回差矩陣奇異值方法改進(jìn)和MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

摘要： 高速防空導(dǎo)彈大攻角飛行時(shí)，耦合現(xiàn)象嚴(yán)重，彈體的高動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征進(jìn)一步加劇通道耦合，因此研究通道耦合下的系統(tǒng)穩(wěn)定性至關(guān)重要。本文提出一種雙通道控制模式下，單通道斷開、耦合通道視為內(nèi)回路的傳遞函數(shù)矩陣，并引入回差陣奇異值法計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。通過仿真將傳統(tǒng)奇異值法和基于傳遞函數(shù)矩陣的奇異值改進(jìn)法計(jì)算出的穩(wěn)定裕度、單通道穩(wěn)定裕度、雙通道斷開的穩(wěn)定裕度和基于通道耦合下的穩(wěn)定裕度，結(jié)合系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，改進(jìn)回差陣奇異值法計(jì)算結(jié)果更精確，通道耦合下的開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性描述更合理。

關(guān)鍵詞： 防空導(dǎo)彈; 穩(wěn)定裕度; 回差陣最小奇異值; 開環(huán)傳遞函數(shù)

中圖分類號(hào)： V 448.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.29

Improvement of return difference matrix singular value method and stability analysis of MIMO system

YAN Shuaihao^1，*， QIAN Rui¹， WEI Mingying^1，2， ZHENG Yongbin¹

（1. Beijing Institute of Electronic System Engineering， Beijing 100854， China;

2. Beijing Simulation Center， Beijing 100854， China）

Abstract： The coupling phenomenon is serious when the high speed air defense missile flies at high angle of attack， and the high dynamic response characteristics of the missile body further aggravate the channel coupling， so it is very important to study the system stability under the channel coupling. In this paper， a transfer function matrix is proposed in the two-channel control mode， in which the single channel disconnected and coupled channels are regarded as internal loop， and the return difference matrix singular value method is introduced to calculate the stability margin. The stability margin calculated by the traditional singular value method and the improved singular value method based on the transfer function matrix， the stability margin of single channel， the stability margin of double channel disconnection and the stability margin based on channel coupling are compared and analyzed by combining the time-domain response of the system. The results show that the improved residual matrix singular value method can obtain more accurate results， and the open-loop transfer function under channel coupling is more reasonable to describe the stability of the system.

Keywords： anti-aircraft missile; stability margin; minimum singular value of return difference matrix; open-loop transfer function

0 引 言

防空導(dǎo)彈的目標(biāo)多為高速高機(jī)動(dòng)的空中目標(biāo)，因此對(duì)防空導(dǎo)彈的控制性能要求越來越高。在高速機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，橫側(cè)向通道存在嚴(yán)重的運(yùn)動(dòng)耦合，而且大攻角機(jī)動(dòng)^［1］會(huì)進(jìn)一步加劇耦合現(xiàn)象，此外還有氣動(dòng)耦合、執(zhí)行機(jī)構(gòu)耦合和通道耦合（尤其是偏航和滾轉(zhuǎn)耦合）等，彈體模型中包含的耦合項(xiàng)種類較多，又由于目標(biāo)的高速高機(jī)動(dòng)特性，防空導(dǎo)彈自身需要高動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征，這進(jìn)一步加劇了耦合特性。而在工程設(shè)計(jì)時(shí)，穩(wěn)定裕度代表了一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，是系統(tǒng)的開環(huán)頻率指標(biāo)，其與閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能密切相關(guān)，因此研究耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響至關(guān)重要。軸對(duì)稱外形的防空導(dǎo)彈耦合特性較小，在設(shè)計(jì)時(shí)主要為單通道，而單輸入單輸出（single-input-single-output， SISO）系統(tǒng)有成熟完備的頻域分析方法，如奈奎斯特法、Nichols、Bode圖等方法對(duì)系統(tǒng)的頻域進(jìn)行分析，并計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度^［2-3］。升阻比高的防空導(dǎo)彈^［4］由于耦合較多而且不是小量，無法再用單通道的分析方法，其本質(zhì)變?yōu)榱硕噍斎攵噍敵觯╩ulti-input multi-output， MIMO）系統(tǒng)的控制問題。而目前對(duì)MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的分析仍沒有統(tǒng)一明確的定義，也不能將傳統(tǒng)SISO系統(tǒng)的裕度分析方法直接推廣到MIMO系統(tǒng)中^［5-6］。最初對(duì)MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度的定義多為基于SISO分析方法，確定系統(tǒng)有幾條主通道，然后將所分析的主通道斷開求出對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，再根據(jù)SISO分析法獲取其穩(wěn)定裕度。這種方法所得到的裕度是在其他通道參數(shù)不發(fā)生變化情況下，系統(tǒng)允許該通道發(fā)生的幅值或相角變化^［7］，文獻(xiàn)［8］將MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度與拆分為SISO系統(tǒng)最小穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比。目前，解決MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度分析大致有以下幾種方法：Gershgorin圓盤法^［9］、基于結(jié)構(gòu)奇異值的u分析方法^［10］、多回路穩(wěn)定分析法、回差矩陣奇異值方法等。文獻(xiàn)［11］利用系統(tǒng)的特征根軌跡繪制系統(tǒng)的幅值和相位穩(wěn)定邊界，文獻(xiàn)［12］研究平衡靈敏度函數(shù)、互補(bǔ)靈敏度函數(shù)、靈敏度函數(shù)的MIMO穩(wěn)定裕度和保守性，其中回差陣奇異值法取得了較好的效果，通過系統(tǒng)回差矩陣最小奇異值的理論確定了MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度^［13-14］。文獻(xiàn)［15］先通過時(shí)域控制性能指標(biāo)確定控制參數(shù)優(yōu)化范圍，然后利用奇異值法評(píng)估MIMO系統(tǒng)得穩(wěn)定裕度，從而確定最優(yōu)的控制參數(shù)。同樣，文獻(xiàn)［16］也利用回差陣奇異值法設(shè)計(jì)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求得參數(shù)范圍，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行尋優(yōu)。

