多維陣列張量模型的魯棒波束成形方法

摘" 要：

傳統(tǒng)波束成形算法在應(yīng)對維數(shù)較高的多維陣列時，訓(xùn)練快拍數(shù)難以滿足遠大于信號維數(shù)這一要求，從而導(dǎo)致波束成形器性能急劇下降。針對這一問題，本文給出了多維陣列輸出數(shù)據(jù)的張量模型，基于多維陣列子維度的可分離性，引入張量波束成形方法，分析了其在訓(xùn)練快拍數(shù)需求上具有的優(yōu)勢。然后，基于張量波束成形中子維度干擾協(xié)方差矩陣的模型，通過直接估計干擾協(xié)方差矩陣實現(xiàn)了一種魯棒張量波束成形方法。分析表明：該方法可更好地應(yīng)對非均勻雜波環(huán)境以及相干干擾，并得到更高的輸出信干噪比，以給出的二維極化敏感陣列為例，所提方法的訓(xùn)練快拍數(shù)需求為傳統(tǒng)方法的1/3，相干干擾下輸出信干噪比提高了約2.5 dB，仿真驗證了分析的有效性。

關(guān)鍵詞：

魯棒波束成形; 張量波束成形; 多維陣列; 相干干擾

中圖分類號：

V 243.2

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.01

Robust beamforming method for multi-dimensional array tensor models

BI Quanyang， LI Dan*， ZHANG Jianqiu

（School of Information Science and Engineering， Fudan University， Shanghai 200433， China）

Abstract：

Traditional beamforming performance will significantly degrade with insufficient training samples on multi-dimensional arrays with much higher dimensions. In this paper， a tensor beamforming method that has advantages in the number of training snapshots required is introduced based on the proposed tensor model and the separability of sub-dimensions for multi-dimensional arrays. Then， for coherent interference， based on the model of the sub-dimension’s interference covariance matrix in tensor beamforming， a robust tensor beamforming method is proposed by directly estimating the interference covariance matrix. Analysis shows that the proposed method could overcome the non-homogeneous clutter environment and coherent interference and obtain a higher output signal-to-interference-noise ratio. Taking the given two-dimensional polarization-sensitive array as an example， the number of training snaps required by the proposed method is 1/3 of the traditional method， and the output signal-to-interference-to-noise ratio increases by about 2.5 dB under coherent interference scenario. The simulation results verify the effectiveness of the analysis.

Keywords：

robust beamforming; tensor beamforming; multi-dimensional array; coherent interference

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0" 引" 言

波束成形器是天線/傳感器陣列技術(shù)與數(shù)字信號處理技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物，其目的在于選擇性地傳輸或接收信號，即讓期望信號無失真地通過而盡可能地抑制干擾。它作為一種經(jīng)典而傳統(tǒng)的陣列處理技術(shù)，已廣泛應(yīng)用于通信、雷達、聲納、麥克風(fēng)陣列、醫(yī)學(xué)影像等多個領(lǐng)域［13］。其實現(xiàn)過程就是：對陣列中每一個陣元接收到的信號進行加權(quán)合成以獲得所需的期望信號。最小方差無失真響應(yīng)（minimum variance distortionless response， MVDR）算法，是目前應(yīng)用最為廣泛的波束成形算法之一。其可在固定目標接收信號方向響應(yīng)的基礎(chǔ)上，通過最小化陣列輸出響應(yīng)的功率來獲得自適應(yīng)波束成形器的權(quán)矢量。MVDR算法最大化了陣列輸出的信干噪比（signal-to-interference-plus-noise ratio， SINR）［45］。

在MVDR波束形成器的設(shè)計中，權(quán)矢量的設(shè)計需對干擾信號與噪聲協(xié)方差矩陣（interference-plus-noise covariance matrix， INCM）求逆，而INCM在實際應(yīng)用中一般是未知的，因此就必須根據(jù)陣列輸出數(shù)據(jù)對其進行估計。通常的方法是利用樣本協(xié)方差矩陣（sample covariance matrix， SCM），該方法也稱為樣本矩陣求逆（sample matrix inversion， SMI）法。在陣列應(yīng)用中，如均勻線性陣列（uniform linear array， ULA），其信號的維數(shù)低，陣列輸出的樣本數(shù)，即快拍數(shù)，可以遠遠大于信號的維數(shù)，因此基于SCM的MVDR算法性能良好。但隨著應(yīng)用需求的增加，陣列天線已發(fā)展出了各種結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，如多輸入多輸出（multiple input multiple output， MIMO）陣列、包含兩個維度的面陣和T型陣列、含有3個維度的立體型陣列、能夠感知信號極化的極化敏感天線陣列等。這些陣列天線結(jié)構(gòu)相對于ULA，包含了更多的維度，此時信號的維度也隨之增加。針對這種多維輸出的數(shù)據(jù)，通常的做法是將多維數(shù)據(jù)矢量化，即將各維度天線的輸出排列成一個長矢量數(shù)據(jù)。此時，由于信號的維數(shù)劇增，就導(dǎo)致樣本數(shù)難以滿足遠遠大于信號維數(shù)這一波束形成器設(shè)計的要求，尤其在非均勻雜波環(huán)境下，SCM的估計誤差會進一步增大。此外，當用于估計INCM的訓(xùn)練快拍中包含干擾信號時，干擾信號之間或者與期望信號之間不滿足獨立同分布的要求時以及陣列存在多種誤差時，均會導(dǎo)致SCM估計誤差的增加，就使得基于SCM設(shè)計的波束成形器性能急劇下降［68］。因此，研究者們提出了許多魯棒算法，例如子空間投影理論，不確定集約束，INCM重構(gòu)等［915］，這些魯棒算法提高了傳統(tǒng)MVDR算法的魯棒性，但也有其各自的局限性，例如子空間投影需要已知信源數(shù)，非確定集約束計算復(fù)雜度高等。

