基于稀疏恢復(fù)的快速高精度DOA估計算法

摘要： 傳統(tǒng)的基于稀疏恢復(fù)的波達方向（direction of arrival， DOA）估計算法使用密集的采樣網(wǎng)格，導(dǎo)致計算量顯著增加，且對鄰近入射信號的估計精度不高。針對這一問題，提出一種快速高精度DOA估計算法。該算法首先使用網(wǎng)格進化方法降低網(wǎng)格點總數(shù)。然后，對噪聲方差和信號功率進行二次估計，進而使用離網(wǎng)求根稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（off-grid root sparse Bayesian learning， OGRSBL）技術(shù)來實現(xiàn)入射角的精確估計。仿真表明，相比傳統(tǒng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)類算法，所提算法計算效率高，同時對緊鄰信號有著更好的估計能力。

關(guān)鍵詞： 波達方向估計; 離網(wǎng); 網(wǎng)格進化; 稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

中圖分類號： TN911.7

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.05

Fast and high precision DOA estimation algorithm based on sparse recovery

LIU Lutao^*， XU Guoheng， WANG Zhen

（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The conventional direction of arrival （DOA） estimation algorithm based on sparse recovery uses dense sampling grids， resulting in significantly increased computational complexity and low estimation accuracy for adjacent signals. To address this issue， this manuscript proposes a fast and high accuracy DOA estimation algorithm. Firstly， starting from sparse grids， the grid evolution method is used to reduce the total number of grid points. Noise variance and signal power are estimated again， then use off-grid root sparse Bayesian learning （OGRSBL） technique to calculate the accurate estimation of incident angle. Simulation results show that compared to conventional sparse Bayesian learning algorithms， the proposed algorithm has higher computational efficiency with higher accuracy for closely spaced signals.

Keywords： direction of arrival （DOA） estimation; off-grid; grid evolution; sparse Bayesian learning （SBL）

0 引 言

波達方向（direction of arrival， DOA）估計技術(shù)是陣列信號處理的重要內(nèi)容，一直被廣泛地應(yīng)用在天線、雷達、通信^［1］等領(lǐng)域。許多子空間類算法，如多信號分類（multiple signal classification， MUSIC）^［2］等，在近幾十年來一直受到大量學(xué)者的關(guān)注。這類算法與波束形成類算法相比具有超分辨能力，然而在低信噪比、小快拍數(shù)等環(huán)境下，這類算法的估計精度會顯著下降。

近年來，學(xué)者們將稀疏表示理論引入DOA估計并得到大量研究成果，主要有貪婪追蹤類^［3-6］、凸松弛類^［7-8］和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（sparse Bayesian learning， SBL）類算法。前兩類算法在目標(biāo)估計、雷達成像等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用^［9-11］。SBL類算法最初由Tipping^［12］在2001年為了解決機器學(xué)習(xí)中的回歸與分類問題，基于相關(guān)向量機（relevance vector machine， RVM）模型提出，之后Tipping等人又提出快速SBL（fast SBL， FSBL）算法^［13］，在迭代過程中不斷增加或刪減基向量，減少了計算量，從而加快算法的收斂速度。文獻［14］首次將SBL理論引入壓縮感知領(lǐng)域，在貝葉斯框架下，研究壓縮感知的信號重構(gòu)問題，并提出一種單任務(wù)貝葉斯壓縮感知（single-task Bayesian compress sensing， ST-BCS）算法;之后又針對多快拍模型，提出一種多任務(wù)貝葉斯壓縮感知（multi-task Bayesian compress sensing， MT-BCS）方法^［15］。文獻［16］通過分層方式對信號賦予拉普拉斯先驗，提高重建性能。文獻［17］將SBL用于DOA估計，提出RVM-DOA算法，并提出一種精細的一維搜索方法來計算離網(wǎng)誤差。文獻［18］通過泰勒一階展開的方法將離網(wǎng)誤差加入到過完備字典中，提出離網(wǎng)稀疏貝葉斯推斷（off-grid sparse Bayesian inference， OGSBI）算法，該算法能夠在粗糙網(wǎng)格上實現(xiàn)對入射角度的精確估計。文獻［19］使用多項式求根的方法來求解離網(wǎng)誤差，提出離網(wǎng)求根SBL（off-grid root sparse Bayesian learning， OGRSBL）方法，相比OGSBI方法降低了建模誤差以及計算復(fù)雜度。文獻［20］將各種SBL類算法的運算復(fù)雜度進行對比，為算法的應(yīng)用提供了參考。文獻［21］根據(jù)OGRSBL提出一種能夠在存在幅相誤差的條件下進行DOA估計的方法。文獻［22］通過酉變換將估計模型實數(shù)化，提高計算速度。文獻［23］提出一種對于非均勻線陣接收信號模型也能夠進行實數(shù)化的方法，并且該方法對于噪聲也有一定的抑制作用。文獻［24］將SBL類算法引入到壓縮陣列中，在避免了孔徑降低的同時得到優(yōu)秀的估計精度。文獻［25］將廣義雙Pareto先驗應(yīng)用于SBL算法中，提高估計精度;文獻［26］提出一種基于sinc函數(shù)插值的離網(wǎng)模型，降低離網(wǎng)誤差。

