基于合并碼本的碼字位置序號調(diào)制SCMA方案

摘" 要：

為滿足后5G及未來6G時代對通信系統(tǒng)可靠性及頻譜效率（spectral efficiency， SE）的嚴苛要求，針對上行稀疏碼多址接入（sparse code multiple access， SCMA）系統(tǒng)，提出了一種基于合并碼本的碼字位置序號調(diào)制SCMA方案。該方案在時域拓展碼字位置，使得碼字位置全填充且由其序號攜帶額外信息比特，并能通過改變碼字位置數(shù)和序號調(diào)制階數(shù)靈活調(diào)整系統(tǒng)的譜效。此外，設計了基于消息傳遞算法（message passing algorithm， MPA）的聯(lián)合檢測算法，并給出了合并碼本設計準則。系統(tǒng)分析及仿真結果表明，相較于其他序號調(diào)制方案，所提方案更好地兼顧了可靠性與SE，在誤比特率（bit error rate， BER）性能與魯棒性方面都有優(yōu)勢。

關鍵詞：

稀疏碼多址接入; 頻譜效率; 碼字位置; 序號調(diào)制; 合并碼本

中圖分類號：

TN 929.5

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.32

Merging codebook based codeword position index modulation scheme for SCMA

YANG Yanbing， LEI Jing*， LAI Ke

（College of Electronic Science and Technology， National University of

Defense Technology， Changsha 410073， China）

Abstract：

To meet the rigorous demands for reliability and spectral efficiency （SE） in the beyond-5th generation mobile network （5G） and the upcoming 6th generation mobile network （6G）， a merging codebook based codeword position index modulation scheme for sparse code multiple access （SCMA） is proposed for the uplink SCMA. The scheme expands the codeword position in the time domain， allowing the codeword positions to be fully populated and carry additional information bits by their index， and provides flexibility in adjusting the system SE by changing the codeword position number and the index modulation order. Furthermore， a corresponding joint detection algorithm based on message passing algorithm （MPA） is designed and the design criteria of the merging codebook are given. System analysis and simulation results show that compared with other index modulation schemes， the proposed scheme better balances reliability and SE， and also has advantages in bit error rate （BER） performance and robustness.

Keywords：

sparse code multiple access （SCMA）; spectral efficiency （SE）; codeword position; index modulation; merging codebook

0" 引" 言

未來移動無線通信網(wǎng)絡在大規(guī)模連接、高精度和低時延等方面提出了更為嚴苛的要求，一方面需要通信系統(tǒng)支持更多終端設備的接入，實現(xiàn)大規(guī)模機器類通信（massive machine type communication， mMTC）;另一方面要求系統(tǒng)具有更高的數(shù)據(jù)傳輸率，滿足實時性需求。在mMTC中，海量機器類節(jié)點的接入正在擴大并創(chuàng)造新的數(shù)據(jù)流量需求，如高清視頻、環(huán)境檢測等，引發(fā)了基站（base station， BS）等網(wǎng)絡基礎設施的不斷擴展，加之頻譜資源的日益緊張，要求通信系統(tǒng)具備更高的頻譜效率（spectral efficiency， SE）［13］。

空間調(diào)制（spatial modulation， SM）技術最早應用于多輸入多輸出（multiple input multiple output， MIMO）系統(tǒng)，通過被激活天線的位置索引傳遞部分用戶信息［4］。將這一思想引入正交頻分復用（orthogonal frequency division multiplexing， OFDM）系統(tǒng)，演進出基于索引調(diào)制的OFDM（OFDM with index modulation， OFDM-IM）［5］。在OFDM-IM中，兩個或多個子載波的狀態(tài)用于傳遞信息，并且可通過調(diào)整活動子載波的數(shù)量來平衡系統(tǒng)可靠性與SE［6］。

另一方面，非正交多址接入（non-orthogonal multiple access， NOMA）作為一類具有高用戶容量潛力的空口技術得到了廣泛研究［7］。其中，稀疏碼多址接入（sparse code multiple access， SCMA）［8］作為一種碼域NOMA（code domain NOMA， CD-NOMA）技術，由于其碼字的稀疏性質(zhì)，在傳輸過程中符號間的沖突可控，故接收端能利用近似最優(yōu)的消息傳遞算法（message passing algorithm，MPA）恢復出各用戶信號。通常，調(diào)整SCMA的SE有兩種方法，即改變SCMA碼本的多維星座點數(shù)M或過載因子λ。然而，增大M來獲得更高的SE將導致SCMA系統(tǒng)的誤比特率（bit error rate，BER）性能惡化，且SE隨M的增加而跳變，導致系統(tǒng)在不同應用場景下的泛化性較差。而提升過載因子λ，SCMA系統(tǒng)的指示矩陣將隨之改變，這種結構性變化在實際應用中是不可接受的。

基于SM及IM技術靈活配置的優(yōu)勢，越來越多的工作將其應用于多址接入方案中［913］。文獻［14］首次提出了SM-SCMA，文獻［15］和文獻［16］分別針對SM-SCMA提出了低復雜度檢測算法和碼本設計方案，文獻［17］及文獻［18］進一步研究了SM-SCMA的增強方案，但此類方法需要為用戶配備多天線，增加了用戶設備的功耗。此外，文獻［19］提出了基于OFDM-IM的SCMA方案，星座差異與分集由SCMA碼本實現(xiàn)，碼本的使用則被轉移到索引域，但該方案只能通過增大碼本尺寸來增加索引域攜帶的比特數(shù)，SE提升效果不佳且系統(tǒng)靈活度較差。

為獲得更高的SE及提高系統(tǒng)部署的靈活性，文獻［20］提出了基于碼字位置序號的SCMA（codeword position index based SCMA， CPI-SCMA），該方案將IM引入時域，經(jīng)序號調(diào)制的CPI-SCMA碼字具有雙重稀疏性，因此其在達到更高SE的同時保證了BER性能。文獻［21］進一步提出了基于混合序號調(diào)制的CPI-SCMA（hybrid CPI-SCMA，HCPI-SCMA），通過多階序號調(diào)制提高了系統(tǒng)的設計靈活性與SE。