·" ·

同時，對于多維陣列，傳統(tǒng)波束成形方法的矢量化處理將多維陣列不同維度感知的信息完全混合在一起，不能充分表達和利用多維陣列中存在的結(jié)構(gòu)信息［1625］。在過去的幾年中，張量運算由于其固有的多維特性在多維信號處理領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注，隨著張量代數(shù)不斷完善和發(fā)展，張量分析方法具有的一些獨特優(yōu)勢，正被越來越多的研究者所發(fā)現(xiàn)。例如，張量理論越來越多地應(yīng)用于自適應(yīng)多維波束成形中：文獻［17］考慮到傳統(tǒng)時空自適應(yīng)處理（space time adaptive processing， STAP）算法對數(shù)據(jù)的矢量化，沒有充分利用多維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息;將文獻［16］中的張量波束成形器引入到了STAP之中，并提出了一種交替展開高階奇異值分解（alternative unfolding high order singular valve decomposition， AU-HOSVD）算法，提升了STAP算法的性能;文獻［21］基于張量正則多元分解（canonical polyadic decomposition， CPD）分解，在MVDR準則下，提出了一種新的波束形成器;利用張量表示的多維數(shù)據(jù)，文獻［22］提出了一種多維廣義旁瓣抵消器（generalized sidelobe canceller， GSC）的波束成形器，相對于傳統(tǒng)的GSC，它能實現(xiàn)更好的角度波束成形并降低計算復(fù)雜度。

一些研究者還利用張量理論，研究了多維平移不變性陣列的可分離性，然后基于子陣列級而不是全局陣列設(shè)計張量波束形成器。例如，文獻［23］在假設(shè)所設(shè)計的權(quán)張量具有張量外積形式的基礎(chǔ)上，基于最小均方誤差（minimum mean square error， MMSE）準則與張量分解提出的張量分解MMSE （tensor decomposition MMSE， TD-MMSE）波束成形器。文獻［24］在文獻［23］的基礎(chǔ)上，將MVDR準則應(yīng)用于TD-MMSE，提出了自適應(yīng)的TD-MVDR算法。文獻［25］則通過構(gòu)建多個虛擬陣列，對這些虛擬陣列分別進行波束成形設(shè)計，利用張量中的克羅內(nèi)克乘積（Kronecker product， KP）合并所得到的多個波束成形器，提出了克羅內(nèi)克乘積最小方差無失真響應(yīng)（KP-MVDR）算法。

而TD-MMSE/TD-MVDR以及KP-MVDR算法均需假設(shè)所設(shè)計的權(quán)張量具有張量外積形式，然后基于多維陣列具有的多維平移不變性，討論其子陣列的可分離性或是構(gòu)建虛擬陣列。不同于此，文獻［18］則在STAP背景下提出了張量子波束合成（tensor sub-beam synthesis， TSS）法，并證明了多維陣列張量波束成形器設(shè)計時，其子維度的可分離性，進一步完善并拓展了基于子維度或子陣列級設(shè)計波束成形器的理論基礎(chǔ)。與經(jīng)典的全局波束形成器相比，這些從張量理論出發(fā)，基于子陣列級或子維度級分別設(shè)計子波束成形器，然后合成多個子波束成形器的方法，在獲得性能提升的同時，也使得計算復(fù)雜度大大降低。

上述基于張量理論的波束成形方法，與傳統(tǒng)的MVDR算法相比，具有很好的性能優(yōu)勢，但其對INCM的估計與傳統(tǒng)的MVDR算法一樣，仍是基于SCM方法。因此，在實際應(yīng)用中，會由于各種誤差的存在導(dǎo)致模型適配，進而使得波束成形器性能下降。針對該局限性，本文將進一步完善在文獻［18］中提出的TSS法并基于此提出一種魯棒的張量波束合成法，以提高在實際應(yīng)用中的性能。首先，本文在給出的泛化多維陣列張量信號模型基礎(chǔ)上提出TSS法，進一步擴大TSS法的應(yīng)用范圍，同時給出TSS算法針對非均勻雜波環(huán)境時的魯棒性分析。其次，針對傳統(tǒng)SCM估計INCM方法存在的問題，通過對TSS算法中子維度干擾協(xié)方差矩陣的分析，直接對INCM進行估計，從而提出魯棒的TSS算法。

