基于改進跟蹤微分器的增量動態(tài)逆控制器設(shè)計

摘要： 針對大迎角飛行控制過程中存在的強氣動非線性和模型不確定性，提出一種基于改進跟蹤微分器的增量動態(tài)逆控制方法?？紤]飛行器大迎角飛行姿態(tài)控制動力學(xué)特性，設(shè)計了外環(huán)為動態(tài)逆、內(nèi)環(huán)為增量動態(tài)逆的控制器。針對采用傳統(tǒng)跟蹤微分器獲得增量動態(tài)逆所需的角加速度信息時存在的信號顫振和濾波效果差的問題，采用非線性函數(shù)和線性函數(shù)結(jié)合的方式，設(shè)計了一種改進的跟蹤微分器。通過大迎角飛行數(shù)值仿真，驗證了設(shè)計的跟蹤微分器在準確提取角加速度的同時具有一定的抗噪性，基于此微分器設(shè)計的增量動態(tài)逆控制器對氣動不確定性具有魯棒性。

關(guān)鍵詞： 改進跟蹤微分器; 非線性; 增量動態(tài)逆控制; 氣動不確定性

中圖分類號： V 249.122

文獻標志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.24

Incremental dynamic inverse control based on improved tracking differentiator

FU Shikang^1，2， LIU Junhui^{1，2，*}， CHEN Hao³， SHAN Jiayuan^1，2

（1. School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China;

2. Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle， Ministry of Education， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 3. Beijing Institute of Electronic Engineering， Beijing 100093， China）

Abstract： Aiming at the strong aerodynamic nonlinearity and model uncertainty in high angle of attack flight control processes， an incremental dynamic inverse control method based on an improved tracking differentiator is proposed. Considering the dynamic characteristics of attitude control for aircraft at high angles of attack， a controller is designed with an outer loop for dynamic inversion and an inner loop for incremental dynamic inversion. Aiming at the problems of signal flutter and poor filtering effect when using traditional tracking differentiators to obtain the angular acceleration information required for incremental dynamic inversion， an improved tracking differentiator is designed by combining nonlinear and linear functions. Through high angle of attack flight numerical simulation， it is verified that the designed tracking differentiator has a certain degree of noise resistance while accurately extracting angular acceleration. The incremental dynamic inverse controller designed based on this differentiator enhances robustness to aerodynamic uncertainty.

Keywords： improved tracking differentiator; nonlinear; incremental dynamic inverse control; aerodynamic uncertainty

0 引 言

面對稱飛行器（以下簡稱飛行器）大迎角飛行狀態(tài)下，會出現(xiàn)較強的氣動非線性，很難建立飛行器精確的動力學(xué)模型，給非線性控制器設(shè)計帶來了很大挑戰(zhàn)^［1-3］。非線性動態(tài)逆（nonlinear dynamic inversion， NDI）已經(jīng)在飛行器控制中取得廣泛應(yīng)用，特別是在戰(zhàn)斗機和一些無人機中^［4-9］。該方法通過反饋控制抵消系統(tǒng)中的非線性項從而實現(xiàn)模型線性化，進而在線性控制理論框架下對系統(tǒng)進行穩(wěn)定控制。然而，NDI方法使用的前提是精確的系統(tǒng)建模，這使得其在具有氣動不確定性的大迎角飛行控制中效果不盡人意。很多學(xué)者將NDI方法與魯棒控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法^［10-14］相結(jié)合，設(shè)計出了魯棒性好的動態(tài)逆控制器。但受限于它們復(fù)雜的控制結(jié)構(gòu)，不利于應(yīng)用到工程實踐中。

