基于PRP共軛梯度法求解代價(jià)函數(shù)的RSC碼參數(shù)識(shí)別算法

摘要： Turbo碼是一種常用的信道編碼方式，正確識(shí)別Turbo碼首先要正確識(shí)別其子遞歸系統(tǒng)卷積（recursive system convolutional， RSC）碼，由于信道噪聲與干擾引發(fā)誤碼，這就要求識(shí)別算法具有良好的抗誤碼性能以及識(shí)別能力。利用解調(diào)軟判決序列，通過(guò)編碼碼元約束方程，構(gòu)建指數(shù)形式的代價(jià)函數(shù)模型，將識(shí)別RSC碼的生成矩陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解代價(jià)函數(shù)全域極值的最優(yōu)化問(wèn)題，最后在共軛梯度法的基礎(chǔ)上，采用新的PRP步長(zhǎng)因子來(lái)尋找全域極值點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，所提算法與現(xiàn)有算法相比，收斂速度更快，在低信噪比下也有良好的識(shí)別能力。

關(guān)鍵詞： 遞歸系統(tǒng)卷積碼; 盲識(shí)別; 解調(diào)軟判決; 共軛梯度法; 全域極值點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)： TN 911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.35

Parameter identification algorithm of RSC codes with solving cost function based on PRP conjugate gradient method

CHEN Zengmao^1，2， LI Donghao¹， SUN Rongchen^1，*， SUN Zhiguo¹

（1. School of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2. Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology， Ministry of Industry and Information Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： Turbo code is an common communication coding method. To correctly identify Turbo code， first of all， correct identification of its subcode recursive system convolutional （RSC） code is required. Due to the existence of channel noise and interference which leads to erroneous bits， this demands the identification algorithm having good error resilience performance and recognition ability. The demodulation soft judgment sequence is utilized to construct an exponential cost function model by encoding the symbol constraint equation. The problem of identifying the generator matrix of the RSC code is transformed into the optimization problem of solving the global extremum of the cost function. Finally， based on the conjugate gradient method， a new PRP step size factor is proposed to find the global extremum point. According to the simulation results， the proposed algorithm has faster rate of convergence and better recongnition ability at low signal-to-noise ratio than exisiting algorithms.

Keywords： recursive system convolutional （RSC） code; blind identification; demodulation soft judgment; conjugate gradient method; global extremum point

0 引 言

Turbo碼是一種常用的信道編碼方式，其重要性在通信偵察領(lǐng)域不可替代。目前，Turbo碼仍廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星通信、深空探測(cè)等領(lǐng)域^［1］。Turbo碼是目前能夠?qū)崿F(xiàn)信道容量并在移動(dòng)通信中提供優(yōu)異性能的最先進(jìn)的糾錯(cuò)碼^［2］，這是由于Turbo碼具有接近香農(nóng)極限的糾錯(cuò)能力^［3］。Turbo碼通常由并行級(jí)聯(lián)遞歸系統(tǒng)卷積（recursive system convolutional， RSC）碼構(gòu)成^［4］，RSC碼是Turbo碼的重要組成部分，因此識(shí)別Turbo碼的前提是能夠準(zhǔn)確識(shí)別RSC碼^［5］。

Turbo碼具有良好的糾錯(cuò)能力，常工作于惡劣的信道環(huán)境中^［6］，其擁有良好的抗噪性能，現(xiàn)有算法在低信噪比下識(shí)別能力較弱，難以對(duì)RSC碼的生成矩陣進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別，常用算法在編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)，碼長(zhǎng)等參數(shù)一種或者多種已知的情況下才能達(dá)到較好的識(shí)別效果。