然而，CPI-SCMA的設計靈活度不高，而HCPI-SCMA在中低信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）區(qū)域的BER性能損失明顯，無法很好地達到可靠性與SE的折中。此外，二者均未能達到碼字位置的全填充，需要在空置碼字位置上填充全零碼字，一方面沒有完全利用物理資源;另一方面，解調(diào)時零點將作為新的星座點與原始碼本中的星座點共同構成搜索空間，導致了檢測復雜度的增加且無法完全獲得原SCMA碼本的性能。

基于上述問題，本文針對上行SCMA系統(tǒng)，在CPI-SCMA框架下提出了一種基于合并碼本的CPI-SCMA（merging codebook CPI-SCMA，MC-CPI-SCMA）。首先，在發(fā)射端利用合并碼本對信息比特進行R階序號調(diào)制，實現(xiàn)了碼字位置的全填充。其次，為保證方案的可行性，設計了基于MPA的碼字域和序號域聯(lián)合檢測算法，并基于最大化最小乘積距離（minimum product distance，MPD）給出了合并碼本設計準則。然后，詳細分析了序號調(diào)制階數(shù)、碼字位置數(shù)對系統(tǒng)SE的影響，為指定SE下MC-CPI-SCMA的系統(tǒng)設計提供了指導，并通過計算系統(tǒng)的成對差錯概率（pairwise error probability，PEP）推導了具有最大似然檢測器（maximum likelihood detector，MLD）的MC-CPI-SCMA的平均誤符號率（average symbol error probability，ASEP）上界。最后通過仿真驗證了所提合并碼本設計準則的效果，并對所提方案與其他序號調(diào)制方案的BER性能、魯棒性及SE提升效果分別進行仿真，驗證了所提方案的相關性能優(yōu)勢。

1" 系統(tǒng)模型

考慮一個上行SCMA系統(tǒng)，其中J個用戶共享K個正交物理資源，則系統(tǒng)過載率為λ=J/K。SCMA用戶與物理資源之間的關系可以用一個稀疏的指示矩陣表示：

F4×6=011010

101001

010101

100110（1）

式（1）給出了6用戶4資源的SCMA指示矩陣，矩陣中的非零元素代表用戶節(jié)點集（user nodes，UNs）與功能節(jié)點集（function nodes，F(xiàn)Ns）之間的連接，即第j個用戶占用第k個物理資源，其中j∈{1，2，…，J}，k∈{1，2，…，K}。此外，定義df和du分別為指示矩陣F中每一行和每一列非零元素的個數(shù)，即行重與列重。

OFDM-IM中，實現(xiàn)索引調(diào)制的方法是對系統(tǒng)中已有子載波加以索引。與OFDM-IM不同，SCMA內(nèi)沒有可以直接用于索引的資源。為了在SCMA中實現(xiàn)序號調(diào)制，延續(xù)文獻［20］的做法，在時域拓展碼字位置，由碼字位置序號攜帶額外的信息比特。定義一個K維SCMA碼字占據(jù)一個碼字位置，一個傳輸單元（transmit unit，TU）有n個碼字位置，在每個TU內(nèi)進行R階序號調(diào)制，每次調(diào)制t（r）個碼字位置，于是

n=∑Rr=1t（r）（2）

式中：r∈{1，2，…，R}，且R≤n。

一個TU內(nèi)包含的用戶信息比特可以分成兩部分，分別由碼字位置上填充的SCMA碼字和碼字位置序號攜帶。由于碼字位置的全填充，由SCMA碼字攜帶的信息比特數(shù)為

g1=∑Rr=1t（r）log2M=nlog2M=nb（3）

式中：b=log2M，即每b個信息比特映射為一個SCMA碼字。第r次序號調(diào)制時，由碼字位置序號攜帶的信息比特數(shù)為

g（r）2=log2Cn-∑r-1l=1t（l），t（r）（4）

式中：Cn－∑r－1l=1t（l），t（r）為從剩余n－∑r－1l=1t（l）個碼字位置中隨機選取t（r）個碼字位置的所有組合;·表示向下取整函數(shù)，定義g（R）2=0，于是由碼字位置序號攜帶的信息比特數(shù)為

g2=∑R-1r=1g（r）2（5）

因此，一個TU內(nèi)攜帶的總信息比特數(shù)為

g=g1+g2=

nlog2M+∑R－1r=1log2Cn－∑r－1l=1t（l），t（r）（6）

為方便描述碼字位置序號與用戶信息比特間的映射關系，定義總序號空間W～={1，2，…，n}，第r次序號調(diào)制時所選的t（r）個碼字位置的序號可以表示為

W（r）={w1，w2，…，wt（r）}（7）

式中：wr∈{1，2，…，n}，r=1，2，…，t（r），且滿足

W（r）W～＼∪r-1α=1W（α）（8）

根據(jù)全填充規(guī)則，W（R）=W～＼∪R-1α=1W（α）。于是R階序號調(diào)制時，所有可能的碼字位置序號組合的集合為

W=∪Rr=1W（r）=∪Rr=1{w1，w2，…，wt（r）}（9）

第r次序號調(diào)制中，t（r）log2M個信息比特直接映射為子碼本r中的SCMA碼字，并根據(jù)由序號組合構成的查找表填充到相應的碼字位置上，將其定義為比特索引映射表（bit-to-index mapper， BIM）。由于式（4）中存在取整函數(shù)，為保證由碼字位置序號攜帶的信息比特與BIM中的序號組合一一對應，需要從總集合W中選出2g2個序號組合構成BIM，記BIM中的序號組合空間為W′，則W′W，且W′=∪Rr=1W′（r）。