不同于動態(tài)逆控制，增量NDI（incremental NDI， INDI）方法不需要模型相關(guān)信息，通過增量的形式^［15］，以狀態(tài)量的導(dǎo)數(shù)作為控制反饋，結(jié)合精確的控制矩陣模型，實現(xiàn)系統(tǒng)控制。其魯棒性強，結(jié)構(gòu)簡單，便于工程實現(xiàn)^［16-20］。文獻［21］使用了INDI方法設(shè)計控制器，但沒有考慮角加速度獲取問題。作為一種基于傳感器測量信息的控制方法，合理、準確地提取狀態(tài)量的微分，是實現(xiàn)增量動態(tài)逆的關(guān)鍵。為了能應(yīng)用于工程實踐，文獻［22］使用了一種角加速度估計的方法。文獻［23］設(shè)計了一種基于有限時間擾動觀測器的增量動態(tài)逆控制，解決了角加速度信息無法直接獲取的問題。文獻［24］使用基于離散卡爾曼濾波器的固定滯后平滑算法來獲取角加速度，但是其數(shù)值計算量較大。一種更為形式簡單且便于工程應(yīng)用的方法是使用跟蹤微分器。文獻［25］最早提出了由二階最速開關(guān)系統(tǒng)構(gòu)造一種典型的二階跟蹤微分器，但其缺點是當跟蹤信號逼近輸入信號時，有較為嚴重的顫振現(xiàn)象。文獻［26］基于經(jīng)典跟蹤微分器設(shè)計了增量動態(tài)逆控制方法，但是該跟蹤微分器狀態(tài)量采樣時間較小時，會對噪聲產(chǎn)生放大作用;當采樣時間增大時，微分信號會出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。針對跟蹤微分器跟蹤特性，文獻［27］總結(jié)了使用跟蹤微分器提取微分信號時，跟蹤微分器產(chǎn)生顫振的原因主要是在平衡點處使用了非線性函數(shù)，而在平衡點處采用線性環(huán)節(jié)可以避免顫振現(xiàn)象。文獻［28］指出通過改寫微分跟蹤器系數(shù)可以增強其抗噪能力，但會產(chǎn)生一定的輸出延遲。

本文針對大迎角飛行控制過程中出現(xiàn)的強非線性及模型不確定性，基于增量動態(tài)逆方法設(shè)計了姿態(tài)角控制器。為了獲得準確、光滑的角加速度信息，結(jié)合線性函數(shù)和非線性函數(shù)對經(jīng)典跟蹤微分器進行了改進。在平衡點處使用線性函數(shù)減少微分信號顫振，在遠離平衡點時使用非線性函數(shù)加快信號跟蹤速度。通過仿真驗證了跟蹤微分器的微分信息提取效果和增量動態(tài)逆控制器的控制效果。

1 模型描述

大迎角飛行時，飛行器氣動特性出現(xiàn)復(fù)雜的非線性，此時氣流系與機體系產(chǎn)生極大分離。為了便于飛行器大迎角飛行控制器設(shè)計，以氣流系為參考坐標系建模，表達式如下：

V為空速;χ，γ分別為航跡方位角和航跡傾角;M為質(zhì)量;g為重力加速度;L，D，Y分別為升力、阻力和側(cè)向力;T為推力;α，β，μ分別表示迎角、側(cè)滑角和繞速度軸滾轉(zhuǎn)角;p，q，r分別表示滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度;l，m，n分別為滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩和偏航力矩;I_x，I_y，I_z為轉(zhuǎn)動慣量;I_xz為慣性積。

式（1）～式（8）為描述飛行器大迎角飛行的模型。大迎角飛行下，飛行器機體和機翼附近的氣流隨著攻角的增加而出現(xiàn)渦流和流動分離，這使得滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)和偏航力矩系數(shù)出現(xiàn)非對稱變化，飛行器氣動力呈現(xiàn)強非線性和強耦合等特性^［29］。

根據(jù)時標原理，將飛行器姿態(tài)運動劃分為角速度環(huán)（快回路）和姿態(tài)環(huán)（慢回路）分別進行控制律設(shè)計。式（3）快回路模型寫成非線性仿射模型為

式中：f_x1=c₁rq+c₂pq+c₃l₀+c₄n₀

c₅pr－c₆p²+c₆r²+c₇m₀

c₈pq－c₂rq+c₄l₀+c₉n₀

_3×1，是角加速度中除去由操縱面引起的角加速度以外的動力學(xué)模型項;l₀，m₀，n₀分別為除去操縱面引起的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩;δ_e，δ_a，δ_r分別表示飛行器三通道控制指令;g_δ1為控制矩陣，g_δ1=g_pδeg_pδag_pδrg_qδe00g_rδeg_rδag_rδr，g_pδe，g_pδa，g_pδr分別是升降舵、副翼和方向舵引起的滾轉(zhuǎn)角速率導(dǎo)數(shù)，g_qδe是升降舵引起的俯仰角速率導(dǎo)數(shù)，g_rδe，g_rδa，g_rδr分別是升降舵、副翼、方向舵引起的偏航角速率導(dǎo)數(shù)。

式（2）慢回路模型3個氣動角（迎角α、側(cè)滑角β、繞速度軸滾轉(zhuǎn)角μ）和快回路3個角速度之間的關(guān)系，寫成非線性仿射形式為

2 控制器設(shè)計

2.1 增量動態(tài)逆控制律設(shè)計

參考文獻［30］和文獻［31］，飛行器模型可以抽象為一個MIMO仿射非線性系統(tǒng)：

式中：x∈Rⁿ為系統(tǒng)狀態(tài)量;y∈Rⁿ為系統(tǒng)輸出量;u∈R^m為控制輸入矢量;f（x）為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;G（x）為控制輸入矩陣;h（x）為輸出矩陣。當G（x）可逆或偽逆存在時，可設(shè)計INDI控制律使得MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定。