在二元域中，解線(xiàn)性方程組法最為直接，通過(guò)編碼碼元間的約束關(guān)系，利用高斯消元法求解方程組，進(jìn)行快速識(shí)別，高斯方法廣泛用于求解復(fù)雜方程，此方法無(wú)需矩陣求逆即可得出解^［7］。但是，由于利用的信息中可能存在誤碼，求解結(jié)果會(huì)有很大幾率出現(xiàn)誤解，容錯(cuò)能力較差。同樣，受誤碼影響，快速合沖算法^［8］與歐幾里德算法^［9］雖然有較低的計(jì)算復(fù)雜度，但也難以在存在誤碼的情況下高效準(zhǔn)確的識(shí)別。因此，在Walsh-Hadamard變換（Walsh-Hadamard transform， WHT）^［10-12］算法中，充分考慮誤碼的影響，通過(guò)判斷方程成立與不成立個(gè)數(shù)之差來(lái)消除誤碼對(duì)算法的影響，WHT算法廣泛應(yīng)用于求解編碼變化的客觀規(guī)律^［13］，但是因此帶來(lái)巨大的計(jì)算量。文獻(xiàn)［14］通過(guò)將生成多項(xiàng)式系數(shù)作為個(gè)體基因來(lái)設(shè)置種群，采用遺傳的思想對(duì)Walsh-Hadamard算法進(jìn)行改進(jìn)，但是隨著編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)以及誤碼的增加，算法性能下降嚴(yán)重。低密度奇偶校驗(yàn)（low density parity check， LDPC） 編碼是一種常見(jiàn)的編碼形式，其基于稀疏矩陣的并行迭代譯碼算法比Turbo算法復(fù)雜度更低、更靈活。然而，隨著協(xié)議和信道數(shù)量的不斷增加，傳統(tǒng)的LDPC碼識(shí)別方法適應(yīng)性不夠，需要一種更加靈活、適用的方法^［15］。同樣的還有主元消元法^［16-20］，也難以消去誤碼所帶來(lái)的影響，其主要原因是這些算法都是利用的解調(diào)硬判決信息，硬判決信息中缺少可靠度信息導(dǎo)致上述算法的抗噪性能較差。針對(duì)解調(diào)硬判決序列可靠度不足的問(wèn)題，后續(xù)提出一些利用解調(diào)軟判決信息的算法。文獻(xiàn)［21］提出了一種非監(jiān)督期望值最大化（expectation-maximization， EM）算法，該算法通過(guò)迭代并利用最大似然估計(jì)來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但該算法計(jì)算量較大。文獻(xiàn)［22-23］構(gòu)造對(duì)數(shù)似然比（log-likelihood ratio， LLR）函數(shù)，利用軟判決序列構(gòu)建含錯(cuò)方程，但是該算法在低信噪比下的性能較差。文獻(xiàn)［24］構(gòu)造最小二乘（least square， LS）函數(shù)，將實(shí)數(shù)域的求解轉(zhuǎn)為概率域，并通過(guò)校驗(yàn)方程符合度來(lái)進(jìn)行生成矩陣的識(shí)別，明顯地提高算法的抗噪性能，但是計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)［25］構(gòu)造最大余弦（maximum cosinoidal， MC）代價(jià)函數(shù)，余弦函數(shù)圖形曲線(xiàn)在極值點(diǎn)處較為陡峭，因此可以采用梯度法求解代價(jià)函數(shù)極值，但是算法的抗噪性能較差，這是因?yàn)樘荻确ㄈ菀紫萑刖植繕O值。共軛方向是有效的下一搜索方向^［26］，其在優(yōu)化方法的研究中發(fā)揮著重要作用，若采用效果更好的共軛梯度法^［27］，又難免會(huì)連續(xù)小步長(zhǎng)，無(wú)法快速收斂到極值點(diǎn)，導(dǎo)致識(shí)別能力難以達(dá)到較好的效果。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文進(jìn)行進(jìn)一步研究，將卷積碼約束方程進(jìn)一步推導(dǎo)，構(gòu)建指數(shù)型代價(jià)函數(shù)并且采用PRP（Polak-Pibiere-Polyak）共軛梯度法^［28］對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行求解，該算法運(yùn)用迭代的方式得到代價(jià)函數(shù)符合度最高的解并以此來(lái)識(shí)別生成矩陣。該方法能夠避免傳統(tǒng)的梯度法陷入局部最優(yōu)解的困境，同時(shí)也避免了傳統(tǒng)共軛梯度法連續(xù)產(chǎn)生小步長(zhǎng)的缺陷。仿真結(jié)果表明，本文所提算法在低信噪比情況下同樣具有良好的識(shí)別性能，且具有更快的收斂速度。