文獻(xiàn)［7］以飛控系統(tǒng)為背景詳細(xì)介紹如何利用回差陣奇異值法計(jì)算MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度并改進(jìn)了該方法的保守性。文獻(xiàn)［17］通過將回差矩陣奇異值和逆回差矩陣奇異值相結(jié)合計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度降低回差陣的保守性，對(duì)多衛(wèi)星控制系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。文獻(xiàn)［18］同樣為改善回差陣奇異值法計(jì)算的保守性，采用結(jié)構(gòu)奇異值分析不確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的u法。文獻(xiàn)［19］采用閉環(huán)系統(tǒng)回差陣奇異值分析方法評(píng)估MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

目前對(duì)回差陣奇異值方法求穩(wěn)定裕度的研究以及對(duì)其計(jì)算保守性的改進(jìn)的研究都較多，在使用回差陣奇異值方法時(shí)其開環(huán)傳遞函數(shù)都是用狀態(tài)空間描述的開環(huán)傳遞函數(shù)，而開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)形式也并不僅此一種，因此本文在應(yīng)用回差陣奇異值方法中，開展不同的開環(huán)傳遞函數(shù)描述方法下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度研究。同時(shí)，通過仿真分析通道耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響。

1 橫側(cè)向耦合姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

由于防空導(dǎo)彈的復(fù)雜耦合特性，滾轉(zhuǎn)和偏航回路無法再使用單通道設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)而將兩通道聯(lián)合組成橫側(cè)向耦合姿態(tài)模型，得到簡化后的橫側(cè)向繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的4階小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，如下所示：

式中：β為側(cè)滑角;α為攻角;γ_v為傾側(cè)角;w_x為滾轉(zhuǎn)角速度;w_y為偏航角速度;δ_x為滾轉(zhuǎn)舵;δ_y為偏航舵;b₁=－qsLm^w_yy/J_y;b₂=－qsLm^β_y/J_y;b₃=－qsLm^δ_yy/J_y;b₄=－qsC^β_z/mV;b₈=－qsLm^δ_xy/J_y;c₁=－qsLm^w_xx/J_x;c₂=－qsLm^β_x/J_x;c₃=－qsLm^δ_xx/J_x;c₈=－qsLm^δ_yx/J_x;m彈體質(zhì)量;q為動(dòng)壓;s為參考面積;L為參考長度;J_x，J_y分別為滾轉(zhuǎn)和偏航轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;C^β_z為側(cè)向力Z對(duì)側(cè)滑角的偏導(dǎo);m^β_x，m^β_y為力矩對(duì)側(cè)滑角的系數(shù);m^w_xx，m^w_yy為力矩對(duì)角速度的系數(shù);m^δ_ji（i，j=x，y）為力矩對(duì)舵偏的系數(shù)。

這些系數(shù)體現(xiàn)了飛行器所包含的耦合特性：氣動(dòng)耦合、運(yùn)動(dòng)耦合和操縱耦合特性。其中c₂=－qsLm^β_x/J_x的為滾轉(zhuǎn)力矩受側(cè)滑角影響，是氣動(dòng)耦合;式（1）中第一個(gè)公式包含的w_xsin α為運(yùn)動(dòng)耦合;b₈=－qsLm^δ_xy/J_y，c₈=－qsLm^δ_yx/J_x中的力矩系數(shù)為滾轉(zhuǎn)舵產(chǎn)生的偏航力矩和偏航舵產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)力矩，代表了操縱耦合。

