chuàng)設(shè)情景：“學(xué)校現(xiàn)在準(zhǔn)備建設(shè)一批藝術(shù)花壇，需要在花壇底部鋪設(shè)一定數(shù)量的石板，目前計劃準(zhǔn)備鋪設(shè)平行四邊形、三角形、梯形、正五邊形和正六邊形花壇，如何確定鋪設(shè)花壇的石板的總面積”，以此明確實踐目標(biāo)，使實踐活動自然發(fā)生。

其次，組織學(xué)生以平行四邊形花壇為目標(biāo)開展實踐探究活動，教師可以讓學(xué)生以小組的形式聚集在一起，共同商議制定實踐探索的方案，提出以下方案：繪制方格紙確定圖形面積；制作同底長方形面積分析平行四邊形面積；將平行四邊形轉(zhuǎn)換為其他圖形，以五分鐘為限組織開展實踐探究活動。在反思環(huán)節(jié)，小組長可以組織組員匯報實踐成果，提出全新方案，即將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。

最后，通過剪切并重新拼接圖形的方式，引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并從實踐經(jīng)歷中建構(gòu)平行四邊形面積公式模型。從已有經(jīng)歷出發(fā)，確定全新的實踐探索目標(biāo)：能否基于已知的幾何圖形面積公式推導(dǎo)出其他平面圖形面積公式，在不斷地實踐與思考的過程中，深化學(xué)生對幾何圖形性質(zhì)的認(rèn)識，培養(yǎng)其幾何直觀素養(yǎng)。

（三）設(shè)問交流互動，揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)

構(gòu)建以核心素養(yǎng)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)教師必須將學(xué)生作為課堂主體，在此基礎(chǔ)上開展探究式教學(xué)活動。學(xué)生參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動的積極性以及參與程度將直接影響核心素養(yǎng)的培養(yǎng)效率。所以，為了讓學(xué)生主動參與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，數(shù)學(xué)教師可以引入設(shè)問導(dǎo)學(xué)法，確保一切教學(xué)活動圍繞某一問題展開，使學(xué)生既是問題的發(fā)布者，又是問題的探究者，并在學(xué)生不斷思考、解決數(shù)學(xué)問題的過程中，激活其數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)其揭露問題本質(zhì)，實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

在活動的開始階段，教師可以扮演問題發(fā)布者的角色，為后續(xù)一系列的提問與思考做準(zhǔn)備。在問題設(shè)置上，教師可以優(yōu)先選擇具有啟發(fā)性和深度性的問題，使學(xué)生快速進(jìn)入思考狀態(tài)，促使學(xué)生自主推導(dǎo)問題解決方案，并在解題的同時，進(jìn)一步提出具有深度的問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從多個角度入手分析解題要點。這樣，數(shù)學(xué)教師可以讓學(xué)生深入理解問題的內(nèi)涵，建立同類問題的解題模型，切實提高學(xué)生的解題能力和解題效率，也為學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識和實際問題奠定堅實的基礎(chǔ)。

以人教版四年級數(shù)學(xué)下冊第九單元《數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠》為例，本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程知識解決實際問題，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。為此，教師可以從雞兔同籠問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建立解題模型，運(yùn)用解題模型解決路程問題、生產(chǎn)問題。在建構(gòu)問題模型、運(yùn)用問題模型解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和抽象思維能力，助力學(xué)生全面發(fā)展。

例如，教師可以提出一系列問題，引發(fā)學(xué)生的思考與討論。問題一：已知雞和兔子共有10只，兔子有6只，二者共有腿32只，問雞共有幾條腿？學(xué)生根據(jù)該問題探討解題思路，按照已有數(shù)學(xué)模型分析問題，發(fā)現(xiàn)每只雞有兩條腿，如果建立雞的個數(shù)×2=雞腿總數(shù)的解題模型，則無法解決問題，并進(jìn)一步思考解題失敗原因。接下來，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在討論中代入問題條件，發(fā)現(xiàn)問題給出的條件為：雞兔總數(shù)量和雞兔總腿數(shù)，明確解題的關(guān)鍵條件在于雞和兔各自的數(shù)量。根據(jù)獲取的關(guān)鍵條件，再次引導(dǎo)學(xué)生確定：雞和兔各自的數(shù)量是解題關(guān)鍵。最終，學(xué)生通過設(shè)未知數(shù)、列方程的方式，補(bǔ)全缺失的條件，進(jìn)而解決問題，并在教師的引導(dǎo)下推導(dǎo)解題模型：在某個解題條件缺失的情況下，可以通過設(shè)未知數(shù)補(bǔ)全未知條件，由果導(dǎo)因，進(jìn)而推導(dǎo)關(guān)鍵解題條件。

在后續(xù)的教學(xué)活動中，教師可以繼續(xù)從龜兔同籠問題模型出發(fā)，設(shè)計全新的問題。例題二：已知操場一圈為800米，小明和小紅在操場上同一點處相對而行，練習(xí)跑步，小明的速度是小紅的兩倍，兩人在1分10秒后相遇，問小紅一分鐘能跑幾米？例題三：爸爸的年齡是兒子年齡的3倍，爸爸比兒子大24歲，兒子和爸爸分別是多少歲？學(xué)生可以結(jié)合已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗抽象問題模型，例題二模型為速度×?xí)r間=路程，例題三模型為兒子年齡×3=父親年齡和兒子年齡+24=父親年齡。教師設(shè)問：問題中出現(xiàn)缺失多個關(guān)鍵解題條件的情況，方程解題模型是否依然適用？在成功解題后，學(xué)生圍繞解題過程討論如何完善已有的方程解題模型，通過討論添加全新的問題模型條件確定：即便原始解題模型中出現(xiàn)缺失兩個關(guān)鍵條件的情況，只要二者存在數(shù)量關(guān)系，便可運(yùn)用方程解題模型解決問題。這樣，在推導(dǎo)、更新解題模型的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和模型意識，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、結(jié)語

綜上所述，通過建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)核心素養(yǎng)，教師必須發(fā)揮自身的指導(dǎo)作用，帶領(lǐng)學(xué)生通過多個角度、多種方式認(rèn)識或是推導(dǎo)數(shù)學(xué)知識模型，使知識模型的建構(gòu)過程，成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效方法。此外，數(shù)學(xué)教師還需要注重引導(dǎo)學(xué)生自由發(fā)散思維、發(fā)揮想象力，讓抽象、推理、創(chuàng)新、應(yīng)用等思維活動貫穿于整個學(xué)習(xí)過程，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

注：本文系2023年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項課題“核心素養(yǎng)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu)的研究”（項目編號：ZJKTY23140）的研究成果。