本文首先介紹了矢量MVDR算法，然后給出和分析了張量波束成形算法以及魯棒張量波束成形方法。接著給出了算法復(fù)雜度分析，最后給出了仿真實驗結(jié)果。

1" 矢量波束成形算法

給定一個天線陣元數(shù)為N的ULA，在一個觀測周期內(nèi)有K+1個入射信號，共有P個觀測快拍，對于第P∈{1，2，…，P}個快拍x（j）∈CN，其可描述［10］為

x（P）=s0（P）a（θ0）+∑Ki=1si（P）a（θi）+n（P）（1）

式中：a（θ）=［1，ej2πfs，…，ej2π（N－1）fs］T為信號的導(dǎo)向矢量;fs=dsin（θ）/λ為空間頻率，λ為信號波長，d為天線陣元間距，θ∈（－π，π）為入射信號的波達角;s0（P）為期望信號，{si（P）}Ki=1為干擾信號;n（P）∈CN為獨立、零均值且方差為δ2n的復(fù)高斯白噪聲，即cov（n（P））=δ2nIN，IN表示維度為N的單位陣，并假設(shè)其與信號si（P）在統(tǒng)計上相互獨立。

根據(jù)式（1）描述的x（P），干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣可表示為

Ci+n=E∑Ki=1sia（θi）+n∑Ki=1sia（θi）+nH=

∑Ki=1|si|2a（θi）aH（θi）+δ2nIN（2）

式中：E［·］代表期望運算;H表示共軛轉(zhuǎn)置。

設(shè)待設(shè)計波束成形器的權(quán)矢量為w∈CN，其在期望信號無失真通過的約束下，滿足輸出功率MVDR的設(shè)計準則［4］：

minw wHCi+nw

s.t. wHa（θ0）=1（3）

對于期望方向θ0，此時MVDR波束成形器的權(quán)矢量［4］為

wMVDR=C－1i+na（θ0）aH（θ0）C－1i+na（θ0）（4）

在應(yīng)用中，由于式（2）定義的INCM Ci+n一般是未知的，需要根據(jù)陣列輸出數(shù)據(jù)對其進行估計。如果估計得到的協(xié)方差矩陣為C^N，那么MVDR權(quán)矢量則可表示為

w^MVDR=C^－1Na（θ0）aH（θ0）C^－1Na（θ0）（5）

2" 張量波束合成法

2.1" 多維陣列信號的張量模型

為了使討論具有一般性，本文首先以一個構(gòu)想的泛化多維陣列為例，來描述其輸出數(shù)據(jù)的張量模型，即考慮一個維度為Z的多維陣列，該多維陣列可包含的維度有：空域的全部3個維度或部分維度（方位角或俯仰角）、矢量天線中三維電場和磁場的6個維度，或它們的部分維度，極化維和子陣列維等。假設(shè)在t時刻，該Z維陣列接收到了期待的目標信號和K個干擾信號，那么理想的陣列輸出數(shù)據(jù)就構(gòu)成了一個Z維的張量數(shù)據(jù)，本文稱之為張量快拍X（t）∈CI1×I2×…×IZ，如此其張量模型就可表示為

X（t）=S0s0（t）+∑Kk=1Sksk（t）+N（t）（6）

式中：si（t）（i=0，1，2，…，K）為目標信號和干擾信號的復(fù)幅度;S0∈CI1×I2×…×IZ為目標信號的導(dǎo)向張量;Sk（k=1，2，…，K）為第k個干擾信號的導(dǎo)向張量;N（t）表示噪聲張量，并假設(shè)其與信號s（t）統(tǒng)計獨立?？梢钥吹剑剑?）中的期望信號S0s0（t）是一個多維信號，張量波束成形器的目的就是設(shè)計某一權(quán)張量W∈CI1×I2×…×Iz，它可使期望張量信號無失真通過同時，盡可能地抑制式（6）中的干擾。

導(dǎo)向張量可直接描述多維陣列的多維結(jié)構(gòu)信息，其也可寫成多維陣列各子維度導(dǎo)向矢量的外積［17］：

S=s1s2…sZ（7）

式中：表示張量外積運算;si表示第i個子維度的導(dǎo)向矢量，在應(yīng)用中，可根據(jù)給定的陣列結(jié)構(gòu)，得到相應(yīng)的導(dǎo)向矢量，然后替換式（7）中的si。此外，若將多維陣列矢量化，則有a0=vec（S0），vec（）為依列將一個多維數(shù)組轉(zhuǎn)為矢量的運算符。

下面將以一個由Mx×My個電磁矢量傳感器構(gòu)成的均勻平面陣列作為例子來說明本文上述多維張量信號模型的應(yīng)用。設(shè)該陣列的矢量陣元分別沿x和y方向均勻分布，如圖1所示。

那么該陣列的一個快拍，就包含了3個維度，它們分別為極化維對應(yīng)的導(dǎo)向矢量sp（γ，η）、x方向的空間導(dǎo)向矢量sx（θ，）和y方向的空間導(dǎo)向矢量sy（θ，），它們可分別定義［26］為

sp（γ，η）=－sin cos θcos

cos cos θsin

0－sin θ

cos θcos sin

cos θsin -cos

-sin θ0

cos γ

sin γejη

sx（θ，）=［1，q1x，q2x，…，qMx－1x］T， qx=e－jπsin θcos

sy（θ，）=［1，q1y，q2y，…，qMy－1y］T， qy=e－jπsin θsin （8）

式中：γ∈［0，π/2］為極化輔助角;η∈［－π，π）為極化相位差異角;θ∈［0，π］表示俯仰角;∈［0，2π）表示方位角。此時，如果令式（7）中s1=sp（γ，η），s2=sx（θ，），s3=sy（θ，），那么再根據(jù)式（6），就可得極化敏感面陣信號的張量模型。