1 RSC碼識(shí)別模型

Turbo碼常選用RSC碼作為內(nèi)聯(lián)碼，這是由于RSC碼中存在著反饋部分，并且擁有更長(zhǎng)的編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)，從而減少了較小間距碼字?jǐn)?shù)量。（n，k，m）卷積碼的編碼過(guò)程由輸入信息序列S（D），輸出信息序列C（D）以及生成矩陣G（D）完成，其過(guò)程用數(shù)學(xué)描述為

式中：S（D）=［s₀（D），s₁（D），…，s_k－1（D）］； C（D）=［c₀（D），c₁（D），…，c_n－1（D）］；k表示共有k個(gè)信息序列輸入;n表示共有n個(gè)編碼序列輸出;m為編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù);D表示延時(shí)操作。

在RSC編碼系統(tǒng)中，存在兩路編碼碼元多項(xiàng)式，C_i（D），C_j（D）編碼多項(xiàng)式可以表示為

將其分別展開(kāi)得到：

式中：i，j=0，1，…，n－1，i≠j；G_i（D），G_j（D）分別為反饋多項(xiàng)式與前向多項(xiàng)式。

式中：τ為編碼序列的持續(xù)時(shí)間。

聯(lián)立式（2）與式（3）可得

式中：⊕表示二元域中的加。由式（9）知，編碼多項(xiàng)式序列存在線(xiàn)性約束關(guān)系，可以通過(guò)這種約束關(guān)系來(lái)構(gòu)建代價(jià)函數(shù)。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 代價(jià)函數(shù)模型

根據(jù)式（9），可以推出：

式中：i，j=0，1，…，n－1，i≠j。進(jìn)一步可以推出：

式中：t=1，2，…，τ。

經(jīng)過(guò)數(shù)字調(diào)制等處理后，編碼序列C（D）通過(guò)信道傳輸，在傳輸過(guò)程中會(huì)受到噪聲干擾。假設(shè)在接收端得到的序列為x=（x₀，x₁，…，x_n－1），其中x_i={x_i，0，x_i，1，…，x_i，t}。假設(shè)采用二進(jìn)制相移鍵控（binary phase shift keying， BPSK）調(diào)制，用數(shù)學(xué)形式表示該映射過(guò)程：y_i，t=1－2c_i，t，假設(shè)受到的噪聲干擾為加性高斯白噪聲w_i，t且該噪聲為加性，w_i，t～N（0，σ²），則x_i，t=y_i，t+w_i，t=1－2c_i，t+w_i，t。設(shè)x_i，t的概率密度函數(shù)為f（x_i，t），信道噪聲與傳輸信號(hào)相互獨(dú)立，則因此x_i，t服從期望為y_i，t，方差為σ²的正態(tài)分布^［29］：

由于采用BPSK調(diào)制，則y_i，t服從（-1，1）的二項(xiàng)分布。若y_i，t已知，則x_i，t的概率密度函數(shù)為

由貝葉斯定理可以推出如下形式的條件概率密度函數(shù)：

用p_i，t表示P（c_i，t=1|x_i，t），由映射規(guī)則可以得到：

如果在傳輸過(guò)程中沒(méi)有誤碼，則有

將式（22）和式（23）推廣，a₁，a₂，…，a_n均為獨(dú)立隨機(jī)變量，得

1－2P∑ni=0⊕a_i=1=∏ni=0（1－2P（a_i=1））（24）

將式（19）應(yīng)用到式（24）中，可以推出校驗(yàn)方程：

F^i，j_t=∏mu=0（1－2p_{i，t－u}·q_j，u）·∏mu=0（1－2p_j，t－u·q_i，u）（25）

通過(guò)校驗(yàn)方程取值可以衡量函數(shù)q的符合度，接收序列中的誤碼會(huì)影響F^i，j_t的取值，誤碼數(shù)量越少，F(xiàn)^i，j_t的取值越趨近于1。下面將F^i，j_t取值接近于1的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造指數(shù)代價(jià)函數(shù)：