以（n，t（1））=（4，2）的二階MC-CPI-SCMA為例，如圖1所示，每10個信息比特映射為一個TU，其中前g2=log2（C（4，2））=2個信息比特由碼字位置序號攜帶，而后g1=4log24=8個信息比特映射為SCMA碼字。

g1個信息比特映射為SCMA碼字并填充到碼字位置上的規(guī)則由BIM確定，該系統(tǒng)的BIM如表1所示，相應的二階序號調(diào)制過程如下：前g2個比特為00，即對應BIM中的第一行，于是第一次序號調(diào)制時，其后的t（1）log2M=4個比特按比特流的順序映射為子碼本1中相應的兩個SCMA碼字Xj，w（1）1和Xj，w（1）2，分別填充到碼字位置1、3上;第二次序號調(diào)制時，剩余的t（2）log2M=4個比特按比特流的順序映射為子碼本2中相應的兩個SCMA碼字Xj，w（2）和Xj，w（2）2，分別填充到碼字位置2、4上。

序號調(diào)制完成后，每個TU內(nèi)，按照碼字位置的先后順序依次傳輸所填充的SCMA碼字，因此在每個時隙內(nèi)仍遵守NOMA的規(guī)范。不同于CPI-SCMA和HCPI-SCMA，由于所提的MC-CPI-SCMA方案實現(xiàn)了碼字位置的全填充，其能夠在小尺寸碼本下有效提高SE。此外，發(fā)射端和接收端都會用到BIM∶發(fā)射端利用BIM對用戶信息比特進行R階序號調(diào)制;在接收端，假設BIM已知，作為序列置信度檢測中待搜索的序號組合空間。

設第j個用戶在第r次序號調(diào)制時所用的子碼本為X（r）j，不同的X（r）j具有統(tǒng)一的尺寸，即|X（r）j|=M=2b，于是碼字位置wr上填充的碼字X（r）j，wr∈X（r）j，其中X（r）j，wr為K維復向量。則在R階MC-CPI-SCMA中，第j個用戶的合并碼本為

Xj={X（1）j，X（2）j，…，X（r）j，…，X（R）j}（10）

且|Xj|=MR。

記用戶j在一個TU內(nèi)傳輸?shù)男畔⑹噶繛閎j，則bj∈Bg，其中B={0，1}，于是編碼過程為cj=f（bj），f：Bg→C" j，每個cj包含n個K維SCMA碼字，且其維度為L=nK，因此cj=［cj，1，cj，2，…，cj，l，…，cj，L］T，其中cj，l∈C，C表示復數(shù)域，C" j∈CL且|C" j|=∏Rr=12g（r）2Mt（r）。在接收端，基站在一個TU內(nèi)接收到的信號矢量為

y=∑Jj=1cjhfj+z=Ch+z（11）

式中：y=［y1，1，y1，2，…，yη，k，…，yn，K］T表示接收信號矢量，而yη，k表示第η個碼字位置上的第k個物理資源，η∈{1，2，…，n}。定義

C=diag{（c1，1，c2，1，…，cJ，1），（c1，2，c2，2，…，cJ，2），…，

（c1，L，c2，L，…，cJ，L）}（12）

而

h=［hf1，1，hf2，1，…，hfJ，1，…，hf1，L，hf2，L，…，hfJ，L］T（13）

C和h是塊對角矩陣和向量，分別包含頻域中的傳輸信號和信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI）。hfj，l表示hfj的第l個分量，而htj=［htj（1），htj（2），…，htj（ν），0…，0］T為時域的信道脈沖響應，其中htj（τ）是服從分布為CN（0，1/ν）的復隨機變量，τ=1，2，…，ν，而ν是信道抽頭數(shù)，htj經(jīng)離散傅里葉變換得到hfj，z～CN（0，N0）表示方差為N0的噪聲向量。

BS接收到信息矢量y后，需要恢復每個TU內(nèi)的所有信息比特，因此在接收端，每接收到n個SCMA碼字后進行一次解碼。理論上最佳接收器為MLD，即在序號域和碼字域?qū)邮帐噶窟M行聯(lián)合決策，但MLD的復雜度達到了O ∏Rr=1wgr2Mt（r）J，即使n和R很小，也是不可接受的，因此需要設計更低復雜度的檢測算法。

2" 聯(lián)合檢測算法

設BS已知BIM，根據(jù)R階序號調(diào)制過程，設計了碼字域和序號域聯(lián)合檢測算法，稱為基于合并碼本MPA的序列置信度檢測（merging codebook MPA based sequence reliability detection， MC-MPA-SRD），具體分為兩步：首先由MC-MPA獲得SCMA符號向量的概率域軟信息;再由概率域軟信息得到BIM中所有序列的置信度以恢復序號域信息比特，并根據(jù)最大似然準則由軟信息與BIM聯(lián)合決策出碼字域信息比特。

2.1" 基于合并碼本的消息傳遞算法

MC-CPI-SCMA中，第j個用戶的合并碼本如式（10）所示。一個TU包含n個碼字位置和L個正交物理資源，而每次MC-MPA只能處理其中的K個，因此需要進行n次MC-MPA。MC-MPA與傳統(tǒng)MPA的不同主要在于，用戶j的合并碼本大小為|X" j|=MR，因此MC-MPA需要搜索的碼本空間擴大為（MR）df。此外，為保證概率域上數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，在更新FN以及輸出軟信息時，都需要進行歸一化處理。

由于用戶的信息不僅由SCMA碼字攜帶，還由碼字位置序號攜帶，因此不能直接對MC-MPA的結果進行判決，還需要對軟信息進行后續(xù)處理。

2.2" 序列置信度檢測

由于使用了合并碼本，MC-MPA輸出的軟信息為MR維，即

I（xj）=［p1j，η，p2j，η，…，pmj，η，…，pMRj，η］T （14）

式中：m∈{1，2，…，MR}代表合并碼本中的第m個碼字;η∈{1，2，…，n}表示碼字位置序號。定義用戶j的軟信息矩陣為

Pj=p1j，1p2j，1…pMRj，1

p1j，2p2j，2…pMRj，2

p1j，np2j，n…pMRj，n （15）

式中：pmj，η描述了用戶j在碼字位置η上傳輸?shù)趍個碼字的可靠性，于是用戶j在第η個碼字位置上的碼字來自子碼本X（r）j的置信度為

Pr（η）=∑rMm=（r－1）M+1pmj，η， m=1，2，…，MR（16）

碼字位置序號組合的可靠性由其在BIM中對應的碼字序列Cj的概率域軟信息表征，定義一個TU內(nèi)，第r次序號調(diào)制的序列置信度為

Pr=∏t（r）r=1Pr（wr）， wr∈W′（r）（17）

于是檢測一個TU內(nèi)由碼字位置序號攜帶的信息比特等效于選擇BIM中序列置信度最大的序號組合，即

Wa=argmaxW′∏Rr=1Pr， Wa∈W′（18）

式中：Wa=∪Rr=1W′a，（r）。根據(jù)BIM，即可恢復Wa所對應的序號域信息比特并確定各個碼字位置上的SCMA碼字所對應的子碼本，而Pj給出了各碼字的可靠性，二者共同決定由SCMA碼字攜帶的信息比特，即第r次序號調(diào)制所填充的碼字位置上的SCMA碼字所對應的信息比特為