以上介紹的基于SBL的DOA估計算法都是基于網(wǎng)格模型的，難以兼顧估計精度和算法速度，為提高估計精度采用密集的網(wǎng)格會導(dǎo)致計算量增加，從而犧牲計算速度。而且，傳統(tǒng)的SBL類算法對緊鄰的兩個入射信號的分辨能力不佳。本文提出一種計算速度快并且對緊鄰信號區(qū)分能力較強的算法：首先采用網(wǎng)格進化方法^［27］，從一個非常粗糙的網(wǎng)格開始，不斷分裂，向目標(biāo)角度位置處加入新的網(wǎng)格點，但總體網(wǎng)格點數(shù)保持在一個較小的水平;其次使用最大似然方法對噪聲方差進行二次估計，提高對緊鄰信號的分辨能力;最后對于分裂得到的新網(wǎng)格，使用OGRSBL方法進行超參數(shù)二次估計，得到精確的DOA估計值。本文的主要創(chuàng)新之處在于：改進網(wǎng)格進化方法中對潛在可分裂網(wǎng)格點的選取，并使用網(wǎng)格進化方法對文獻［28］中的網(wǎng)格插值方法進行優(yōu)化，在SBL算法的收斂過程中不斷加入新網(wǎng)格點；同時保持總體網(wǎng)格點數(shù)較小，兼顧估計精度及計算速度。仿真表明，相比較其他SBL類算法，該算法的計算速度較快，在處理緊鄰信號時，能得到更顯著的空間譜譜峰，同時估計誤差更小。

1 離網(wǎng)信號模型

考慮有K個遠場窄帶信號同時入射到一個由M個陣元組成的均勻線陣上，入射角分別為θ=［θ₁，θ₂，…，θ_K］，則入射信號的接收模型可以表示為

式中：陣列接收的總快拍數(shù)為L；y（t）=［y₁（t），y₂（t），…，y_M（t）］^T，s（t）=［s₁（t），s₂（t），…，s_K（t）］^T和e（t）=［e₁（t），e₂（t），…，e_M（t）］^T分別是第t個快拍陣列的輸出、入射信號以及高斯白噪聲向量，入射信號與噪聲相互獨立，噪聲方差為σ²；A（θ）=［a（θ₁），a（θ₂），…，a（θ_K）］表示陣列流形矩陣，其中的元素a（θ_k）=［1，e^{－j2πd sin（θ}_k^）/λ，…，e^{－j2π（M－1）d sin（θ}_k^）/λ］^T表示入射角度為θ_k時對應(yīng)的導(dǎo)向矢量，d為均勻線陣兩個相鄰陣元的間隔，λ為波長，在本文中，d=1/2λ。

為了構(gòu)建信號的稀疏表示模型，首先將空間角度［－90°，90°］均勻劃分為N個網(wǎng)格點，其中Klt;lt;N，得到網(wǎng)格θ～=［θ～₁，θ～₂，…，θ～_N］。隨后，將式（1）中的接收模型轉(zhuǎn)化為過完備稀疏表示：

式中：A（θ～）=［a（θ～₁），a（θ～₂），…，a（θ～_N）］;x（t）是一個稀疏向量，其中大部分元素為0，只有少數(shù)元素不為0，非零元素的位置對應(yīng)的網(wǎng)格點可以用于估計入射角度。由于入射角度一般不會恰好落在網(wǎng)格點處，因此存在離網(wǎng)誤差，即入射角度與離其最近的網(wǎng)格點之間的誤差。通過泰勒一階展開，對稀疏表示模型進行線性近似：

式中：b（θ～_nk）=a′（θ～_nk）；θ～_nk表示距離入射角度θ_k最近的網(wǎng)格點角度，則θ_k－θ～_nk就是該網(wǎng)格角度的離網(wǎng)誤差β_n。令A(yù)=［a（θ～₁），a（θ～₂），…，a（θ～_N）］，B=［b（θ～₁），b（θ～₂），…，b（θ～_N）］，β=［β₁，β₂，…，β_N］，Φ（β）=A+B diag（β），其中diag（·）表示將向量轉(zhuǎn)變?yōu)閷蔷仃?。對于n=1，2，…，N，有