將式（1）橫側(cè)向系統(tǒng)方程用狀態(tài)空間形式表示：

本文主要為研究耦合對(duì)穩(wěn)定裕度的影響，為更清晰展示，選擇采用傳統(tǒng)的比例微分（proportion-derivative， PD）控制器。令期望姿態(tài)角為Y^*=［β^*，γ^*_v］，姿態(tài)角誤差為e=Y－Y^*，設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器為

式中：k_xi，k_yi（i=1，2）為系統(tǒng)待設(shè)計(jì)參數(shù);β_c，γ_vc分別為側(cè)滑角指令和滾轉(zhuǎn)角指令。用K，b，v將式（3）中的參數(shù)矩陣和姿態(tài)角指令輸入表示為K=k_y100k_y2

γ_vc，代入控制器后系統(tǒng)可化為

控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

2 回差陣奇異值法

系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度由幅值裕度和相位裕度構(gòu)成，在原系統(tǒng)中加入一個(gè)對(duì)角陣（量測(cè)陣），該對(duì)角陣通過增加原系統(tǒng)的控制增益和延遲原系統(tǒng)相位使其達(dá)到臨界穩(wěn)定，此時(shí)該矩陣的增益和相位就表示了原系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。這就是回差陣奇異值法的思想。圖2為回差陣奇異值法計(jì)算MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，G（s）為被控對(duì)象，K（s）為反饋控制器，L（s）=diag（l₁，l₂，…，l_n）為測(cè)量裕度的量測(cè)矩陣，其中l(wèi)_i=k_ie^φ_i^j（i=1，2，…，n）是可變復(fù)數(shù)，k_i表示增益，φ_i表示相位。當(dāng)系統(tǒng)正常工作時(shí)k_i=1，φ_i=0，L為單位矩陣。

2.1 回差陣定義

由經(jīng)典控制穩(wěn)定判據(jù)中可知，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ（s）=G（s）/［I+G（s）K（s）］，則其特征多項(xiàng)式為I+G（s）·K（s），決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

MIMO系統(tǒng)在某處斷開后，從輸入到輸出之間的誤差傳遞函數(shù)矩陣就是系統(tǒng)的回差陣^［20］。如圖2（a）所示，系統(tǒng)在a處斷開，a′處信號(hào)為I，從a′到a處傳遞函數(shù)為-G（s）K（s），兩處誤差傳遞函數(shù)陣為I+G（s）K（s），因此可知對(duì)于MIMO系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)回差矩陣的零點(diǎn)位置，不僅希望全部零點(diǎn)在S平面的左半平面，而且希望到原點(diǎn)有一定“距離”，從而使系統(tǒng)受到一定擾動(dòng)后依舊保持穩(wěn)定。

2.2 奇異值求穩(wěn)定裕度

由矩陣奇異值^［21］求解公式σ（A）=λ（A^HA）可知，矩陣的最大奇異值σ-（A）等于矩陣的二范數(shù)，表達(dá)式為σ-（A）=maxλ（A^HA）=A₂，二范數(shù)可以表征空間中兩點(diǎn)之間的直線距離。由奇異值與特征值的關(guān)系σ₁（A）≥|λ_i（A）|≥σ_n（A）（i=1，2，…，n）可知，最小奇異值小于等于回差陣的最小特征值，最小特征值代表了系統(tǒng)方程的根與原點(diǎn)之間的最小距離。因此，當(dāng)回差矩陣中的最小奇異值大于零時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

若加入攝動(dòng)矩陣后的閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，根據(jù)回差陣奇異值可知，系統(tǒng)的回差陣是非奇異的，滿足以下關(guān)系：

式中：σ-（·）表示矩陣的最小奇異值。將式（5）進(jìn)一步推導(dǎo)，由于L（s）為對(duì)角陣因此為非奇異，推導(dǎo)得

又因?yàn)橄到y(tǒng)本身是穩(wěn)定的，因此（I+KG）非奇異，因此系統(tǒng)可等價(jià)為

根據(jù)奇異值相關(guān)知識(shí)^［17］：

由式（7）與式（8）可知，若σ-［（L^－1－I）（I+KG）^－1］≤σ-（L^－1－I）σ-（I+KG）lt;1成立，則使（L^－1－I）（I+KG）^－1₂lt;1成立的充分條件為

式中：L（s）取為對(duì)角陣，由奇異值計(jì)算^［19］可將式（9）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件化為

由于原系統(tǒng)已知，因此式（10）右端在任何頻率下都可直接求出，σ-［I+KG］=m，當(dāng)原系統(tǒng)確定后m也隨之確定，式（10）可轉(zhuǎn)化為