在時間τ下，把式（11）進行一階泰勒級數(shù)展開^［30］，如下所示：

式中：Δ為高階無窮小量;τ表示系統(tǒng)狀態(tài)和控制律更新時間;x－x₀和u－u₀表示在τ時間內(nèi)的狀態(tài)增量和控制輸入增量;x₀和u₀分別表示未更新的上一數(shù)據(jù)幀的x和u。

忽略高階項，當時間τ→0時，x→x₀，且limτ→0u≠u₀，有

因此，INDI控制律可以寫成：

u=u₀+G-^－1（x）（v－x·₀）（14）

式中：v為虛擬控制量;G-^－1（x）為標稱控制效能矩陣。實際情況下，INDI控制律使用了已知的建模控制效能矩陣，系統(tǒng)狀態(tài)導(dǎo)數(shù)x·₀和上一時刻實際控制輸出量u₀。

根據(jù)式（14）INDI控制律，式（9）模型控制律為

式中：［δ_e0，δ_a0，δ_r0］^T為上一幀數(shù)據(jù)中的舵控指令;［p_c，q_c，r_c］^T為期望角速度指令;［p^，q^，r^］^T和［p^·₀，q^·₀，r^·₀］^T分別為跟蹤微分器輸出的角速度和角加速度;g^－1_δ1是控制矩陣g_δ1的逆或廣義逆;K_f是控制參數(shù)矩陣。

由式（10）模型可知，慢回路中沒有模型不確定性參數(shù)，不需要增量動態(tài)逆方法進行設(shè)計?？梢詫懗雎芈房刂坡?sup>［32^］為

式中：K_s為控制參數(shù)矩陣;α_c，β_c，μ_c分別為迎角、側(cè)滑角和繞速度軸滾轉(zhuǎn)角期望信號。

圖1給出了基于跟蹤微分器的飛行器大迎角控制框圖。

2.2 改進跟蹤微分器設(shè)計

對于系統(tǒng)S₁：

若任意解均滿足：limt→∞ x₁（t）=0，limt→∞ x₂（t）=0，那么對于任意有界可積函數(shù)w（t）和任意時間常數(shù)T，有系統(tǒng)S₂：

的解x₁（t）滿足：

limR→∞∫^T₀|x₁（t）－w（t）|dt=0（20）

其中，R為待定參數(shù)。具體證明參考文獻［25］。

定理 1 考慮系統(tǒng)S₃：

式中：x₁和x₂為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a，b₁，b₂，m，n為可調(diào)參數(shù);sgn（·）為符號函數(shù)。若系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)滿足agt;0，b₁gt;0，b₂gt;0，mgt;1，ngt;0且為奇數(shù)，則系統(tǒng)S₃的平衡原點是漸進穩(wěn)定的。

證明 選擇李雅普諾夫函數(shù)為

V=am+1|x₁|^m+1+12x²₂（22）

對式（22）求導(dǎo)得

V·=a|x₁|^mx·₁sgn（x₁）+x₂x·₂（23）

把式（21）代入式（23）得

式中：n是奇數(shù)。當x₂=0時V·=0，即當x₁（t）最終趨于某個值后不再變化，此時有x·₁≡0，x₂≡0，x·₂≡0，代回到原系統(tǒng)方程（21），x₁=0。也就是說系統(tǒng)S₃穩(wěn)定值為（x₁，x₂）^T=（0，0）^T。證畢

根據(jù)文獻［25］和定理1，可以構(gòu)造改進微分器的形式如下所示：

式中：x₁是輸入信號w的估計;x₂是輸入信號w的微分;參數(shù)agt;0，b₁gt;0，b₂gt;0，mgt;1，ngt;0，n是奇數(shù)。

說明：

（1） 當e（t）=x₁（t）－w（t）gt;1時，即估計信號x₁（t）距離輸入信號w（t）較大時，非線性部分a|x₁－w|^msgn（x₁－w）和b₂xⁿ₂/Rⁿ起到主導(dǎo)作用，加速對信號w（t）的跟蹤過程。

（2） 當e（t）=x₁（t）－u（t）lt;1，即估計信號x₁（t）距離輸入信號w（t）較近時，線性部分b₁x₂/R起主導(dǎo)作用，對輸入信號w（t）的跟蹤仍有一定的速度。

（3） 在改進跟蹤微分器（TD-E）中構(gòu)造了a|x₁－w|^msgn（x₁－w）非線性項，當估計信號趨近輸入信號后，存在噪聲干擾時有效降低了噪聲在輸出中的權(quán)重，對噪聲起到了抑制作用。