將修改后的過完備字典代入式（2）得到單快拍模型：

當(dāng)收集到L個快拍時，式（5）變?yōu)槎嗫炫哪Ｐ?，矩陣形式表達式^［18］為

式中：Y=［y（1），y（2），…，y（L）］;X=［x（1），x（2），…，x（L）］;E=［e（1），e（2），…，e（L）］。

2 SBL模型

由于假設(shè)噪聲為圓對稱復(fù)高斯白噪聲，因此得到

式中：α₀=σ^－2表示噪聲的精度;σ²是噪聲的方差;CN（·）表示復(fù)高斯分布。

在圓對稱復(fù)高斯白噪聲的假設(shè)下，得到式（6）中測量矩陣Y的表達式：

假設(shè)噪聲精度α₀未知，由于Gamma超先驗是高斯分布的共軛先驗，因此為α₀賦予Gamma超先驗：

式中：Γ{·}表示Gamma函數(shù);Γ（α₀|c，d）=［Γ（c）］^－1·d^cα^c－1₀exp［－dα₀］，c和d是兩個極小的正數(shù)。

對于聯(lián)合稀疏矩陣X，假設(shè)不同快照之間的信號是獨立的，并且采取兩階段分層先驗分布：p（X;ρ）=∫p（X|α）p（α;ρ）dα，ρgt;0，α∈R^N，Λ=diag（α），且：

式中：α表示源信號空間功率。因此，α能夠控制X的稀疏度。與α₀同理，為α賦予Gamma超先驗p（α;ρ）=∏^N_n=1Γ（α_n|1，ρ）。

對于離網(wǎng)誤差β，假設(shè)服從一個均勻先驗分布。首先，計算各網(wǎng)格點與臨近網(wǎng)格點之間的距離，得到一個向量：

一般認為，離網(wǎng)誤差不超過左右兩邊網(wǎng)格間距的一半，因此得到離網(wǎng)誤差的先驗分布為

將分層貝葉斯模型的各個階段組合，聯(lián)合概率密度函數(shù)^［18］為

3 快速高精度SBL算法

傳統(tǒng)算法依賴一個密集的網(wǎng)格來得到較高估計精度，但犧牲了計算速度，且對緊鄰信號的分辨能力不佳。針對這些問題進行改進，本文提出快速高精度SBL算法。首先，在預(yù)估計階段，通過網(wǎng)格進化的方法，在入射角度估計值附近加入精細的網(wǎng)格點，使得總體網(wǎng)格點數(shù)較小，降低計算復(fù)雜度;其次，對噪聲方差進行二次估計，提高對緊鄰信號的分辨能力;最后，在新網(wǎng)格上使用OGRSBL^［19］方法，進一步提高估計精度，得到精確的DOA估計值。

3.1 SBL

網(wǎng)格進化^［27］方法結(jié)合網(wǎng)格細化與SBL，在網(wǎng)格分裂前需要通過SBL得到各個網(wǎng)格點的空間功率和離網(wǎng)誤差，下面首先介紹SBL過程。

根據(jù)參考文獻［14］和文獻［16］類似的推斷方法可以得到X的后驗分布是一個復(fù)高斯分布：

可見，在最初的迭代步驟中，后驗均值和方差能夠通過初始化的超參數(shù)α₀，α，β計算得到，在之后的迭代中，通過上次迭代后更新的超參數(shù)計算得到。接下來，需要對超參數(shù)α₀，α，β進行更新。文獻［18］使用期望最大化（expectation-maximization， EM）算法，得到超參數(shù)的更新方法，α₀，α的更新如下：

對于超參數(shù)β，其估計值通過式（13）使得E{lg p（Y|X，α₀，β）p（β）}達到最大值，從而最小化：

式中：C是一個常數(shù)項，與β無關(guān)。P是一個半正定矩陣，關(guān)于P和v的計算公式如下：

式中：{·}表示復(fù)共軛；U=［μ（1），μ（2），…，μ（L）］。由此可以得到超參數(shù)β的更新規(guī)則如下：

實際應(yīng)用中，由于β與X聯(lián)合稀疏這一事實，β的K個非零位置對應(yīng)K個源信號入射角位置，而超參數(shù)α表示網(wǎng)格點的空間功率，因此向量α的K個最大值對應(yīng)的網(wǎng)格點即為存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點，其他網(wǎng)格點的離網(wǎng)誤差設(shè)置為0，這樣使得參與計算的β，P和v的維度減少為K或K×K。文獻［18］給出了式（17）的詳細推導(dǎo)以及維度降低后超參數(shù)β的一種有效的計算方式。