令式（11）中的k_i=1可計(jì)算系統(tǒng)相位裕度，φ_i=0可計(jì)算系統(tǒng)幅值裕度PM和相位裕度GM：

3 基于新傳遞函數(shù)矩陣的回差陣

3.1 單通道系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

MIMO系統(tǒng)在奇異值方法中需要獲取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。在求解開環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)通常是將反饋矩陣斷開進(jìn)而求得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，然而在反饋矩陣斷開時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)是如何斷開無法知曉。因此，嘗試以單通道開展兩種表達(dá)形式的驗(yàn)證，研究傳統(tǒng)從舵系統(tǒng)環(huán)節(jié)前斷開和狀態(tài)空間描述下求取的開環(huán)傳遞函數(shù)的差異性。

單通道系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)圖^［22］，如圖3所示。

圖3中，k₁，k₂為系統(tǒng)控制參數(shù)，r_c為指令，r_b為狀態(tài);工程中通常將系統(tǒng)在舵處（叉號(hào)處）斷開來獲得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可知該單通道的模型為

用狀態(tài)空間表示為

由圖3系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)可得系統(tǒng)的輸入為狀態(tài)反饋δ=［k₂，k₁］［γ_v，w_x］^T+v，構(gòu)成了狀態(tài)反饋系統(tǒng)，如圖4所示。

狀態(tài)空間在求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)將系統(tǒng)從反饋處斷開求其開環(huán)傳遞函數(shù)：

由式（13）和式（14）可知，二者相同即可得出結(jié)論：狀態(tài)空間求出的開環(huán)傳遞函數(shù)與圖3中結(jié)構(gòu)求出的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)相同。

3.2 雙通道傳遞函數(shù)矩陣

將第3.1節(jié)對(duì)單通道獲取開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種方法向雙通道推廣，雙通道系統(tǒng)在獲取開環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)，圖4中的反饋通道打開表示兩個(gè)通道在反饋處同時(shí)斷開。為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)雙通道系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為基于雙通道耦合下的控制結(jié)構(gòu)示意圖。

首先將式（1）系統(tǒng)的輸出矩陣C改為單位矩陣，系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為一個(gè)兩輸入四輸出系統(tǒng)，求其傳遞函數(shù)獲得每個(gè)狀態(tài)與輸入之間的函數(shù)關(guān)系，如表1所示。

由表1所獲得的每個(gè)狀態(tài)和輸入之間關(guān)系可將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)圖形式，如圖5所示。

由狀態(tài)空間求開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)果可知系統(tǒng)為雙入雙出，因此雙通道結(jié)構(gòu)圖需要斷開兩處，將單通道做一個(gè)推廣，在偏航通道中，與滾轉(zhuǎn)通道斷開處相同的位置也斷開。為得到了以位置1和3處為輸入，位置2和4處為輸出的雙通道系統(tǒng)，進(jìn)而求1入2出、1入4出、3入2出和3入4出的傳遞函數(shù)如下所示：

組成傳遞函數(shù)矩陣G_tro可為

由此表明，系統(tǒng)狀態(tài)空間表述系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，是將雙通道在相應(yīng)位置都斷開進(jìn)而聯(lián)合計(jì)算系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。

傳遞函數(shù)矩陣G_tro中，k_y1G11+k_y2G41表示偏航的主通道傳遞函數(shù)，k_y1G12+k_y2G42表示偏航通道的通道耦合項(xiàng);k_x1G21+k_x2G31表示滾轉(zhuǎn)主通道傳遞函數(shù)，k_x1G22+k_x2G32表示滾轉(zhuǎn)通道的通道耦合項(xiàng)。則將圖5中位置1和3為輸入，位置2為輸出時(shí)的傳遞函數(shù)定義為偏航通道的傳遞函數(shù)GY;同理，位置1和3為輸入，位置4為輸出時(shí)的傳遞函數(shù)定義為滾轉(zhuǎn)通道的傳遞函數(shù)GX，如下所示：

由式（16）中兩通道的開環(huán)傳遞函數(shù)可直接利用傳統(tǒng)頻域分析法來計(jì)算每個(gè)通道的穩(wěn)定裕度。

3.3 基于所提傳遞函數(shù)矩陣的奇異值改進(jìn)方法

傳統(tǒng)在求解回差陣奇異值法求穩(wěn)定裕度所用的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)，是將雙通道在相同的位置斷開，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。本文探討另外一種傳遞函數(shù)矩陣方法：斷開其中一條通道，將另外耦合通道視為其內(nèi)回路獲取開環(huán)傳遞函數(shù)。