Dr=argmaxm=（r－1）M+1，…，rMPmj，w～r， w～r∈W′a，（r）（19）

最后，按照R階序號調(diào)制時的順序?qū)λ行畔⒈忍刂嘏?，則用戶的信息得以恢復。

根據(jù)文獻［22］和文獻［23］，傳統(tǒng)MPA的時間復雜度為O （NiterK·Mdf·d2f），其中Niter代表算法迭代次數(shù)，則MC-CPI-SCMA中，一個TU內(nèi)MC-MPA的復雜度為O （NiterK·（MR）df·d2f·n）。而碼字位置序號組合是通過計算BIM中所有的序列置信度確定的，即序列置信度檢測需要搜索的空間為2g2，遠小于MC-MPA需要搜索的碼本空間，因此MC-MPA-SRD的時間復雜度主要由MC-MPA決定。由此看出，n相同時，序號調(diào)制階數(shù)越高，由碼字位置序號攜帶的信息比特數(shù)就越多，系統(tǒng)的SE會相應提高，而解碼時MC-MPA-SRD的復雜度也隨之增長。

3" 合并碼本設計準則

在稀疏碼本設計方面，文獻［24］提出了一種次優(yōu)的設計思路，該思路將碼本設計簡化為母星座與層操作符的設計，稀疏碼本設計多基于此框架。對于上行瑞利衰落信道，M點稀疏碼本的設計步驟如下［25］：首先挑選出du個M點子星座，各子星座根據(jù)配對準則相互配對后得到一個du維母星座C′，映射過程為g：Blog2M→C ′，即c′j=g（bj），其中c′j∈C ′為du維復向量;矩陣Vj的作用是將母星座中du維復向量映射為SCMA碼本中的K維碼字，其大小為K×du;則SCMA編碼過程為Xj=Vj·g（bj）。令矩陣Vj=V′jΦj，其中V′j是根據(jù)SCMA指示矩陣F生成的用戶矩陣，Φj為單位旋轉矩陣，代表層操作。

層操作的目的是保證共用同一個FN的各用戶可解碼符號的獨特性，而在上行場景中，瑞利衰落信道也會使多維星座發(fā)生隨機旋轉，與層操作等效，此時稀疏碼本的性能主要由母星座決定，故本節(jié)中忽略層操作而聚焦于母星座［26］。根據(jù)文獻［27］，上行瑞利信道中最重要的碼本設計準則是增大最小乘積距離、減小最小乘積距離的星座點對數(shù)量，進而提升SCMA的BER性能，因此將最大化MPD作為合并碼本的設計準則。

合并碼本與普通稀疏碼本的不同之處在于，合并碼本需要拆分為R個子碼本分別用于R階序號調(diào)制，序號比特的檢測主要依靠各子碼本間的差異性，普通稀疏碼本則作為整體使用。因此，合并碼本設計的關鍵問題在于不同子碼本間的差異性要盡可能大，且又能促進SCMA的解調(diào)。基于此，可在已配對的普通稀疏碼本中拆分出R個子碼本以構成合并碼本，具體到母星座層面，即從一個Q點的du維母星座中拆分出R個M點的du維母星座，Q≥MR。根據(jù)R的不同取值，討論以下兩種情況：

（1） R≠2g′，g′∈N+

有兩種構造方案：直接由最大化子碼本內(nèi)MPD準則挑出R個無重復M點星座點組合，稱為直接拆分法;先由最大化MPD準則挑出MR個星座點，再根據(jù)最大化子碼本內(nèi)MPD準則將星座點分成R個組，稱為整體拆分法。

方法 1" 直接拆分法

首先選擇一個具有良好歐氏距離特性的Q點du維母星座，記為p（q），q∈{1，2，…，Q}，為使拆分出的R個母星座具有良好的距離特性且拆分算法復雜度不宜過高，通常取MR≤Q≤2MR。其次，從p（q）中選出所有M點星座點組合，并對所有M點組合按照MPD從高到低排序，搜索空間為C（Q，M）=Q?。∕）！（Q－M）！，設pγ（q）表示第γ（γ∈{1，2，…，C（Q，M）}）個M點組合，則pγ（q）的乘積距離為

dp（γ）=∏dul=1|pMs，lγ（q）-pMt，lγ（q）|（20）

式中：Ms，Mt∈{1，2，…，M}且Ms≠Mt;pMs，lγ（q）與pMt，lγ（q）分別表示pγ（q）中的第Ms與Mt個星座點在第l維上的投影。根據(jù)最大化子碼本內(nèi)MPD準則，具有最大MPD的M點組合滿足

pδ（q）=maxγ∈{1，2，…，C（Q，M）}dp，min（γ） （21）

式中：δ∈N+且δ≤C（Q，M），而

dp，min（γ）=min{dp（γ）|1≤γ≤C（Q，M）}（22）

然后按照排序結果搜索得到具有最大MPD的R個無重復M點組合，記為pMC（q）。為保證算法收斂性，若在搜索空間內(nèi)，具有最大MPD的無重復M點組合不足R個，則在具有次大MPD值的M點組合中搜索，直到選出pMC（q）。