3.2 網(wǎng)格進化

各個網(wǎng)格點的空間功率以及離網(wǎng)誤差已經(jīng)計算完畢，下面對網(wǎng)格如何進化進行詳細介紹。網(wǎng)格點能夠分裂的兩個條件是網(wǎng)格點必須網(wǎng)格能量高，同時網(wǎng)格點能量必須是局部最大值^［27］。前文得到了存在離網(wǎng)誤差的K個網(wǎng)格點，這些網(wǎng)格點滿足網(wǎng)格能量高的條件，接下來對這幾個網(wǎng)格點及其兩側(cè)的空間功率進行檢測，若網(wǎng)格點能量為局部最大值，則該網(wǎng)格點被確定能夠分裂。

在確定哪些網(wǎng)格點能夠分裂后，如果該網(wǎng)格點是所有網(wǎng)格中的第n個網(wǎng)格點θ～_n，離網(wǎng)誤差β_ngt;0，表明實際的DOA大于θ～_n，則在θ～_n與θ～_n+1的中間插入一個新網(wǎng)格點，網(wǎng)格點的具體位置為θ～_n+r（n）/2，r為式（11）提到的離網(wǎng)誤差向量，使得θ～_n與θ～_n+1之間的區(qū)域網(wǎng)格點更加密集，能夠更好地對信號進行估計;同理，若離網(wǎng)誤差β_nlt;0，則在θ～_n－1與θ～_n的中間插入一個新網(wǎng)格點θ～_n－r（n－1）/2。需要注意的是，網(wǎng)格分裂后，離網(wǎng)誤差向量，網(wǎng)格數(shù)及網(wǎng)格序號都會發(fā)生相應(yīng)變化。隨著迭代過程的進行，信號入射處附近的網(wǎng)格點將變得越來越密集，對信號入射角的估計精度以及對緊鄰信號的分辨能力也隨之上升。

網(wǎng)格點分裂后，為了SBL算法能夠繼續(xù)進行，已分裂的網(wǎng)格點以及新產(chǎn)生的網(wǎng)格點都需要用合適的超參數(shù)賦予先驗分布，才能用到下一次的迭代中。根據(jù)噪聲的先驗概率密度式（7），每個網(wǎng)格點都存在相同功率的噪聲分量，因此可以假設(shè)分裂的網(wǎng)格點以及新網(wǎng)格點的噪聲方差與其他網(wǎng)格點保持一致，通過式（16）得到更新的超參數(shù)α₀賦予網(wǎng)格中所有網(wǎng)格點。超參數(shù)β依舊滿足式（12）賦予的均勻分布先驗，需要注意的是，由于網(wǎng)格點總數(shù)N發(fā)生變化，因此存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點的序號可能隨之改變，同時式（11）表示的網(wǎng)格間隔向量r也需要重新計算。

式（10）表示信號X的先驗分布，為保證分裂前后X的先驗分布保持不變，p（α）也應(yīng)該不變。假設(shè)第n個網(wǎng)格點θ～_n分裂為θ～_n1和θ～_n2兩個網(wǎng)格點，則

式中：α_－n表示向量α刪去第n個元素形成的向量。由Gamma函數(shù)可以推出：

α_n的值在式（16）中給出了迭代結(jié)果，如果沒有其他信息，為了不失一般性，可以設(shè)置：

由于網(wǎng)格點數(shù)量過多會顯著增加計算量，同時過于密集的網(wǎng)格點會導(dǎo)致估計性能下降，因此網(wǎng)格不能無限細分下去，需要在網(wǎng)格進化到合適的程度后停止分裂。針對這兩個問題，提出兩個終止條件。

條件 1 網(wǎng)格總數(shù)限制。在本文的DOA估計模型中，陣列為M個陣元組成的均勻線陣，字典矩陣的秩最大為M，最多可以估計M－1個參數(shù)^［29］。網(wǎng)格初始化時，采用M個網(wǎng)格點，均勻分布在角度空間中?？紤]一種最極限的情況，即存在M－1個待估計參數(shù)，且這些參數(shù)全部位于一個初始網(wǎng)格的網(wǎng)格間隔內(nèi)，這樣經(jīng)過M－2次分裂后，每一個待估計參收都位于不同的網(wǎng)格間隔中，最后網(wǎng)格數(shù)將變?yōu)?M－2。因此，網(wǎng)格總數(shù)門限設(shè)為N_max=2M－2，當(dāng)網(wǎng)格總數(shù)達到該門限N_max后，網(wǎng)格將不再分裂。注意，該設(shè)定只是一個下界，實際應(yīng)用中可以適當(dāng)增加網(wǎng)格總數(shù)來提高魯棒性。