類似于協(xié)方差矩陣的估計，通過有限觀測樣本，協(xié)方差張量R^∈CI1×I2×…×IZ×I1×I2×…×IZ的估計［18］可寫為

R^=1P∑Pt=1X（t）X（t）*（9）

式中：*表示共軛運算。

2.2" TSS法

對于一個多維陣列，文獻［18］中推導(dǎo)證明了多維陣列子維度的可分離性，并基于此提出了一種利用TSS來設(shè)計張量波束成形器的方法，即設(shè)計權(quán)張量W的方法，其可以描述為

WTSS=w1w2…wZ

（10）

即，期待目標多維信號的波束成形器，可通過設(shè)計各子維度波束成形器的權(quán)矢量w1=（U10s01），w2=（U20s02），…，wZ=（UZ0s0Z），再通過外積運算而合成的方法進行設(shè)計，這就為多維波束成形器的設(shè)計提供了一個新方法。也就是說，所需設(shè)計的多維波束成形器，即張量波束成形器的權(quán)張量W，可先從式（6）定義的張量快拍X（t）的各子維度出發(fā)，分別設(shè)計各子維度對應(yīng)的子波束成形器{wi，i=1，2，…，Z}，然后再通過張量的外積運算，合成各子波束成形器，獲得權(quán)張量W，該波束成形方法稱為TSS法。

設(shè)計第i個子維度的最優(yōu)權(quán)矢量wi［18］：

wi=C－1is0isH0iC－1is0i（11）

式中：Ci=E［［X（t）］i［X（t）］Hi］為i維度信號的協(xié)方差矩陣，而［X］i表示將張量X 沿子維度i展開的一個矩陣?？墒窃趹?yīng)用中，它一般是不可知的，但通常可利用P個快拍近似得到它的估計C" ^i［18］：

C^i=1P∑Pt=1［X（t）］i［X（t）］Hi（12）

就本文考慮的極化敏感面陣而言，也就是可根據(jù)式（11）分別設(shè)計極化維，以及x和y方向空域維的子波束權(quán)矢量，再通過式（10）的外積運算，合成設(shè)計出張量波束成形器所需的權(quán)張量：

WTSS=wpwxwy（13）

文獻［18］從平滑去相關(guān)的角度，分析了TSS法相對于傳統(tǒng)矢量MVDR在應(yīng)對相干干擾信號時所具有的魯棒性，本文則將從應(yīng)對非均勻雜波干擾的角度，繼續(xù)對TSS算法的魯棒特性進行分析。

對于式（5）的矢量波束成形器，其歸一化輸出功率［27］可表示為

ρ（w^MVDR）=1σ2sH（θ1）C^－1NCi+nC^－1Ns（θ1）（sH（θ1）C^－1Ns（θ1））2（14）

觀察式（14）可發(fā)現(xiàn)：當且僅當C^－1N=C－1i+n時，式（14）才能取得最小值ρmin=ρ（wMVDR），即達到理想MVDR波束成形器的性能。否則，ρ（w^MVDR）將會變大，這也就反映了由于非理想的協(xié)方差可能導(dǎo)致的性能損失。

文獻［27］的分析表明：非理想?yún)f(xié)方差的估計誤差造成的性能損失會更加嚴重，一般而言，傳統(tǒng)矢量波束成形器協(xié)方差矩陣的估計均為SCM，其可表示為

C^SCM=1P∑Pj=1［x（j）］［x（j）］H（15）

將式（15）代入式（5）中，即得到了基于樣本采樣協(xié)方差矩陣估計的MVDR實現(xiàn)w^SCM。文獻［21］的分析表明：當用于估計C^SCM的快拍數(shù)P與信號維數(shù)N相近時，基于SCM的波束成形器的輸出功率將顯著大于理論最小值ρmin，即波束成形器的性能將顯著下降，其滿足如下關(guān)系：當N，P→∞ 且c=N/P∈（0，1），

則

ρ（w^SCM）ρmin=11－c （16）

式（16）表明，即使訓(xùn)練快拍數(shù)量是信號維數(shù)的兩倍（且兩者都足夠大），也會導(dǎo)致所得到的波束成形器的總輸出功率損失3 dB。此外，當訓(xùn)練樣本數(shù)P接近N時，損失甚至可以變得無限大

根據(jù)式（16）的描述，當c=N/P趨向于0時，MVDR的歸一化輸出功率將達到ρmin，那么對于式（14）描述的多維陣列信號而言，當用于估計SCM的樣本數(shù)P遠大于信號維數(shù)N=I1×I2×…×IZ時，傳統(tǒng)的矢量MVDR才會達到最優(yōu)性能。