將圖5結(jié)構(gòu)在位置1處斷開，將獲得偏航通道為主通道，滾轉(zhuǎn)通道為耦合回路的開環(huán)結(jié)構(gòu)，由此可求其開環(huán)傳遞函數(shù)G_NY，同理可求出滾轉(zhuǎn)為主通道，偏航通道為耦合回路時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)G_NX，可分別表示為

G_NY公式中，第一項(xiàng)（G₄₁k_y2+G₁₁k_y1）為偏航通道主通道，第二項(xiàng)（G₄₂k_y2+G₁₂k_y1）為偏航通道耦合項(xiàng)，（G₃₁k_x2+G₂₁k_x1）為滾轉(zhuǎn)通道的通道耦合項(xiàng)，（G₃₂k_x2+G₂₂k_x1）為滾轉(zhuǎn)主通道;第二項(xiàng)將偏航通道和滾轉(zhuǎn)通道的通道耦合以及滾轉(zhuǎn)主通道放在一起視為偏航通道的內(nèi)回路。G_NX公式中，第一項(xiàng)（G₃₂k_x2+G₂₂k_x1）為滾轉(zhuǎn)通道主通道，第二項(xiàng)中（G₃₁k_x2+G₂₁k_x1）為滾轉(zhuǎn)通道耦合項(xiàng)，（G₄₂k_y2+G₁₂k_y1）為偏航通道的通道耦合項(xiàng)，（G₄₁k_y2+G₁₁k_y1）為偏航主通道;第二項(xiàng)將滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道的通道耦合以及偏航主通道放在一起視為滾轉(zhuǎn)通道的內(nèi)回路。

將所求出的G_NX和G_NY組成系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣G_N（s）=G_NY（s）0

0G_NX（s），新的傳遞函數(shù)矩陣為對(duì)角陣，而且其系統(tǒng)內(nèi)部的所有耦合都包含在對(duì)角元素內(nèi)，G_NY中不僅有偏航通道主回路的傳遞函數(shù)，還有滾轉(zhuǎn)通道的元素;G_NX中不僅有滾轉(zhuǎn)通道主回路的傳遞函數(shù)，還有偏航通道的元素，如下所示：

4 仿真分析

仿真分析主要分為兩部分：MIMO頻域分析和經(jīng)典頻域分析。MIMO頻域分析是將傳統(tǒng)回差矩陣奇異值法和改進(jìn)后回差矩陣奇異值法計(jì)算的穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比分析，表明改進(jìn)后回差矩陣奇異值法計(jì)算的穩(wěn)定裕度更精確。經(jīng)典頻域分析是將忽略耦合的單通道穩(wěn)定裕度、斷開兩處（見式（16）中的GY，GX）的穩(wěn)定裕度和斷開一處（見式（17）中的G_NY，G_NX）的穩(wěn)定裕度進(jìn)行分析，將單通道穩(wěn)定裕度與式（17）計(jì)算的穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比分析可得到耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響。式（16）對(duì)應(yīng)斷開兩處的傳統(tǒng)回差矩陣奇異值法中的傳遞函數(shù)矩陣，式（17）對(duì)應(yīng)一處斷開的改進(jìn)回差矩陣奇異值法中的傳遞函數(shù)矩陣。將式（16）計(jì)算的穩(wěn)定裕度與式（17）計(jì)算的穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比分析可進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)回差矩陣奇異值法計(jì)算的穩(wěn)定裕度更精確。

4.1 回差陣

本文中的遠(yuǎn)程防空導(dǎo)彈的橫側(cè)向系統(tǒng)小擾動(dòng)線性化后是兩輸入兩輸出線性模型，為驗(yàn)證所提出新的回差陣奇異值計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度方法的優(yōu)越性以及分析耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響，以飛行中某處的特征點(diǎn)為基準(zhǔn)狀態(tài)，根據(jù)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行穩(wěn)定裕度的評(píng)估和對(duì)比。飛行器的滾轉(zhuǎn)通道使?jié)L轉(zhuǎn)角從0°變化至30°，偏航通道使側(cè)滑角保持在0°，舵偏小于25°。

特征點(diǎn)處狀態(tài)為：飛行高度20 km，飛行速度6馬赫，攻角為30°，初始側(cè)滑角為2°。

系統(tǒng)控制器參數(shù)取為

K=0.45001.799

00.074 70.3740（19）

在原系統(tǒng)中加入攝動(dòng)矩陣（量測(cè)矩陣）L（s）=diag（k₁e^φ₁^j，k₂e^φ₂^j，…，k_ne^φ_n^j），根據(jù)傳統(tǒng)的回差矩陣奇異值評(píng)估方法計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，可得回差陣［I+G_tro（s）］的最小奇異值如圖6所示，得σ-［I+G_tro（s）］=0.33，由式（12）可得各通道幅值固定時(shí)，系統(tǒng)的相位裕度是18.85°;各通道相位固定時(shí)，系統(tǒng)的幅值裕度是3.45 dB。