條件 2 最小可分裂間隔準(zhǔn)則。由于網(wǎng)格總數(shù)已經(jīng)受到限制，如果某一個能量較大的網(wǎng)格點一直分裂下去，不僅會占用總網(wǎng)格數(shù)目，使得其他網(wǎng)格點的分裂機會減少，同時過于密集的網(wǎng)格點會導(dǎo)致稀疏重構(gòu)的精度下降。因此，還要加入最小可分裂間隔準(zhǔn)則：設(shè)置一個最小可分裂間隔r_min，當(dāng)?shù)趎個網(wǎng)格點θ～_n進行分裂時，離網(wǎng)誤差β_ngt;0且網(wǎng)格間隔r（n）gt;r_min，則在θ ～_n與θ～_n+1之間插入新網(wǎng)格點，若網(wǎng)格間隔r（n）lt;r_min，則θ～_n不分裂;同理，離網(wǎng)誤差β_nlt;0且網(wǎng)格間隔r（n－1）gt;r_min，則在θ ～_n－1與θ ～_n之間插入一個新網(wǎng)格點，若r（n－1）lt;r_min，則θ～_n不分裂?？梢?，r_min的物理意義是期望的分辨力，當(dāng)很小的網(wǎng)格間隔內(nèi)存在兩個甚至更多入射信號時，受到該準(zhǔn)則限制，無法插入網(wǎng)格點來將這些鄰近信號進一步區(qū)分開來。

3.3 超參數(shù)二次估計

上述步驟收斂后，超參數(shù)α中存在K個譜峰，譜峰所在的網(wǎng)格點角度對應(yīng)DOA預(yù)估計的結(jié)果為θ^₁，θ^₂，…，θ^_K。首先，進行噪聲方差的2次估計，這是因為準(zhǔn)確的噪聲方差可以提供更好的稀疏重構(gòu)效果^［17］。使用最大似然方法對噪聲方差進行估計，得到

式中：?_K=［a（θ^₁），a（θ^₂），…，a（θ^_K）］是近似的陣列流形矩陣;R_Y=YY^H/L是樣本協(xié)方差矩陣。

接下來，使用OGRSBL算法對網(wǎng)格點能量以及離網(wǎng)誤差進行二次求解。在前文中通過網(wǎng)格進化，獲得了不均勻網(wǎng)格?～=［?～₁，?～₂，…，?～_Nmax］，使用該網(wǎng)格建立信號的稀疏表示模型：

式中：A（?～）=［a（?～₁），a（?～₂），…，a（?～_Nmax）］。OGRSBL算法和OGSBI算法的區(qū)別在于采用求根方法直接計算并更改網(wǎng)格點角度，相當(dāng)于模型中離網(wǎng)誤差β=0。在網(wǎng)格點能量以及噪聲方差的迭代計算方面，兩種算法基本一致。首先，按照式（10）的方法，將預(yù)估計得到的各個網(wǎng)格點的超參數(shù)初始值α以及初始噪聲方差σ^²作為初始化的超參數(shù)建立分層先驗?zāi)Ｐ汀Ｈ缓?，代入式?5）計算后驗均值μ（t）（t=1，2，…，L）和后驗方差Σ，最后通過式（16）完成對超參數(shù)α₀，α的迭代更新。

接下來，更新存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格=點。忽略與?～無關(guān)的對數(shù)項，將最大化：

3.4 算法流程

通過網(wǎng)格進化、超參數(shù)二次估計以及使用OGRSBL技術(shù)進行DOA估計值的計算，本文提出快速高精度SBL算法，該算法流程總結(jié)如下：

算法 1 快速高精度SBL算法步驟 1 輸入：Y，網(wǎng)格間隔為180°/M－1的均勻網(wǎng)格點集θ～

步驟 2 初始化：α₀=1，α=∑^L_t=1A^H（θ～）Y|/L，c=d=1×10^－4，ρ=0.01，迭代次數(shù)iter1=0;計算離網(wǎng)誤差向量r，建立過完備陣列流形矩陣A（θ～）;

步驟 3 算法第1次迭代：

步驟 3.1 根據(jù)式（15）計算后驗均值μ（t）和后驗方差Σ;

步驟 3.2 根據(jù)式（16）更新超參數(shù)α₀，α;

步驟 3.3 尋找存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點，根據(jù)式（20）計算離網(wǎng)誤差β;

步驟 3.4 判斷網(wǎng)格點能否分裂，若滿足分裂條件，則根據(jù)第3.2節(jié)介紹的方法增加網(wǎng)格點，根據(jù)式（23）為分裂的網(wǎng)格點及新網(wǎng)格點賦予超參數(shù)，并更新此時的離網(wǎng)誤差向量r、網(wǎng)格數(shù)以及網(wǎng)格序號，若不滿足分裂條件，則跳轉(zhuǎn)至步驟3.5;步驟 3.5 iter1=iter1+1，若α^new－α^old₂/α^old₂gt;ε且iter1≤I_max，返回步驟3.1;