對式（10）定義的TSS而言，當構(gòu)建權(quán)張量的各子維度權(quán)矢量{wi，i=1，2，…，Z}都達到最優(yōu)解時，TSS將達到最優(yōu)性能。而據(jù)式（11）和式（16）知：當估計子維度協(xié)方差矩陣R^i的樣本數(shù)P遠遠大于子維度i的維數(shù)Ii時，wi將趨近于最優(yōu)性能。這是因為就子維度Ii而言，原多維信號的其余信號維度經(jīng)模n展開后，將并入到回波信號中，這將使子維度中信號的維數(shù)大大降低，且各子維度在設(shè)計各子波束成形器時，都容易滿足樣本數(shù)P遠遠大于信號維數(shù)的這一要求，即對TSS而言，當樣本數(shù)P遠遠大于{Ii}Zi=1中的最大值時，其就可達到漸近的最優(yōu)性能。

上述分析表明：MVDR要達到最優(yōu)性能的條件比TSS法更加嚴苛。這就使得在相同樣本數(shù)的條件下，或者說是非均勻環(huán)境下，TSS波束成形器將具有更優(yōu)的性能。

2.3" 魯棒TSS法

在應(yīng)用中，INCM通常是不可知的，需利用有限快拍進行估計，即SCM估計，如式（12）和式（15）所示，SCM估計方法除了第2.2節(jié)分析的快拍數(shù)不足或非均勻環(huán)境導(dǎo)致的性能下降外，還會由于各種非理想因素的存在導(dǎo)致模型適配，使得波束成形器性能下降，進而導(dǎo)致基于SCM估計的算法性能明顯下降。具體分析如下：假設(shè)一個ULA接收的信源，包含一個目標信號以及一個干擾信號，且其導(dǎo)向矢量分別為a0和a1，則第t個快拍可表示為

x（t）=s0（t）a0+s1（t）a1+n（t）（17）

那么，根據(jù)式（15），其協(xié)方差矩陣可表示為

C^=1P∑Pt=1［x（t）］［x（t）］H=C^s+C^i+n+C^cross（18）

其中

C^s=1P∑Pt=1s20（t）a0aH0

C^i+n=1P∑Pt=1s21（t）a1aH1+δ2nI

C^cross=1P∑Pt=1s0（t）sH1（t）a0aH1（19）

由式（19）可知，SCM估計得到的協(xié)方差矩陣由3部分構(gòu)成，分別為目標信號協(xié)方差矩陣C^s，干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣C^i+n，以及目標信號與干擾信號的互協(xié)方差矩陣C^cross，而根據(jù)式（4）定義的最優(yōu)MVDR波束成形器，協(xié)方差矩陣應(yīng)當僅包含C^i+n部分。那么，為了獲得最優(yōu)性能，第一種方法是移除包含目標信號的C^s和C^cross;第二種方法則是根據(jù)式（19）中定義的C^i+n，對其直接進行估計?？紤]第一種方法，對于C^s，可利用目標信號的先驗信息直接移除。而對于C^cross，若目標信號與干擾信號之間不相關(guān)，C^cross將隨著快拍數(shù)P的增加而趨向于0。當目標信號與干擾信號之間出現(xiàn)相干時，即使快拍數(shù)無限多，基于SCM也無法移除C^cross。顯然，第2.2節(jié)給出的基于式（12）的TSS法也存在上述魯棒問題，為了盡可能降低C^s和C^cross對算法性能的影響，本文期望對C^i+n直接進行估計。

為了對C^i+n進行估計，首先需要對子維度信號協(xié)方差矩陣的數(shù)學(xué)形式進行推導(dǎo)，考慮第t個快拍，對第t維度經(jīng)模n展開后可表示為

［X（t）］i=∑Kk=0［Sk］isk（t）+［N（t）］i=

∑Kk=0siksHSksk（t）+［N（t）］i（20）

式中：集合S={1，2，…，i－1，i+1，…，Z}，即為除i維度外其他維度的下標集合，根據(jù)式（7），則sHSk=sZks（Z－1）k…s（i+1）ks（i－1）k…s1k是一個維度為D=∏s∈SIs的行矢量?？紤]將sHSksk（t）視為經(jīng)模n展開后新的源信號gSk（t），即gSk（t）=［s1k（t），s2k（t），…，sDk（t）］包含D個源信號，則經(jīng)模n展開后的［X（t）］i可視為D個快拍，即

［X（t）］i=∑Kk=0sikgSk（t）+［N（t）］i=

［xi1（t），xi2（t），…，xiD（t）］∈CIi×D

xid（t）=∑Kk=0siksdk（t）+nid（21）

觀察式（21）可知，［X（t）］i經(jīng)模n展開后可得到D個快拍，但這D個快拍在i維度上包含的信息是相同的，均為sik，而其他維度的信息則并入到了源信號之中，即原來的源信號s（t）變成了gSk（t），這一過程稱為去相關(guān)［18］，或稱為平滑。根據(jù)式（21）、式（12）和式（19），可知待估計的i維度INCM可表示為

Ci=1D∑Dd=1∑Kk=1σ2dksiksHik+σ2niIIi（22）

式中：σ2dk=E{sdk（t）sHdk（t）}。接下來，考慮利用訓(xùn)練快拍估計出所有干擾信號的波達角（direction of arrival， DOA）位置以及對應(yīng)的功率，進而得到INCM，對于式（22）描述的協(xié)方差矩陣，其估計可表示為