pMC（q）中，記各子碼本的MPD值為dmin，設各子碼本內(nèi)乘積距離為dmin的星座點對的數(shù)目為μ，當出現(xiàn)多個dmin相同的無重復組合時，為保證子碼本的乘積距離性能，選擇μ最小的組合，即

pMC（q）=minμm∈{1，2，…，μ}μm（23）

記第r個M點組合的母星座中的第m個星座點在p（q）中的位置為q（m）r，則第r個子碼本的母星座可以表示為

pr（q）={q（1）r，q（2）r，…，q（M）r}（24）

于是合并碼本的母星座為R個子碼本的母星座的集合，即

pMC（q）=∪Rr=1pr（q）=∪Rr=1{q（1）r，q（2）r，…，q（M）r}（25）

式中：|pMC（q）|=MR，并且pr1（q）∩pr2（q）=，而r1，r2∈{1，2，…，R}，r1≠r2。

方法 2" 整體拆分法

首先考慮合并碼本的所有星座點，由最大化合并碼本MPD準則從p（q）中選出MR點組合，搜索空間為C（Q，MR）=Q！（MR）?。≦－MR）！，則具有最大MPD的MR個星座點組合pο（q）， ο∈N+，ο≤C（Q，MR）滿足

pο（q）=maxυ∈{1，2，…，C（Q，MR）}dp，min（υ） （26）

式中：υ代表搜索空間內(nèi)第υ個MR點組合;dp，min（υ）的定義同式（22）。然后由式（23）選出μ最小的組合，此時μ為MR個星座點的MPD，最后由式（21）對選出的MR點組合分為R個組，此時γ∈{1，2，…，C（MR，M）}。

（2） R=2g′，g′∈N+

此時，只需要選擇一個具有良好歐氏距離特性的MR點du維母星座p（q），q∈{1，2，…，MR}，由式（21）以及式（23）將p（q）內(nèi)的星座點分為R組，即可得到合并碼本。

MC-CPI-SCMA的合并碼本由其稀疏指示矩陣F、序號調(diào)制階數(shù)R及每個子碼本的星座點數(shù)M確定，以R=3，M=4的合并碼本設計為例，其稀疏指示矩陣如式（1）所示，故需要生成12點的2維母星座。對Nikopour等［28］給出的2維16點復星座p（q）（q=1，2，…，16）進行拆分，由于p（q）是應用酉旋轉矩陣最大化du維復數(shù)星座的MPD生成的，故可省略多維復數(shù)星座點之間的配對，直接對二維復星座點進行篩選。

根據(jù)方法1，首先由式（21）篩選出所有具有最大MPD的4點星座點組合記為pδ（q），δ∈{1，2，…，12}，此時dmin=1;然后由式（23）搜索所有具有最小μ值的3個無重復4點組合pMC（q），其中μ=6，

得到的母星座由圖2（a）和圖2（b）共同構成;根據(jù)方法2，由式（26）、式（21）選出具有dmin=0.4，μ=36的2維12點母星座，得到的母星座由圖2（c）和圖2（d）共同構成。需要說明的是，圖2（a），圖2（b）內(nèi)具有相同標記和比特映射的星座點對應著一個SCMA碼字在du=2個非零物理資源上的符號，圖2（c），圖2（d）同理。

4" SE分析

MC-CPI-SCMA中，由于碼字位置序號攜帶了部分用戶信息，系統(tǒng)的SE得以提升。根據(jù)文獻［29］，SE用于表征每個資源塊承載信息量的能力，定義傳統(tǒng)SCMA的SE為

εc=Jlog2MK=λlog2M（27）

SE的單位是比特/信道，以下推導過程中均省略。而基于碼字位置序號調(diào)制的SCMA的SE（εΞ，Ξ∈{cpi，hcpi，mc}）定義為

εΞ=J（g1+g2）K·n （28）

式中：g1和g2隨系統(tǒng)的不同而不同，具體到MC-CPI-SCMA，將式（3）、式（4）代入式（28）得

εmc=λlog2M+λn∑R-1r=1gr2（29）

對比式（27）與式（29），當R≥2時，由于MC-CPI-SCMA中部分信息比特由碼字位置序號攜帶，且碼字位置是全填充的，因此λ和M相同時，εmc≥εc。

固定MC-CPI-SCMA的指示矩陣及子碼本的星座點數(shù)M，則R確定時，系統(tǒng)的合并碼本也隨之確定?？紤]R對系統(tǒng)的影響，一方面，合并碼本的尺寸與R成正比，R越大，合并碼本的設計難度也會越大;另一方面，接收端MC-MPA的復雜度也隨R的增大而增長。因此，有必要研究R受限時能否達到所需SE。為方便說明，以下關于MC-CPI-SCMA的SE分析與推導結論以命題的形式給出。

命題 1" R階MC-CPI-SCMA的SE上界為ε～mcR≤λlog2M+∑R－1r=1∏r－1ρ=0ερ。

證明" 為方便化簡式（29），定義輔助序列{εr}為

n（r）－t（r）n（r）=n（r+1）n（r）=εr（30）

式中：n（r）=n－∑r－1l=1t（l）為第r次序號調(diào)制時剩余的碼字位置數(shù)，r≥1時，0lt;εr≤1，且ε0=εR=1。于是當R≥2時，系統(tǒng)SE為

εmcR=λlog2M+

∑R－1r=1log2C∏r－1ρ=0ερn，（1－εr）∏r－1ρ=0ερnn（31）

為化簡式（31），引用Stirling公式

n！≈2πn·nen（32）

令t=σn，0lt;σ≤1，于是

log2（C（n，t）） ≈

log212π+［（σ－1）log2（1－σ）－σlog2σ］n（33）

再令σ=1－εr，將式（33）代入式（31）中，求極限得

limn→∞εmcR=λlog2M+

λ∑R－1r=1∏r－1ρ=0ερ［εrlog2εr+（1－εr）log2（1－εr）］ （34）

式中：函數(shù)εrlog2εr+（1－εr）log2（1－εr）的極值為1，在εr=12處取得，于是

ε～mcR=limn→∞εmcR≤λlog2M+∑R－1r=1（∏r－1ρ=0ερ）（35）

證畢

命題1給出了R階MC-CPI-SCMA的理論SE上界，考慮到序列{εr}最優(yōu)取法的求解復雜性，其難以應用于實際的系統(tǒng)設計中，故以下討論簡化的序列{εr}取法，以近似ε～mcR。