第1次迭代結(jié)束，輸出分裂后的網(wǎng)格點集?～，各網(wǎng)格點超參數(shù)α。

步驟 4 根據(jù)式（24）計算精確的噪聲誤差σ^²

步驟 5 初始化α₀=1/σ^²，c=d=1×10^－4，ρ=0.01，迭代次數(shù)iter2=0;通過網(wǎng)格點集?～建立過完備陣列流形矩陣A（?～）

步驟 6 算法第2次迭代：

步驟 6.1 根據(jù)式（15）計算后驗均值μ（t）和后驗方差Σ;

步驟 6.2 根據(jù)式（16）更新超參數(shù)α₀，α;

步驟 6.3 根據(jù)式（28）和式（29）計算網(wǎng)格點的更新值?～^new_i*，并判斷網(wǎng)格點集?～是否更新;

步驟 6.4 iter2=iter2+1，若α^new－α^old₂/α^old₂gt;ε且iter2≤I_max，返回步驟6.1;

步驟 7 輸出：網(wǎng)格點集?～以及對應(yīng)的α、μ和Σ

4 仿真分析

各算法的估計誤差使用均方根誤差RMSE=∑Ri=1∑Kk=1（θⁱ_k－θ^ⁱ_k）²/RK來表示，其中R表示蒙特卡羅實驗次數(shù)，本文中使用R=150;θⁱ_k和θ^ⁱ_k分別表示第i次實驗中第k個入射角的真實角度和估計角度。所有仿真使用陣元數(shù)M=10，陣元間距為半波長的均勻線陣，快拍數(shù)L=200，信源數(shù)K=2。對比算法為OGSBI^［18］、OGRSBL^［19］、perturbed SBL（PSBL）^［30］、grid evolution-OGSBI（GE-OGSBI）^［27］、網(wǎng)格插值-多快拍稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（grid interpolation-MBSL， GI-MSBL）^［28］，各種算法迭代門限統(tǒng)一設(shè)置為ε=1×10^－4，I_max=500。網(wǎng)格進化方法的初始網(wǎng)格采用一個網(wǎng)格間隔為20°的均勻網(wǎng)格［-90°，-70°，…，70°，90°］，最小可分裂間隔為r_min=1°。以復(fù)數(shù)乘法次數(shù)作為計算復(fù)雜度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，各算法的計算復(fù)雜度如表1所示，其中GI-MSBL的N表示第2次迭代采用的網(wǎng)格數(shù)，N₀表示計算離網(wǎng)誤差時搜索網(wǎng)格數(shù)。由于網(wǎng)格進化類方法在迭代初期網(wǎng)格數(shù)小于門限N_max，因此實際計算量要略小于表1中所給出的計算量。下面通過仿真實驗將從分辨能力、估計精度以及運算效率方面將本文所提算法與其他算法進行對比。

4.1 分辨能力對比

考慮兩個獨立等功率的窄帶信號緊鄰，分別從0°和（0+Δ）入射到陣列上，DOA間隔Δ_θ從1°增加到4°，每個Δ_θ下分別進行多次蒙特卡羅實驗。信噪比為5 dB，將本文所提算法與GE-OGSBI算法、使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法和GI-MSBL算法以及使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法進行對比，設(shè)θ₃=（θ₁+θ₂）/2，若空間譜譜值}lt;（P（θ₁）+P（θ₂））/2則成功分辨兩個信號。仿真結(jié)果如圖1所示。

根據(jù)前文的理論分析，本文所提算法期望的分辨力上限與使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法相同。仿真結(jié)果表明，本文算法的角度分辨能力顯著優(yōu)于使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法，也比使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法略高。由于本文算法對噪聲方差進行二次估計，獲得了更好的稀疏重構(gòu)效果，使得角度分辨能力優(yōu)于GE-OGSBI算法。與同樣進行二次估計的GI-MSBL算法相比，在DOA間隔較小的條件下分辨成功率更高。

4.2 不同信噪比下的性能對比

兩個獨立等功率的窄帶信號，入射角度為（－3+Δ）和（3+Δ），Δ為（-1，1）中的隨機數(shù)，使得實驗結(jié)果更具普遍性。每次蒙特卡羅實驗都重新選取。信噪比從-4 dB逐步增大到10 dB，將本文所提算法與GE-OGSBI算法、使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法和GI-MSBL算法、以及使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法進行對比。圖2（a）顯示了各算法的估計誤差隨信噪比的變化，圖2（b）顯示各算法的運行時間隨信噪比的變化。