C～i=∑Kk=1σ^2ks^iks^Hik+σ^2niIIi（23）

觀察式（23），待估計量為干擾信號的功率σ^2k以及對應(yīng)的導(dǎo)向矢量s^ik和噪聲功率σ^2ni。文獻［14］提出導(dǎo)向矢量s^ik可通過譜峰搜索獲得，本文以Capon譜為例，其定義為

PCapon（θ）=1sHi（θ）C^－1isi（θ）（24）

通過式（24）描述的Capon譜，根據(jù)譜峰位置對應(yīng)的θ即可得到待估計量s^ik，需要特別指出的是，用式（12）估計得到的協(xié)方差矩陣C^i來計算Capon譜，對相干干擾信號具有魯棒性，即出現(xiàn)相干干擾時，矩陣C^i不會出現(xiàn)虧秩問題，這有效避免了Capon譜在相干干擾下給出偽峰或干擾信號漏估計的問題，這點相對于傳統(tǒng)矢量SCM估計方法具有很大的優(yōu)勢，這也是TSS與傳統(tǒng)Capon譜結(jié)合帶來的優(yōu)勢之一。而TSS法的解相干原理，本文在式（21）中，從模n展開給出了簡單分析，文獻［18］則從協(xié)方差C^i的推導(dǎo)展開了詳細的分析，本文不再贅述。

關(guān)于估計干擾信號功率σ^2k，文獻［15］提出，干擾信號的功率σ^2k可通過對協(xié)方差矩陣C^i做奇異值分解近似獲得，假設(shè)λ1≥λ2…≥λK≥λK+1=λK+2…=λIi為C^i從大到小依次排列的特征值，則σ^2k（t）以及σ^2ni可表示為

σ^2k=λkIi，" k=1，2，…，K

σ^2ni=λIi（25）

針對式（25）中給出的σ^2k，文獻［15］指出，干擾信號功率的欠估計會導(dǎo)致波束成形器性能的顯著下降，即無法有效抑制干擾信號，而干擾信號功率的過估計則可以有效提升干擾抑制性能。基于此，文獻［15］給出的σ^2k估計為

σ^2k=λ1Ii（26）

即所有干擾信號的功率均通過最大特征值來進行估計，文獻［15］從輸出信雜比角度詳細分析了干擾信號功率的過估計所帶來的好處，但其并未對干擾信號功率過估計的局限性作出具體分析，即干擾信號功率的過高估計會使得噪聲抑制能力下降，下面本文對此做出具體分析。

波束成形器w的輸出信噪比［9］（signal to noise ratio， SNR）可表示為

SNR=δ21|wHa1|2wHCnw（27）

式中：δ21為期望信號的功率。噪聲協(xié)方差矩陣Cn=δ2nI，并將式（4）代入式（27）中，輸出SNR可表示為

SNR=δ21δ2n·（aH1C－1i+na1）2aH1C－1i+nC－1i+na1（28）

為了便于分析，考慮一個干擾信號，那么式（2）中估計協(xié)方差矩陣的逆可表示為

C－1i+n=1δ^2nI－δ^2iδ^2n（δ^2n+Nδ^2i）aiaHi=

V－QaiaHi（29）

式中：V=1/δ^2n=Q（N+δ^2n/δ^2i）， 將式（29）代入式（28），簡化可得

SNR=δ21δ2n·（VN－QL2）2NV2－2VQL2+NQ2L2（30）

式中：L=a1aHi，且滿足LN。通過分析可得，式（30）是一個隨δ^2n/δ^2i單調(diào)遞增的函數(shù)，因此對干擾信號功率的過高估計會降低輸出SNR，使得噪聲抑制能力下降。那么，為了補償對噪聲的抑制能力，引入對角加載算法，通過增加δ^2n以提高輸出SNR，進一步提高波束成形器的性能，則噪聲功率σ^2ni的估計可表示為

σ^2ni=λIi+Δni（31）

式中：Δni為對角加載因子。本文采用文獻［28］的加載因子選擇方法，即Δni=Std（diag（C^i）），其中Std表示標準差，diag表示一個矩陣的對角元素。

綜上所述，待估計的i維度干擾信號協(xié)方差矩陣可表示為

C～i=λ1Ii·∑Kk=1s^i（θk）s^Hi（θk）+（λIi+Δni）IIi（32）

將式（32）代入式（11）即可獲得子維度wi，最后通過式（10）得到權(quán)張量W，具體算法流程如下。

步驟 1" 根據(jù)式（12）計算各子維度的INCM；

步驟 2" 根據(jù)式（24）進行譜峰搜索；

步驟 3" 根據(jù)式（26）和式（32）重構(gòu)INCM；

步驟 4" 將重構(gòu)的INCM代入式（11）獲得子維度權(quán)矢量wi；

步驟 5" 依據(jù)式（10）計算得到權(quán)張量W。

3" 算法復(fù)雜度分析

本節(jié)將對本文方法、文獻［15］以及文獻［17］所提算法的計算復(fù)雜度進行分析比較。以第2.1節(jié)描述極化敏感陣列為例，本文方法的計算代價主要為計算Capon譜和特征值分解O（M3x+M3y），計算Capon譜過程計算代價主要為矩陣求逆，因此其復(fù)雜度為O（M3x+M3y），那么本文方法的計算復(fù)雜度可近似表示為O（2（M3x+M3y））。文獻［15］中的INCM重構(gòu)算法計算復(fù)雜度約為O（2（MxMy）3）。而文獻［17］中基于張量AU-HOSVD的MVDR算法，其計算復(fù)雜度約為O（MyM3x+MxM3y）。綜上所述，本文方法計算復(fù)雜度顯著低于文獻［15］的INCM重構(gòu)算法， 同時也比文獻［17］的方法效率高。