將傳統(tǒng)回差陣奇異值法中的傳遞函數(shù)矩陣G_tro（s）換為轉(zhuǎn)換后的對(duì)角陣G_N（s），在系統(tǒng)新傳遞函數(shù)矩陣G_N（s）處加入攝動(dòng)陣L（s）=diag（k₁e^φ₁^j，k₂e^φ₂^j，…，k_ne^φ_n^j），回差陣［I+G_N（s）］的最小奇異值如圖7所示，得σ-［I+G_N（s）］=0.574，由式（12）可得當(dāng)所有通道的幅值不變時(shí)，允許所有通道的相位裕度是33.35°;當(dāng)所有通道相位不變時(shí)，允許所有通道的幅值裕度是7.41 dB。

由圖6和圖7可看到，對(duì)比二者用回差陣奇異值所求出的結(jié)果可以看到，改善后的回差陣所得到的裕度要大于傳統(tǒng)的回差陣。

4.2 通道耦合對(duì)穩(wěn)定裕度的影響

將基于式（17）中耦合下的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度與忽略耦合時(shí)的單通道系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比，得到通道耦合下對(duì)主通道穩(wěn)定裕度的影響。

由圖5結(jié)構(gòu)（在位置1和3處分別斷開得到的基于通道耦合下的傳遞函數(shù)G_NY，G_NX）可以求取偏航和滾轉(zhuǎn)通道在有無耦合情況下的穩(wěn)定裕度，以此研究耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響。

偏航通道G_NY穩(wěn)定裕度如圖8所示。滾轉(zhuǎn)通道G_NX穩(wěn)定裕度如圖9所示。

由圖8和圖9可知，基于耦合下的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度小于單通道時(shí)的穩(wěn)定裕度，即耦合降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

由第3.2節(jié)，將圖5結(jié)構(gòu)在位置1、3處同時(shí)斷開得到式（16）傳遞函數(shù)GY，GX，可以求取導(dǎo)彈偏航和滾轉(zhuǎn)通道的穩(wěn)定裕度。

偏航通道GY穩(wěn)定裕度如圖10所示。滾轉(zhuǎn)通道GX穩(wěn)定裕度如圖11所示。

由圖10系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可知，系統(tǒng)已失穩(wěn)，但是此時(shí)時(shí)域響應(yīng)結(jié)果表示系統(tǒng)依舊穩(wěn)定收斂，因此可表示該傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的描述不合理，具體數(shù)值將在表2中呈現(xiàn)。

由上述仿真計(jì)算結(jié)果，為便于比較，將所有數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，具體如表2和表3所示。

從表2數(shù)據(jù)可以看出：改進(jìn)回差矩陣奇異值法所計(jì)算的穩(wěn)定裕度比傳統(tǒng)回差矩陣奇異值法計(jì)算的穩(wěn)定裕度要大，更加精確。回差陣奇異值方法計(jì)算穩(wěn)定裕度時(shí)通過式（9）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件計(jì)算得到了穩(wěn)定裕度，式（9）右邊代表系統(tǒng)的最小奇異值。從物理層面來看，距離原點(diǎn)距離越近表示系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，穩(wěn)定裕度越小，而回差陣最小奇異值是以系統(tǒng)穩(wěn)定性最差的點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)的距離描述系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，因此計(jì)算的穩(wěn)定裕度具有一定保守性。另外，通過回差陣直接建立了幅值裕度和相位裕度之間關(guān)聯(lián)關(guān)系，二者是在同一頻率點(diǎn)下確定出來的;古典斷開法的幅值裕度處的頻率和相位裕度處的頻率不同。

表3中，w_gL為低頻相角穿越頻率，w_gH為高頻相角穿越頻率，w_c為幅值穿越頻率。從表3數(shù)據(jù)可以看出：① 考慮耦合作用后，偏航通道相位裕度減小了25.3°，相較于耦合對(duì)相位裕度影響較大而言，耦合對(duì)兩通道幅值裕度影響較小;② 式（16）計(jì)算的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度為2.68°，表示系統(tǒng)不穩(wěn)定，但系統(tǒng)的時(shí)域中系統(tǒng)響應(yīng)依舊穩(wěn)定收斂，如圖12和圖13所示。這表明兩處斷開計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度較為保守，而式（17）計(jì)算的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)描述更精確。為進(jìn)一步驗(yàn)證式（17）計(jì)算的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度比式（16）計(jì)算的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度更精確，將系統(tǒng)模型的偏航舵進(jìn)行拉偏，如表4所示。