通過對比可見，在估計精度方面，與其他算法相比，本文所提算法對超參數(shù)進行二次估計，改善了稀疏重構(gòu)效果，因此在不同信噪比下對緊鄰信號都具有優(yōu)秀的估計性能。在運算速度方面，采用網(wǎng)格進化的方法能夠顯著降低網(wǎng)格數(shù)，因此所提算法與GE-OGSBI算法的運算時間顯著小于使用1°網(wǎng)格的傳統(tǒng)SBL類算法，這些傳統(tǒng)SBL類算法采用更粗糙的網(wǎng)格（2°）能夠加快算法運算，但是估計精度會降低。本文所提算法與GE-OGSBI相比，雖然改進了可分裂網(wǎng)格點的選取，無需對大量活動網(wǎng)格點的能量進行計算，但需要對超參數(shù)進行二次估計增加計算量，總體計算量高于GE-OGSBI算法。本文所提算法的優(yōu)勢在于增加了較少的計算量換取估計精度的較大提高。與GI-MSBL算法相比，在信噪比較低時所提算法估計精度更高;由于GI-MSBL算法在二次估計時僅考慮目標(biāo)附近的幾個網(wǎng)格點的網(wǎng)格能量，參與迭代的網(wǎng)格點數(shù)進一步降低，獲得了更快的計算速度。

4.3 不同DOA間隔下的性能對比

考慮兩個獨立等功率的窄帶信號，入射角度分別為（3+Δ）和（3+Δ+θ），其中Δ同上文，DOA間隔Δ_θ從4°增加到8°，每個Δ_θ下分別進行多次蒙特卡羅實驗。固定信噪比為5 dB，非網(wǎng)格進化類算法使用1°網(wǎng)格間隔。圖3表示各算法估計誤差隨DOA間隔的變化。

從圖3中可以看出，本文所提算法對于不同DOA間隔下的緊鄰入射信號都有著優(yōu)秀的估計能力，尤其在DOA間隔較小時，估計性能的優(yōu)勢更加明顯，再次證明算法使用網(wǎng)格進化方法以及對超參數(shù)進行二次估計能夠顯著提高稀疏重構(gòu)的效果。

5 結(jié) 論

為了提高SBL類算法對于空間緊鄰信號的估計能力，本文使用網(wǎng)格進化的方法來完成入射信號附近的網(wǎng)格點細化，并對噪聲方差以及超參數(shù)進行二次估計，得到改進算法。仿真結(jié)果表明，本文提出的快速高精度SBL算法與采用1°網(wǎng)格的經(jīng)典SBL類算法相比，運算速度顯著提高，對空間緊鄰信號的估計誤差也更低，在不同信噪比下所提算法有更高的角度分辨成功率。與采用2°網(wǎng)格的經(jīng)典SBL類算法相比，運算速度仍舊有優(yōu)勢，估計誤差顯著降低并且分辨能力大幅提高。與GE-OGSBI算法相比，對超參數(shù)的二次估計增加了一定的計算量，但是對鄰近角度的估計精度和分辨能力都有較大的提高。與GI-MSBL算法相比，運算速度較慢，但是角度分辨成功率更高，同時在較低信噪比條件下的DOA估計能力更強。

參考文獻

［1］KRIM H， VIBERG M. Two decades of array signal processing research： the parametric approach［J］. IEEE Signal Processing Magazine， 1996， 13（4）： 67-94.

［2］SCHMIDT R. Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］. IEEE Trans.on Antennas amp; Propagation， 1986， 34（3）： 276-280.

［3］MALLAT S G， ZHANG Z. Matching pursuits with time-frequency dictionaries［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1993， 41（12）： 3397-3415.

［4］TROPP J A， GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2007， 53（12）： 4655-4666.

［5］NEEDELL D， VERSHYNIN R. Signal recovery from incomplete and inaccurate measurements via regularized orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing， 2010， 4（2）： 310-316.

［6］KARABULUT G Z， KURT T， YONGACOGLU A. Angle of arrival detection by matching pursuit algorithm［C］∥Proc.of the IEEE 60th Vehicular Technology Conference， 2004： 324-328.

［7］MALIOUTOV D， CETIN M， WILLSKY A S. A sparse signal reconstruction perspective for source localization with sensor arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2005， 53（8）： 3010-3022.

［8］LU H T， LONG X Z， LV J Y. A fast algorithm for recovery of jointly sparse vectors based on the alternating direction methods［C］∥Proc.of the 14th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2011， 15： 461-469.

［9］王庚， 李浩， 何翼， 等. 最優(yōu)冗余線陣欠定信號雙重構(gòu)DOA估計方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2023， 45（1）： 49-55.