當(dāng)q中的元素都正確地對(duì)應(yīng)生成矩陣中的元素時(shí)，f（q）在區(qū)間［0，1］取得極大值，同時(shí)a^（Fi，j_t）取得極大值，于是，求解f（q）在區(qū)間［0，1］極小值，極小值越接近于真實(shí)最小值，F(xiàn)^i，j_t取值越趨近于1，識(shí)別出的生成矩陣越準(zhǔn)確，可表示求解過(guò)程如下：

q^=arg min［f（q）］（27）

為方便計(jì)算，本文選取的指數(shù)函數(shù)的基底為exp。

下面對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行分析。在式（19）中，等式

∑mu=0⊕c_{i，t－u}g_j，u⊕∑mu=0⊕c_j，t－ug_i，u=1

有如下3種情況：

（1） 接收序列中誤碼與生成多項(xiàng)式中元素0同時(shí)出現(xiàn)，等式成立。

（2） 接收序列中誤碼與生成多項(xiàng)式中元素1同時(shí)出現(xiàn)，且同時(shí)出現(xiàn)的次數(shù)為奇數(shù)，等式成立。

（3） 接收序列中誤碼與生成多項(xiàng)式中元素0同時(shí)出現(xiàn)，且同時(shí)出現(xiàn)的次數(shù)為偶數(shù)，等式不成立。

設(shè)其成立的概率為P₁^［31］，則有

P₁=∑d/2x=1C^2x-1_d·P^2x-1₀·（1-P₀）^d-2x+1（28）

式中：d為生成矩陣中g(shù)的碼重;C為排列組合運(yùn)算;P₀為已知的誤碼率。則

2.2 迭代更新過(guò)程

本文采用PRP共軛梯度法求解代價(jià)函數(shù)，求解方式如下。

首先，求解出當(dāng)前點(diǎn)數(shù)值變動(dòng)最快方向－θ_k，假設(shè)算法的前一個(gè)方向－d_k，兩者具有如下線(xiàn)性關(guān)系：

取

再利用當(dāng)前迭代位置q_k和已確定的搜索方向計(jì)算下一次迭代位置q_k+1。k為當(dāng)前迭代次數(shù)。式（30） 中Δf（q_k）計(jì)算方式如下：

式（35）中?f（q）?q_0，0解法如下：

求解代價(jià)函數(shù)極小值步驟如下。

步驟 1 令k=0;給定初始值q₀;計(jì)算θ₀=Δf（q₀），d₀=θ₀;

步驟 2 計(jì)算q_k+1=q_k+μd_k，θ_k+1=Δf（q_k+1）;

步驟 3 更新搜索方向d_k+1=－θ_k+1+β_kd_k;

步驟 4 令k=k+1，跳轉(zhuǎn)至步驟1。

RSC碼的生成矩陣的第一個(gè)元素與最后一個(gè)元素一般為1，其他元素待識(shí)別。因此，在迭代過(guò)程中設(shè)置q集合的初始值為

q_i，l=1， i=0; l=0

0.6， 1≤i≤n－1; 1≤l≤m（37）

在計(jì)算過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)q_i，l取值超出區(qū)間［0，1］的情況。在過(guò)程中，當(dāng)q_i，l≥1時(shí)，令q_i，l=1;當(dāng)q_i，llt;0時(shí)，令q_i，l=0。迭代過(guò)程結(jié)束后，當(dāng)q_i，l≥0.5時(shí)，令g_i，l=1;當(dāng)q_i，l≤0.5時(shí)，令g_i，l=0。