拉偏50%后系統(tǒng)偏航與滾轉(zhuǎn)通道時(shí)域響應(yīng)發(fā)散，此時(shí)式（17）計(jì)算的穩(wěn)定裕度也為負(fù)，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)曲線與頻域分析結(jié)果一致，這進(jìn)一步表明式（17）描述的系統(tǒng)傳遞函數(shù)能更合理地表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，而且由于單處斷開耦合通道視為內(nèi)回路，使得兩通道關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)，拉偏偏航舵效后偏航通道不穩(wěn)定進(jìn)而導(dǎo)致滾轉(zhuǎn)通道發(fā)散，因此兩通道穩(wěn)定裕度都為負(fù)。而斷開兩處時(shí)僅偏航通道受影響，滾轉(zhuǎn)通道裕度并未變化，這也進(jìn)一步表示單處開計(jì)算穩(wěn)定裕度更合理，也證明了式（17）對(duì)應(yīng)的改進(jìn)回差矩陣所計(jì)算的穩(wěn)定裕度更精確。

4.3 通道耦合對(duì)控制品質(zhì)的影響

前面分析了系統(tǒng)耦合對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度有較大影響，本節(jié)將進(jìn)一步通過仿真分析通道耦合對(duì)系統(tǒng)的控制品質(zhì)的影響。為更清楚看到耦合對(duì)系統(tǒng)的影響，將結(jié)構(gòu)圖中的側(cè)滑角指令設(shè)為2°，滾轉(zhuǎn)角指令設(shè)為20°，滾轉(zhuǎn)角從0°至20°控制系統(tǒng)控制器參數(shù)取式（19），得到仿真結(jié)果如圖12和圖13所示。

由仿真結(jié)果可以看出，側(cè)向通道耦合使得滾轉(zhuǎn)角在跟蹤指令時(shí)有較大的超調(diào)，而且控制精度降低，因此需要設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的解耦控制器實(shí)現(xiàn)解耦控制，提高穩(wěn)定裕度和控制精度。

5 結(jié) 論

本文首先基于回差陣奇異值概念推導(dǎo)多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度;而后以單通道和雙通道為例，分析表明傳統(tǒng)從舵系統(tǒng)環(huán)節(jié)前斷開和狀態(tài)空間描述下求取的開環(huán)傳遞函數(shù)結(jié)果一致。進(jìn)一步，研究了雙通道控制模式下，單通道斷開、耦合通道視為內(nèi)回路的新傳遞函數(shù)矩陣方法，并引入回差陣最小奇異值方法計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。通過仿真將傳統(tǒng)奇異值法和基于新傳遞函數(shù)矩陣的奇異值改進(jìn)法計(jì)算出的穩(wěn)定裕度、單通道穩(wěn)定裕度、雙通道斷開的穩(wěn)定裕度和基于通道耦合下的穩(wěn)定裕度結(jié)合橫側(cè)向系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明改進(jìn)回差矩陣奇異值方法計(jì)算結(jié)果更精確，相較于斷開兩處的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，斷開一處的基于通道耦合下的開環(huán)傳遞函數(shù)計(jì)算穩(wěn)定裕度更合理。

參考文獻(xiàn)

［1］李帆， 周鳳岐， 周軍. 大迎角下導(dǎo)彈氣動(dòng)耦合控制系統(tǒng)分析［J］. 飛行力學(xué)， 2001， 19（1）： 63-66.

LI F， ZHOU F Q， ZHOU J. Analysis of missile aerodynamic coupling control system at high angle of attack［J］. Flight Mechanics， 2001， 19（1）： 63-66.

［2］盧京潮. 自動(dòng)控制原理［M］. 西安： 西北工業(yè)大學(xué)出版社， 2009.

LU J C. Automatic control principle［M］. Xi’an： Northwestern Polytechnical University Press， 2009.

［3］AL-SHAMALIS， JI B W， CRISALLE O D， et al. The Nyquist robust sensitivity margin for uncertain closed-loop systems［J］. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2005， 15（14）： 619-634.

［4］魏明英. 遠(yuǎn)程防空導(dǎo)彈飛行控制方法研究［M］. 北京： 中國宇航出版社.

WEI M Y. Research on flight control methods of long-range air defense missiles［M］. Beijing： China Astronautics Publishing House.

［5］瞿福存， 史忠科， 戴冠中. MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的幾個(gè)定義［J］. 飛行力學(xué)， 2002， 2（2）： 6-9.

QU F C， SHI Z K， DAI G Z. Several definitions of stability margin for MIMO systems［J］. Flight Dynamics， 2002， 2（2）： 6-9.