R=2時，由二項式定理易得ε1=1/2，即每階序號調(diào)制取剩余碼字位置的一半;當R≥3時，設n=2τ，τ∈N+，則有兩種猜想，若每階序號調(diào)制時都取剩余碼字位置的一半，即ερ=1/2，代入式（35），并由等比數(shù)列求和公式化簡得

（ε～mcR）（1）=λlog2M+2－12R－1－1 （36）

若均勻取碼字位置，即每階序號調(diào)制時都取n/R個碼字位置，則{εr}=R－1R，R－2R－1，…，將序列代入式（35），經(jīng)代數(shù)運算得

（ε～mcR）（2）=λlog2M+R2－1R+12 （37）

令（ε～mcR）（2）≥（ε～mcR）（1），即

φ（R）=R－32－2R+12R－1－1≥0（38）

對式（38）求導，經(jīng)代數(shù)運算，φ′（R）gt;0在R≥3時恒成立，即φ（R）單調(diào)遞增，且φ（R）=0成立當且僅當R=2。由上述分析，每階序號調(diào)制時取n/R個碼字位置能達到近似SE上界ε-mcR=（ε～mcR）（2），這一結論表明，若要獲得更高的SE，每階序號調(diào)制需要為后續(xù)調(diào)制預留出碼字位置，以使得序號域攜帶更多的信息比特。

考慮到接收器的復雜度，n受限時能否達到所需的SE對系統(tǒng)實現(xiàn)也至關重要。為了研究n與εmc的關系，考慮一個TU內(nèi)碼字位置總數(shù)受限時系統(tǒng)能達到的最大SE。

命題 2" n=2τ（τ≥1）時，MC-CPI-SCMA的SE上界為ε～mcn=λlog2M+n+1nlog2n+2n－2。

證明" 一個TU內(nèi)，n固定，則碼字位置序號攜帶的比特數(shù)最大時，系統(tǒng)達到最大SE，此時每次序號調(diào)制只調(diào)制一個碼字位置，即n=R。設n=2τ，τ≥1，則由碼字位置序號攜帶的比特數(shù)為

g2=log2（C（n，1））+log2（C（n-1，1））+…+log2（C（2，1））=

∑τ－1x=1x·2x+τ=（log2n－2）·n+log2n+2（39）

將式（39）代入式（29）即得到SE上界為

ε～mcn=λlog2M+n+1nlog2n+2n－2 （40）

證畢

在HCPI-SCMA中，需要保留一個空置碼字位置，因此其序號調(diào)制階數(shù)R≤n－1。利用命題2的證明過程及結論，可得到n受限時HCPI-SCMA的SE上界，即推論1。

推論 1" n=2τ（τ≥1），HCPI-SCMA的SE上界為ε～hcpin=λn－1nlog2M+n+1nlog2n+2n－2。

而由命題2，R=n－1階MC-CPI-SCMA的SE為

εmcn=λlog2M+n+1nlog2n+1n－2 （41）

兩者作差得

εmcn=R+1－εhcpin=R+1=λlog2M－1n （42）

而M≥2，由式（42）可知，此時εmcn=R+1－εhcpin=R+1恒成立，由此可得到推論2。

推論 2" n=2τ（τ≥1）時，R=n－1階MC-CPI-SCMA的SE不小于HCPI-SCMA。

綜合考慮命題1、命題2，可輔助確定MC-CPI-SCMA系統(tǒng)的相關參數(shù)，另考慮到接收器的復雜度，系統(tǒng)設計時R和n應盡可能地小。以指示矩陣如式（1）的系統(tǒng)設計為例，當要求εmc=4，M=4時，由命題1得到二階MC-CPI-SCMA的SE上界為ε～mcR=2≈4.5，滿足系統(tǒng)設計要求，于是R=2;令ε～mcn≥4，由命題2得n≥4;最后在R=2的條件下根據(jù)近似最優(yōu)序列取法計算n≥4時系統(tǒng)的SE，并根據(jù)碼字位置n盡可能小的原則選定系統(tǒng)參數(shù)為n=6， t（1）=3，t（2）=3，系統(tǒng)設計完成。

5" BER性能分析

本小節(jié)對具有MLD的MC-CPI-SCMA系統(tǒng)的ASEP進行分析與評估。在MLD中，一旦確定了BIM和合并碼本，就可以確定MC-CPI-SCMA碼字集。因此，條件PEP（conditional PEP，CPEP）［21］為

P（C→C^|h）=QΔ2N0（43）

式中：C^為錯誤檢測的候選碼字集，是一個LJ×L的矩陣且C^≠C，Q（x）=（2π）－1/2∫+∞xe－t2/2dt是高斯函數(shù)，而

Δ=（C－C^）h2=hAh（44）

式中：A=（C－C^）H（C－C^），（·）和（·）H分別表示矩陣的共軛轉置和Hermitian算子，則A是一個對角矩陣，且A=diag{λ21，λ22，…，λ2L}，N0為MC-CPI-SCMA的頻域噪聲方差。由于（C－C^）是一個分塊對角矩陣，其第j列的非零元素為cj，l－c^j，l，l∈{1，2，…，L}，因此A的前L個特征值可以表示為

λ2l=∑Jj=1|cj，l－c^j，l|2（45）

假設信道增益系數(shù)之間相互獨立，hl∈h為第l個物理資源上接入用戶對應的信道系數(shù)，Q（x）可近似為

Q（x）≈112e－x2/2+14e－2x2/3（46）

而

EX［etX］=∫+∞0etxe－xdx=11－t， t≤1（47）

于是MC-CPI-SCMA的無條件PEP（unconditional PEP， UPEP）可化簡為

P（C →C^）

≈

Eh112exp－12Δ22N0+14exp－23Δ22N0=

Eh112exp－12∑Ll=1λ2l|hl|22N0+

14exp－23∑Ll=1λ2l|hl|22N0=

112∏Ll=111+λ2l4N0+14∏Ll=111+λ2l3N0（48）

已知A的非零特征值的最小個數(shù)為du，即MC-CPI-SCMA中信息比特的分集階數(shù)為du;而序號比特出錯時，至少有兩個碼字位置上的信息比特出錯，因此序號比特的分集階數(shù)為2du。根據(jù)以上結果，使用MLD檢測器的MC-CPI-SCMA的ASEP為