3 仿真分析

3.1 不同步長(zhǎng)下算法識(shí)別能力對(duì)比

步長(zhǎng)控制著算法的收斂速度，下面選取不同步長(zhǎng)μ取值對(duì)算法識(shí)別性能進(jìn)行分析，測(cè)試最適合本文算法的取值。待識(shí)別的卷積碼設(shè)置為（2，1，6）RSC碼，g₀（D）=1+D²+D³+D⁵+D⁶，g₁（D）=1+D+D²+D³+D⁴+D⁶為生成多項(xiàng)式。仿真參數(shù)設(shè)置如下：接收序列長(zhǎng)度為4 000 bit，最大迭代次數(shù)15次，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1 000次。仿真結(jié)果如圖1所示。由圖1可見(jiàn)，在低信噪比時(shí)，步長(zhǎng)μ在區(qū)間［0.004，0.01］內(nèi)性能最佳，后續(xù)隨著步長(zhǎng)μ的增大算法性能逐漸降低，原因在于μ的取值過(guò)大，在迭代過(guò)程中產(chǎn)生較大步長(zhǎng)，錯(cuò)過(guò)最優(yōu)解。因此，在后續(xù)仿真中取μ=0.008。后續(xù)仿真如未指出其他變量數(shù)據(jù)，默認(rèn)采用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)1 000次，迭代次數(shù)15次，接收序列長(zhǎng)度為4 000 bit，仿真對(duì)象為（2，1，6）RSC碼。

3.2 不同接收序列長(zhǎng)度下算法識(shí)別能力對(duì)比

本次仿真中待識(shí)別的對(duì)象為（2，1，6），（2，1，7），（2，1，8）RSC碼。圖2給出了（2，1，6）RSC碼仿真結(jié)果，可見(jiàn)，接收序列長(zhǎng)度對(duì)算法的識(shí)別能力有較大的影響，在低信噪比下，長(zhǎng)接收序列的識(shí)別正確率明顯優(yōu)于短接受序列，這是由于長(zhǎng)序列中包含更多的解調(diào)軟判決信息，使得算法能夠更準(zhǔn)確地識(shí)別生成矩陣。

圖3和圖4分別為（2，1，7），（2，1，8）RSC碼仿真結(jié)果，可以看出，隨著編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m的增大，接收序列的長(zhǎng)度對(duì)算法的影響更加明顯。這是由于需要識(shí)別的參數(shù)增加時(shí)，需要更多的解調(diào)軟判決信息來(lái)對(duì)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，短序列中包含的解調(diào)軟判決信息較少，識(shí)別正確率相對(duì)較低。

3.3 不同迭代次數(shù)對(duì)算法識(shí)別能力對(duì)比

迭代次數(shù)也是衡量算法識(shí)別能力的一個(gè)重要指標(biāo)，本次實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置迭代次數(shù)0～20次，由圖5可見(jiàn)，在低信噪比條件下，迭代次數(shù)對(duì)算法性能影響較大，這是因?yàn)殡S著迭代的進(jìn)行，代價(jià)函數(shù)越來(lái)越趨近于極小值。在信噪比高的情況下，誤碼較少，迭代3次左右就可基本正確識(shí)別生成矩陣。圖6為對(duì)比算法MC算法的仿真，對(duì)比圖5與圖6可知，本文所提算法具有更優(yōu)越的性能。

3.4 不同編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m下算法識(shí)別能力對(duì)比

本節(jié)研究編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m對(duì)算法識(shí)別性能的影響。本節(jié)選?。?，1，m）碼進(jìn)行仿真， m的取值如表1所示。仿真結(jié)果如圖7所示。

從仿真結(jié)果可以得知，隨著編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m的增加，算法需要識(shí)別參數(shù)增加，識(shí)別正確率隨之下降。