4" 仿真實驗

本節(jié)將通過仿真實驗來對比本文方法、文獻［15］的INCM重構(gòu)算法、文獻［17］和文獻［18］的張量波束成形算法，以及傳統(tǒng)長矢量MVDR算法的性能。主要分為3部分：第1部分是在不考慮誤差，期望信號與干擾信號不相干的條件下對比不同算法的性能;第2部分則考慮期望信號與干擾信號相干的條件下，驗證各算法的性能;第3部分為同時考慮相干干擾和隨機的陣列視向誤差情況下，各算法性能的對比。

本文仿真實驗條件如下：考慮圖1所示的電磁矢量均勻平面陣列，分別沿x軸均勻分布6個陣元，沿y軸均勻分布8個陣元，x軸與y軸交點為共用的參考陣元，陣元間距為1/2波長，此時該陣列的輸出快拍包含3個維度：電磁矢量傳感器具有的極化維以及陣元維的兩個空間維，分別用1、2和3表示這3個維度，則3個維度的維數(shù)分別為I1=6，I2=6，I3=8。給定的期望信源為ej2πφ1（t），干擾源為ej2πφ2（t），相位φ1（t）與φ2（t）是［0，2π］內(nèi)的隨機值，期望信號與干擾信號的方位角均為40°，極化參數(shù)相同，俯仰角不同，期望信號的俯仰角為40°，干擾信號的俯仰角為-45°，SNR與干噪比（interference to noise ratio， INR）一致，除SNR變化的實驗外，均為20 dB，除快拍數(shù)變化的實驗外，快拍數(shù)固定為500。

首先，為了驗證第2.2節(jié)的分析結(jié)果，圖2給出了傳統(tǒng)矢量MVDR算法和本文波束成形器的輸出功率對比結(jié)果。如圖2所示，基于采樣實現(xiàn)的矢量MVDR算法的歸一化輸出功率ρ會隨著參數(shù)c=N/P的減小而顯著降低，與式（16）給出的結(jié)果相符，這也驗證了當樣本數(shù)難以滿足遠遠大于信號維數(shù)的要求時，矢量MVDR無法達到理想的最小化陣列輸出功率，從而導(dǎo)致性能嚴重下降。而隨著快拍數(shù)的增加，矢量MVDR的性能得到提高。本文方法對快拍數(shù)的要求顯著低于矢量MVDR的要求，其在圖2中的表現(xiàn)是：較低快拍數(shù)下也可達到比較理想的性能，這也驗證了第2.2節(jié)分析得到的結(jié)論，即矢量MVDR要達到最優(yōu)性能的條件比本文提出的TSS法要更加嚴苛，在相同樣本數(shù)下，TSS法具有更優(yōu)的性能。

圖3給出了在不考慮陣列誤差時，信號非相干條件（即φ1（t）≠φ2（t））下各算法的輸出SINR與SNR的關(guān)系，可以看出，在SNR較低時（小于0 dB），除文獻［17］方法外，其余算法性能相似，這是因為文獻［17］方法是子空間投影，而SNR較低時，噪聲子空間與信號子空間可區(qū)分度較差，導(dǎo)致了其性能變差。而當SNR大于0 dB小于15 dB時，本文方法與文獻［15］均優(yōu)于文獻［17］與文獻［18］的張量方法，說明通過INCM重構(gòu)可有效增加對干擾信號的抑制能力，獲得更好的輸出SINR。同時，本文通過引入對角加載算法，進一步提高對噪聲的抑制能力，使得本文方法的輸出SINR優(yōu)于文獻［15］方法。隨著SNR的進一步增加，除傳統(tǒng)長矢量MVDR外，其余算法的輸出SINR趨向收斂于一個值，說明各算法的最優(yōu)性能相似，在理想高SNR條件下，均遠遠優(yōu)于傳統(tǒng)的MVDR算法。

圖4給出了理想條件下，各算法的輸出SINR與快拍數(shù)的關(guān)系。可以看出，本文方法、文獻［17］和文獻［18］方法收斂最快，50快拍即可收斂。而基于長矢量SCM估計的文獻［15］和MVDR方法，在150個快拍時，其輸出SINR收斂，這說明在非均勻雜波環(huán)境下，本文方法、文獻［17］和文獻［18］方法具有更優(yōu)的性能，進一步驗證了第2.2節(jié)分析得到的結(jié)論，從子維度出發(fā)的本文方法和文獻［17］方法，在設(shè)計各子波束成形器時，所需要的訓(xùn)練快拍數(shù)低于傳統(tǒng)的矢量方法。