［6］SKOGESTAD S， POSTLETHWAITE I. Multivariable feedback control： analysis and design［M］. New York： Wiley， 2007.

［7］吳斌， 程鵬. 多變量飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析［J］. 航空學(xué)報(bào)， 1998， 19（6）： 657-661.

WU B， CHENG P， Stability margin analysis of multivariable flight control system［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 1998， 19（6）： 657-661.

［8］BAR-ON J R， ADAMS R J. Multivariable gain and phase margin analysis of a fully coupled six-degree-of-freedom guided missile［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Control Applications， 1999： 152-157.

［9］WILSON A， AMOLD W F. Multivariable stability margin for real uncertain parameters using Gerschgorin discs［C］∥Proc.of the AIAA Guidance， Navigation and Control Conference， 1991： 1486-1489.

［10］侯振乾. 參數(shù)不確定飛行器控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性評(píng)估方法研究［D］. 西安： 西北工業(yè)大學(xué)， 2015.

HOU Z Q. Research on robust stability evaluation method for aircraft control system with uncertain parameters［D］. Xi’an： Northwestern Polytechnical University， 2015.

［11］WANG Q G， LI P W. Effective computation of all stabilizing gain and delay regions for MIMO systems［C］∥Proc.of the IEEE 14th International Conference on Control and Automation， 2018： 800-804.

［12］SEIFERTH D， AFONSO R， HELLER M， et al. Reduced conservatism proof of the balanced MIMO gain and phase margins［C］∥Proc.of the 59th IEEE Conference on Decision and Control， 2020： 905-911.

［13］LEHTOMAKI N A， SANDELL N R， ATHANS M. Robustness resuits in linear-quadratic Gaussian based multi-variable control designs［J］. IEEE Trans.on Automatic Control， 1981， 26（1）： 75-92.

［14］MUKHOPADHYAY V， NEWSOM J R. Application of matrix singular value properties for evaluating gain and phase margins of muti-loop systems［C］∥Proc.of the AIAA Guidance Navigation and Control Conference， 1982： 420-428.

［15］阮仕龍， 董哲， 孫堯， 等. 基于奇異值方法的推力矢量/氣動(dòng)舵飛機(jī)復(fù)合控制律參數(shù)優(yōu)化方法研究［J］. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， DOI： 10.13700/j.bh.1001-5965.2023.0227.

RUAN S L， DONG Z， SUN Y et al. Research on parameter optimization method of thrust vector/pneumatic rudder composite control law for aircraft based on singular value method［J］. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， accepted， DOI： 10.13700/j.bh.1001-5965.2023.0227.

［16］HAO Z Y， ZHANG Q Y， CHEN H J， et al. Research and design of coordinated control strategy for smart electromechanical actuator system［J］. Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2022， 39（5）： 507-520.

［17］李信棟， 茍興宇. 基于天線驅(qū)動(dòng)組件的多體衛(wèi)星MIMO控制及穩(wěn)定裕度應(yīng)用研究［J］. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用， 2014， 40（2）： 20-25.

LI X D， GOU X Y. Application research on MIMO control and stability margin of multi-body satellite based on antenna driver module［J］. Space Control Technology and Application， 2014， 40（2）： 20-25.

［18］DOYLE J. Analysis of feedback systems with structured uncertainties［J］. Control Theory and Applications， 1982， 129（6）： 242-250.

［19］段子帆， 寧國棟， 張紅文， 等. 高超聲速飛行器橫航向MIMO系統(tǒng)控制及穩(wěn)定裕度評(píng)估［J］. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)， 2018（2）： 70-79.

DUAN Z F， NING G D， ZHANG H W， et al. Control and stability margin evaluation of transverse heading MIMO system for hypersonic vehicle［J］. Tactical Missile Technology， 2018（2）： 70-79.

［20］高黛陵， 吳麒. 多變量頻率域控制理論［M］. 北京： 清華大學(xué)出版社， 1998.

GAO D L， WU Q. Multivariable frequency domain control theory［M］. Beijing： Tsinghua University Press， 1998.

［21］HORN R A， JOHNSON C R. Matrix analysis second edition［M］. Beijing： Posts and Telecom Press， 2020.

［22］李奔. 線性系統(tǒng)PID參數(shù)穩(wěn)定域研究［D］. 南京： 南京理工大學(xué)， 2010.

LI B. Research on the stable domain of PID parameters for linear systems［D］. Nanjing： Nanjing University of Science and Technology， 2010.

作者簡介

閆帥豪（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器穩(wěn)定控制。

錢 瑞（1997—），女，工程師，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器穩(wěn)定控制。

魏明英（1966—），女，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)、制導(dǎo)控制。

鄭勇斌（1978—），男，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)和控制。