Pj（e）≤1∑Rr=12g（r）1Mt（r）J∑C∑C^，cj≠c^jP（C→C^） （49）

MC-CPI-SCMA的ASEP理論性能的計算共需計算（2∑Rr=1g（r）1M∑Rr=1t（r））2J－1（2∑Rr=1g（r）1M∑Rr=1t（r）－1）次PEPs，即使對于很小的n和t（r），該上界的計算也已經(jīng)十分復雜。

6" 仿真分析

本節(jié)在上行瑞利衰落信道下，首先對MC-CPI-SCMA的BER性能進行仿真分析，并通過仿真驗證了第3節(jié)提出的合并碼本設計準則的有效性。其次，將所提方案與CPI-SCMA及HCPI-SCMA的BER性能、魯棒性和相同參數(shù)配置下的SE提升效果分別進行了仿真對比。最后根據(jù)仿真結果分析所提方案性能。除特殊說明，仿真中取λ=150%，所用稀疏指示矩陣如式（1）所示。

6.1" MC-CPI-SCMA的BER性能

圖3仿真了不同R下MC-CPI-SCMA的BER性能，由式（21）對文獻［28］中的2維16點星座點進行拆分，可得到4組4點子碼本，它們具有相同的子碼本內(nèi)MPD，以此構成四階序號調(diào)制的合并碼本;圖2（a）和圖2（b）給出的12點碼本作為三階序號調(diào)制的合并碼本;以圖2（a）和圖2（b）給出的子碼本1，2構成二階序號調(diào)制的合并碼本。

從圖3中可以觀察到，相同SE下，相較于傳統(tǒng)SCMA，MC-CPI-SCMA在BER=10－3時能夠獲得0.6～0.8 dB左右的SNR增益。此外，所提方案的BER性能隨R的提高而下降，且在中低SNR區(qū)域的性能損失更為明顯，主要原因在于更高的SE是通過序號域攜帶更多的比特實現(xiàn)的，這導致BIM中的序號組合數(shù)呈指數(shù)增長，因此由序列置信度檢測錯誤帶來的錯誤傳播效應會更明顯。盡管MC-CPI-SCMA在中低SNR區(qū)域有少量性能損失，但其增加了系統(tǒng)設計的靈活性，能更好地適應不同信道狀態(tài)與用戶需求。

在第4節(jié)命題1、命題2給出的參數(shù)受限時系統(tǒng)的SE上界的限制下，有兩種提高SE的方法，即增加碼字位置或增加序號調(diào)制階數(shù)。具體到圖3中，有兩種做法能令系統(tǒng)的SE由4.125比特/信道提高到4.5比特/信道，即R=3時提高n，由（n，t（1），t（2））=（4，2，1）改為（n，t（1），t（2））=（8，4，1）;或n=4時，序號調(diào)制由三階升為四階，即由（n，t（1），t（2））=（4，2，1）變（n，t（1），t（2），t（3））=（4，1，1，1），觀察圖3中相應曲線變化可以發(fā)現(xiàn)，通過增加R的方式來提高SE時，系統(tǒng)在中低信噪比區(qū)域的BER性能損失更為明顯，且其檢測復雜度呈指數(shù)增長。因此，通過增加n來提高SE是更好的選擇。

圖4仿真了各三階MC-CPI-SCMA碼本的性能，以驗證所提合并碼本設計準則的有效性，其中所用的兩組碼本A，B分別為圖2（a）和圖2（b）、圖2（c）和圖2（b）所示的12點碼本，對照碼本C是對文獻［28］所給的16點碼本根據(jù)最大化12個星座點的MPD準則篩選后隨機分組得到的碼本。

由圖4可以看出，在MC-CPI-SCMA中，由所提的兩種合并碼本設計方法構造的碼本性能均優(yōu)于對照碼本，在BER=10－3時能夠獲得0.5～0.8 dB左右的SNR增益。此外，碼本A與碼本B的BER性能相差不大，而碼本A的設計過程中需要檢查各子碼本間星座點是否重復，其復雜度高于碼本B的設計，因此第3節(jié)所提的合并碼本構造方法2更適用于實際。

圖5仿真了二階MC-CPI-SCMA在不同BIM下的BER性能，所用碼本為文獻［30］中的碼本S88。從圖中可以看出，在中低SNR區(qū)域，MC-CPI-SCMA的BER性能隨著SE的提高而逐漸下降，且相較于傳統(tǒng)SCMA有少量的性能損失，但在SNR為20 dB后性能損失不再明顯，并逐步逼近SE更低的四點SCMA。此外，R不變時，通過選取不同的（n，t（r））可以靈活調(diào)整MC-CPI-SCMA的BIM，從而實現(xiàn)SE的細粒度變化。

6.2" 各序號調(diào)制方案性能對比

本小節(jié)將從多方面對比各序號調(diào)制方案的性能，為保證對比公平，所用8點碼本均為S88，12點碼本如圖2（a）和圖2（b）所示，且在接收端，各序號調(diào)制方案均采用基于MPA的序列置信度檢測算法。

6.2.1" BER性能

圖6仿真了各序號調(diào)制方案的BER性能。

由圖6可知，各方案的BER性能特點如下：

（1） CPI-SCMA：整體BER性能曲線較為平緩，在低SNR區(qū)域性能較好，但分集增益最低;

（2） HCPI-SCMA：在低SNR區(qū)域BER性能損失最大，且R越大損失越明顯，但能獲得最高的分集增益;