因此，TD-E可以快速跟蹤輸入信號，在有測量噪聲干擾時，能產(chǎn)生較為光滑的跟蹤信號和微分信號。

3 仿真驗證

3.1 TD-E仿真

為驗證TD-E跟蹤效果，下面進行仿真分析。圖2繪制了方波輸入下經(jīng)典跟蹤微分器^［25］（ADRC-TD）和TD-E輸出信號對比圖。圖3繪制了方波輸入下ADRC-TD和TD-E的微分信號對比圖。從圖2中可以看到，在遠離平衡點時TD-E有更大的趨近速度，但是由于在平衡點附近只使用了x₂的線性函數(shù)，趨近速度相比于ADRC-TD慢一些，有一定的延遲。從圖3可以看到，平衡點處使用了線性函數(shù)的TD-E無顫振。

3.2 飛行器大迎角飛行控制仿真

以公開的F-18模型為被控對象^［29］，選取其飛行時的某個特征點進行仿真計算。特征點參數(shù)如下：質(zhì)量M=15 118.35 kg，推力T=94 320 N，飛行高度H=4 500 m，速度V=400 m/s，轉(zhuǎn)動慣量I_x=16 703 kg·m²，I_y=128 600 kg·m²，I_z=139 730 kg·m²，I_xz=1 573.3 kg·m²，初始迎角α₀=25°，側(cè)滑角β₀=0°，氣動滾轉(zhuǎn)角μ₀=0°。

為了驗證控制律魯棒性，考慮飛機系統(tǒng)不確定性，將氣動模型攝動30%。同時考慮測量元件特性，在INDI控制回路中引入方差為0.01、幅值為3°的白噪聲干擾，驗證跟蹤微分器效果。迎角指令和繞速度軸旋轉(zhuǎn)角指令取為方波信號，側(cè)滑角指令保持為0。仿真步長0.005 s，采樣時間0.005 s下面首先仿真對比了NDI控制和INDI控制效果。

TD-E參數(shù)如下：R=10，a=20，b₁=1，b₂=20，m=2，n=3。

本文中的增量動態(tài)逆控制參數(shù)選取為

NDI控制和INDI控制仿真結(jié)果對比圖如圖4、圖5所示。從圖4可以看到，氣動參數(shù)無攝動情況下，NDI控制器和INDI控制器均能快速、穩(wěn)定地跟蹤期望信號，但是NDI控制器較快。從圖5可以看到，在系統(tǒng)不確定性情況下，NDI控制器跟蹤信號時，當出現(xiàn)小的跟蹤誤差之后誤差逐漸增大，控制指令無法將其拉回，穩(wěn)定時有著很大的誤差;INDI控制器則可以準確地跟蹤信號，在對氣動不確定性的魯棒性好。

為表現(xiàn)TD-E應(yīng)用在增量動態(tài)逆中的優(yōu)勢，將文獻［26］中基于ADRC-TD的增量動態(tài)逆控制方法（INDI-1）和本文設(shè)計的基于TD-E的增量動態(tài)逆控制方法（INDI-E）進行仿真對比，繪制了氣動角信號跟蹤對比圖和升降舵信號對比圖，如圖6和圖7所示。在信號跟蹤速度相近的情況下（見圖6），從圖7中可知，由于ADRC-TD在平衡點處使用符號函數(shù)，此時微分器跟蹤指令信號的速率較大，信號有顫振。本文設(shè)計的微分器在平衡點處線性部分占主導(dǎo)，能產(chǎn)生光滑的控制信號，無顫振。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于TD-E的大迎角飛行增量動態(tài)逆控制方法。融合線性函數(shù)和非線性函數(shù)提出了一種基于TD-E的角加速度信息提取方法，該方法使得ADRC-TD輸出無顫振、具備抗噪性。基于此微分器設(shè)計的增量動態(tài)逆控制回路在系統(tǒng)不確定性下能夠準確地跟蹤信號，其結(jié)構(gòu)簡單，便于工程應(yīng)用。數(shù)學(xué)仿真試驗表明，在氣動參數(shù)攝動30%情況下，本文設(shè)計的方法比動態(tài)逆方法可以更加有效地跟蹤指令信號，取得滿意的控制效果。

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作者簡介

符式康（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

劉俊輝（1990—），男，預(yù)聘助理教授，博士，主要研究方向為飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制、系統(tǒng)仿真。

陳 昊（1994—），男，工程師，博士，主要研究方向為多飛行器協(xié)同制導(dǎo)與控制。

單家元（1967—），男，教授，博士，主要研究方向為飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制、系統(tǒng)仿真。