圖5給出了干擾信號與期望信號相干時（即φ1（t）=aφ2（t）， a為常數(shù)）各算法的輸出SINR與SNR的關(guān)系。可以看出，文獻［15］方法與長矢量MVDR性能相較于圖3，均出現(xiàn)了性能下降，因為期望信號與干擾信號相干時，傳統(tǒng)SCM估計得到的SCM中包含期望信號成分，這導(dǎo)致了基于MVDR設(shè)計的波束成形器在干擾方向和期望方向的增益相似，無法在接收期望信號的同時，有效抑制干擾信號，使得性能嚴重下降。而對于文獻［15］方法，SCM中包含期望信號成分則會導(dǎo)致Capon譜估計誤差較大，無法準確地重構(gòu)干擾協(xié)方差，導(dǎo)致性能嚴重下降。而本文方法、文獻［17］和文獻［18］方法，性能與非相干干擾情況下基本相同，這是因為根據(jù)式（18），設(shè)計各子波束成形器時，通過模n展開將其他維度的信息并入源信號中，實現(xiàn)了去相關(guān)。而文獻［17］則是通過對協(xié)方差張量的模n展開實現(xiàn)了去相關(guān)，因此本文方法、文獻［17］和文獻［18］方法對于相干干擾具有很好的魯棒性。

圖6給出了干擾信號與期望信號相干時各算法的輸出SINR與快拍數(shù)的關(guān)系圖。相干干擾對各算法的收斂速度沒有明顯影響，本文方法在低快拍數(shù)下，依舊有著最高的輸出SINR。而在足夠訓(xùn)練快拍下，本文方法、文獻［17］和文獻［18］方法相比非相干干擾沒有明顯性能下降，再次驗證了這些方法對于相干干擾具有很好的魯棒性。而文獻［15］則因為不能在相干干擾下準確地重構(gòu)干擾協(xié)方差，導(dǎo)致性能嚴重下降。同時，長矢量MVDR在相干干擾下，最優(yōu)性能也有所下降。

為了進一步驗證各算法的魯棒性，除了干擾信號與期望信號相干外，假設(shè)陣列存在隨機的視向誤差，即待估計信號與干擾信號產(chǎn)生隨機的DOA失配，本文假設(shè)其方位角和俯仰角失配誤差范圍為4°，即期望信號的方位角與俯仰角以及干擾信號的方位角均勻分布于［36°， 44°］之間，干擾信號的俯仰角則均勻分布于［－41°， 49°］之間。

圖7給出了同時考慮相干干擾和隨機陣列視向誤差時，各算法輸出SINR與SNR的關(guān)系，可以看出，相比較圖5的結(jié)果， 本文方法和文獻［15］方法沒有出現(xiàn)明顯性能下降。這得益于協(xié)方差重構(gòu)中，基于Capon譜對真實DOA的重估計，因此其對于DOA失配具有魯棒性，而文獻［17］方法相較于圖5也沒有出現(xiàn)性能下降，這是因為其利用了各子維度信號數(shù)的先驗信息，能較準確地估計信號子空間，通過子空間投影實現(xiàn)了對于DOA失配的魯棒性。而基于SCM估計的文獻［18］與長矢量MVDR方法，由于DOA失配導(dǎo)致SCM估計誤差變大，相較于圖5性能嚴重下降。綜上，本文提出方法在相干干擾和隨機陣列視向誤差下依然具有最優(yōu)性能。圖8則比較了相干干擾和隨機陣列視向誤差下，各算法輸出SINR與快拍數(shù)的關(guān)系。如圖8所示，本文方法的輸出SINR最高，僅有利用了各子維度信號數(shù)先驗信息的文獻［17］方法與本文方法性能相近，而擁有相近收斂速度的文獻［18］方法由于DOA失配，導(dǎo)致最終收斂的性能較差。

5" 結(jié)" 論

本文在給出多維陣列信號張量模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的魯棒張量波束成形方法。通過分析，所提方法有以下優(yōu)勢：

（1） 本文在給出的泛化多維陣列張量信號模型的基礎(chǔ)上，引入張量波束成形器設(shè)計方法，利用多維陣列子維度的可分離性，通過不同的張量展開分層進行子波束成形器的設(shè)計，實現(xiàn)了維度的降低，進而有效降低了算法對訓(xùn)練快拍數(shù)的需求，也有效降低了其魯棒算法的計算復(fù)雜度。

（2） 本文方法在給出的子維度干擾協(xié)方差矩陣的模型基礎(chǔ)上，直接對其進行估計，避免了傳統(tǒng)SCM估計INCM存在的局限性，實現(xiàn)了對相干干擾信號的魯棒。

（3） 通過在協(xié)方差估計中引入對角加載算法，提高對噪聲的抑制能力，進一步提升了算法的魯棒性能。

最后以二維極化敏感陣列為例，仿真驗證了上述結(jié)論。

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作者簡介

畢權(quán)楊（1995—），男，博士研究生，主要研究方向為信號處理。

李" 旦（1982—），男，副教授，博士，主要研究方向為信號處理及其應(yīng)用。

張建秋（1962—），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為信號處理及其應(yīng)用。