（3） MC-CPI-SCMA：在達到與HCPI-SCMA相似的設計靈活性的同時，在低SNR區(qū)域的性能損失更小，而獲得的分集增益介于前兩種方案之間，BER性能曲線更為均衡。

全零碼字的加入使得CPI-SCMA與HCPI-SCMA的碼字不僅具有SCMA碼字的稀疏性，還具有時域上空白碼字位置帶來的稀疏性，從而減少了用戶間的干擾，但另一方面也使得碼本內(nèi)的MPD減小，帶來了低SNR下的BER性能損失。各序號調(diào)制方案能夠獲得額外分集增益的主要原因是序號域攜帶的信息比特。CPI-SCMA只經(jīng)過一階序號調(diào)制，因此額外分集增益最小;而MC-CPI-SCMA與HCPI-SCMA通過多階序號調(diào)制在序號域攜帶更多的信息比特，獲得了更高的分集增益。MC-CPI-SCMA中不存在全零碼字，因此在低SNR區(qū)域的性能比HCPI-SCMA更好，而其通過在序號域攜帶更多的信息比特，獲得比CPI-SCMA更高的分集增益，因此具有更均衡的BER性能。由于MC-CPI-SCMA與HCPI-SCMA在中高SNR區(qū)域BER性能相差不大，故以下將著重對比中低SNR下的性能。

圖7仿真了SE相同時各序號調(diào)制方案的BER性能，其中λ=200%的稀疏指示矩陣如下：

F5×10=1111000000

1000011010

0100101010

0010010101

0001100110（50）

從圖7可觀察到：所用碼本資源相同的情況下，λ=150%，εΞ=4.125比特/信道時，設計靈活度不高的CPI-SCMA在低SNR下有少量BER性能優(yōu)勢，但很快被分集增益更大的MC-CPI-SCMA反超。相比較而言，HCPI-SCMA的性能損失最明顯;λ=200%，εΞ=5.5比特/信道時，各序號調(diào)制方案的性能趨勢大致相同，MC-CPI-SCMA相較于HCPI-SCMA仍有明顯的BER性能優(yōu)勢，體現(xiàn)了其在大過載條件下的適用性。

6.2.2" 魯棒性

實際通信中往往不能獲得準確的CSI，因此有必要研究信道估計誤差存在時各序號調(diào)制方案的表現(xiàn)，評估所提方案的魯棒性。將信道估計誤差Δh建模為一服從標準復高斯分布的隨機變量，即Δh～CN（0，1），則估計的信道系數(shù)h^為

h^=h+Δh（51）

式中：h是實際的信道系數(shù)。

如圖8所示，信道估計誤差存在時，對各序號調(diào)制方案在SNR為25 dB下進行了仿真。由圖8可知，εΞ=4.125比特/信道時，所用碼本點數(shù)相同的情況下，MC-CPI-SCMA的抗信道估計誤差能力明顯高于HCPI-SCMA，而三階MC-CPI-SCMA的表現(xiàn)稍差。這一現(xiàn)象的原因在于序號調(diào)制階數(shù)越大，由序列置信度檢測錯誤帶來的錯誤傳播就越明顯。這也表明在設計系統(tǒng)參數(shù)時，相同SE下應選擇R更小的系統(tǒng)。相較于HCPI-SCMA，三階MC-CPI-SCMA在達到更高SE的同時具有更好的抗信道估計誤差性能;此外，二階MC-CPI-SCMA在達到相同SE的時抗信道估計誤差的性能也優(yōu)于HCPI-SCMA。綜上，MC-CPI-SCMA相較于其他序號調(diào)制方案具有更好的魯棒性，且在大尺寸碼本下性能優(yōu)勢更明顯，具有良好的實際應用價值。

6.2.3" 相同參數(shù)配置下的SE提升效果

為說明MC-CPI-SCMA在SE提升上的有效性并驗證第4節(jié)給出的推論1、推論2，圖9中仿真了R（R=n－1，n=4，8）階MC-CPI-SCMA與HCPI-SCMA在不同λ以及M下的SE。根據(jù)推論1，此時HCPI-SCMA達到了SE上界，而MC-CPI-SCMA的SE如式（41）所示，二者的檢測復雜度均由MC-MPA決定，由于HCPI-SCMA中存在全零碼字，檢測時用戶碼本尺寸為|Xj|=MR+1，因此其檢測復雜度高于MC-CPI-SCMA。

需要說明的是，CPI-SCMA可以看作R=1下HCPI-SCMA的特例，故不再單獨列出。由圖9可知，相同參數(shù)配置下MC-CPI-SCMA所達到的SE高于HCPI-SCMA，與第4節(jié)中的推論2相符。此外，其他條件相同時，λ和M越大，MC-CPI-SCMA的SE優(yōu)勢越明顯，與式（42）對應。綜上，相較于HCPI-SCMA，MC-CPI-SCMA以更低檢測復雜度達到了更高SE，且在高過載及大尺寸碼本下表現(xiàn)出更好的SE提升效果。

7" 結" 論

本文提出了一種MC-CPI-SCMA方案。該方案針對上行SCMA場景，經(jīng)多階序號調(diào)制，由碼字位置序號攜帶額外的信息比特，綜合考慮碼字域與序號域，設計了相應的聯(lián)合檢測算法。針對多階序號調(diào)制的特點，給出了合并碼本的設計準則并通過后續(xù)仿真驗證了其有效性，最后對系統(tǒng)SE及BER性能進行分析，得到輔助系統(tǒng)參數(shù)設計的相關結論。仿真結果表明，相較于其他序號調(diào)制方案，MC-CPI-SCMA更好地兼顧了系統(tǒng)可靠性與設計靈活性，且具有魯棒性及SE提升優(yōu)勢。

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作者簡介

楊顏冰（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向為先進接入技術、信道編碼技術。

雷" 菁（1968—），女，教授，博士，主要研究方向為信息論、奇偶校驗碼、空時編碼、先進多址技術、物理層安全、隱蔽通信、無線通信技術。

賴" ?。?994—），男，博士，主要研究方向為先進接入技術、信道編碼技術、物聯(lián)網(wǎng)以及隨機接入。