3.5 不同碼率下算法識(shí)別能力對(duì)比

本節(jié)對(duì)不同碼率進(jìn)行仿真，測(cè)試碼率對(duì)算法識(shí)別性能的影響，碼率的取值如表2所示，仿真結(jié)果如圖8所示。

從圖8中可以看出，在低信噪比下，信道條件惡劣，需要識(shí)別的參數(shù)增加時(shí)，識(shí)別準(zhǔn)確率下降，在信噪比為2 dB之后，碼率變化對(duì)算法識(shí)別性能的影響較小。這是由于在長(zhǎng)接收序列中，仍有足夠的解調(diào)軟判決信息，算法利用這些信息仍可以較為準(zhǔn)確地識(shí)別出RSC碼的參數(shù)。

3.6 算法性能對(duì)比分析

3.6.1 識(shí)別性能對(duì)比分析

本文提出的算法是利用解調(diào)軟判決信息的算法，本小節(jié)額外對(duì)另外幾種軟解調(diào)軟判決信息算法LS算法、主元消元算法以及利用解調(diào)硬判決信息的WHT算法進(jìn)行仿真，并與本文算法對(duì)比分析。

本次仿真選取表1中的（2，1，4）碼為仿真對(duì)象。參數(shù)設(shè)置：接收序列長(zhǎng)度4 000 bit，迭代次數(shù)15次，LS算法迭代次數(shù)50次，主元消元算法迭代次數(shù)20次，蒙特卡羅次數(shù)1 000次，仿真結(jié)果如圖9所示。由圖可知，本文算法收斂速度以及識(shí)別正確率遠(yuǎn)高于其他3種算法，在信噪比為-4～3 dB內(nèi)，識(shí)別性能明顯優(yōu)于其他算法。

3.6.2 算法復(fù)雜度對(duì)比

算法復(fù)雜度可以對(duì)比不同算法所需計(jì)算時(shí)間，如表3所示，參數(shù)n、m、L、α分別代表碼長(zhǎng)、編碼存儲(chǔ)級(jí)數(shù)、接收序列長(zhǎng)度、迭代次數(shù)。N為Hadamard矩陣的行數(shù)。由表3可見(jiàn)，本文所提算法相較于其他算法，在加法復(fù)雜度與乘法復(fù)雜度方面都更具優(yōu)勢(shì)，算法執(zhí)行所需時(shí)間較少，能夠在較低的復(fù)雜度下保持較好的參數(shù)識(shí)別能力。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)現(xiàn)有算法抗誤碼能力較差、識(shí)別能力較差的問(wèn)題，提出PRP共軛梯度算法，該算法構(gòu)建指數(shù)代價(jià)函數(shù)的參數(shù)識(shí)別模型，最后通過(guò)PRP共軛梯度法實(shí)現(xiàn)代價(jià)函數(shù)極值的求解，采用PRP步長(zhǎng)因子能夠有效防止小步長(zhǎng)頻繁出現(xiàn)，使得求解代價(jià)函數(shù)極值過(guò)程更快。仿真結(jié)果表明，本文所提算法所需迭代次數(shù)更少，能夠有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，同理利用解調(diào)軟判決信息，使得算法也具有較好的抗噪性能。構(gòu)造的代價(jià)函數(shù)也更容易搜索代價(jià)函數(shù)極值。與現(xiàn)有算法相比，本文所提算法收斂速度更快，抗誤碼性能較強(qiáng)，在低信噪比下能保持較高的識(shí)別正確率，在迭代次數(shù)8次左右便能收斂到最優(yōu)解。

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作者簡(jiǎn)介

陳增茂（1981—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知無(wú)線(xiàn)電、干擾建模、通信對(duì)抗。

李東豪（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榧m錯(cuò)編碼參數(shù)識(shí)別。

孫溶辰（1988—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)樾诺罍y(cè)量與建模。

孫志國(guó)（1977—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知通信電子戰(zhàn)。