WANG G， LI H， HE Y， et al. Underdetermined DOA estimation of optimal redundancy array via double reconstruction［J］. Systems Engineering and Electronics， 2023， 45（1）： 49-55.

［10］曹若石， 趙永波， 邱雨鋮. 基于改進SP算法的多目標(biāo)DOA估計方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2024， 46（7）： 2294-2300.

CAO R S， ZHAO Y B， QIU Y C， Multi-target DOA estimation method based on improved SP algorithm［J］. Systems Engineering and Electronics， 2024， 46（7）： 2294-2300.

［11］唐軍奎， 劉崢， 冉磊， 等. 基于稀疏和低秩先驗的雷達前視超分辨成像方法［J］. 雷達學(xué)報， 2023， 12（2）： 332-342.

TANG J K， LIU Z， RAN L， et al. Radar forward-looking super-resolution imaging method based on sparse and low-rank priors［J］. Journals of Radars， 2023， 12（2）： 332-342.

［12］TIPPING M E. Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine［J］. Journal of Machine Learning Research， 2001， 1（3）： 211-244.

［13］TIPPING M E， FAUL A C. Fast marginal likelihood maximisation for sparse bayesian models［C］∥Proc.of the 9th International Workshop on Artificial Intelligence amp; Statistics， 2003

［14］JI S， XUE Y， CARIN L. Bayesian compressive sensing［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2008， 56（6）： 2346-2356.

［15］JI S， DUNSON D， CARIN L. Multitask compressive sensing［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2009， 57（1）： 92-106.

［16］BABACAN S D， MOLINA R， KATSAGGELOS A K. Fast Bayesian compressive sensing using Laplace priors［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， 2009.

［17］LIU Z M， HUANG Z T， ZHOU Y Y. An efficient maximum likelihood method for direction-of-arrival estimation via sparse Bayesian learning［J］. IEEE Trans.on Wireless Communications， 2012， 11（10）： 1-11.

［18］YANG Z， XIE L H， ZHANG C S. Off-grid direction of arrival estimation using sparse Bayesian inference［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2013， 61（1）： 38-43.

［19］DAI J S， BAO X， XU W C， et al. Root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2016， 24（1）： 46-50.

［20］SHAO Y Y， MA H， LIU H W. A study and comparison of different sparse Bayesian learning algorithms in DOA estimation［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Information Communication and Signal Processing， 2022.

［21］YU D， WANG X， FANG W W， et al. DOA estimation based on root sparse Bayesian learning under gain and phase error［J］. Journal of Communications and Information Networks， 2022， 7（2）： 202-213.

［22］DAS A. Real-valued sparse Bayesian learning for off-grid direction-of-arrival （DOA） estimation in ocean acoustics［J］. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2021， 46（1）： 172-182.

［23］DAI J S， SO H C. Real-valued sparse Bayesian learning for DOA estimation with arbitrary linear arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing： a publication of the IEEE Signal Processing Society， 2021， 69（1）： 4977-4990.

［24］GUO L M， XIAO S Q， GUO M R. Off-grid sparse Bayesian learning algorithm for compressed sparse array［C］∥Proc.of the CIE International Conference on Radar， 2021.

［25］WANG Q S， YU H， LI J， et al. Sparse Bayesian learning using generalized double pareto prior for DOA estimation［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2021， 28： 1744-1748.

［26］FU H S， WANG Y Y， DAI F Z. Off-grid error calibration for single snapshot DOA estimation based on sparse Bayesian learning［C］∥Proc.of the 5th International Conference on Information Communication and Signal Processing， 2022.

［27］WANG Q， ZHAO Z， CHEN Z M， et al. Grid evolution method for DOA estimation［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2018， 66（9）： 2374-2383.

［28］王琦森， 余華， 李杰， 等. 基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的空間緊鄰信號DOA估計算法［J］. 電子與信息學(xué)報， 2021， 43（3）： 708-716.

WANG Q S， YU H， LI J， et al. Sparse Bayesian learning based algorithm for DOA estimation of closely spaced signals［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2021， 43（3）： 708-716.

［29］BRESLER Y， MACOVSKI A. On the number of signals resolvable by a uniform linear array［J］. IEEE Trans. Acoustic. Speech， Signal Processing， 2003， 34（6）： 1361-1375.

［30］WU X H， ZHU W P， YAN J. Direction of arrival estimation for off-grid signals based on sparse Bayesian learning［J］. IEEE Sensors Journal， 2016， 16（7）： 2004-2016.

作者簡介

劉魯濤（1977—），男，副教授，博士，主要研究方向為寬帶信號檢測與識別、陣列信號處理。

徐國珩（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為波達方向估計。

王 振（2003—），男，碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理。