例析初中數(shù)學(xué)教科書反比例函數(shù)例題引發(fā)的跨學(xué)科探究

【摘要】素質(zhì)教育背景下，開展跨學(xué)科融合式教育是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，落實(shí)全方位育人的有效途徑.教師要立足教材，基于核心知識點(diǎn)，分析教科書的例題中是否存在可開展跨學(xué)科教育的內(nèi)容，導(dǎo)入生活實(shí)踐或綜合實(shí)踐，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)的、有現(xiàn)實(shí)問題的情境，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中解決真實(shí)問題，可有效培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.本文以初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)章節(jié)中例題引發(fā)的跨學(xué)科探究為例，討論構(gòu)建跨學(xué)科融合式教育、跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動的策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；解題教學(xué)

新課標(biāo)指出，在義務(wù)教育階段，應(yīng)立足學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展，在教學(xué)過程中充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的核心育人價(jià)值，基于數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)新穎的綜合實(shí)踐活動，將數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科整合為一體，建設(shè)以學(xué)生全面發(fā)展為核心的跨學(xué)科實(shí)踐活動.為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于教科書中的內(nèi)容，探索如何設(shè)計(jì)具有實(shí)踐價(jià)值、可發(fā)展學(xué)生實(shí)踐能力、培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的跨學(xué)科教學(xué)是極有必要的.而滬教版初中數(shù)學(xué)教材中涉及大量的跨學(xué)科融合式例題，適用于開展上述跨學(xué)科實(shí)踐活動.教師應(yīng)基于教材內(nèi)容，對數(shù)學(xué)教科書例題中的跨學(xué)科問題做深入探究，探索以例題開展跨學(xué)科教育的有效方法.

1 在函數(shù)教學(xué)中探究書中例題跨學(xué)科問題的意義

例題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的重要載體，教科書中的例題是本階段數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)、知識核心的確切體現(xiàn)，具有鮮明的代表性與較強(qiáng)的典型性，能幫助學(xué)生鞏固本課所學(xué)、復(fù)習(xí)此前所學(xué)，使其將當(dāng)前學(xué)習(xí)的知識與此前學(xué)到的內(nèi)容有機(jī)整合，構(gòu)成一個整體，助力學(xué)生搭建完整的數(shù)學(xué)知識框架體系.在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，正確使用例題不僅能夠幫助學(xué)生理解新知識、鞏固舊知識、培養(yǎng)新技能，還可以讓學(xué)生在做例題的同時(shí)應(yīng)用本課學(xué)到的新知識點(diǎn)，在重復(fù)使用與解題所帶來的思維鍛煉之下，學(xué)生對知識點(diǎn)的認(rèn)知和理解會愈加深刻，可有效提升課堂教學(xué)效率.

函數(shù)部分是初中數(shù)學(xué)難點(diǎn)之一.掌握“函數(shù)”部分后，學(xué)生能循序漸進(jìn)地對“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”“綜合與實(shí)踐”這三個模塊知識點(diǎn)的綜合學(xué)習(xí)，靈活掌握其內(nèi)涵，并在了解“函數(shù)”的概念與內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，對其開展深入探究，從中探索數(shù)學(xué)的真諦，完成高效率的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).因此，“函數(shù)”這部分的學(xué)習(xí)是尤為關(guān)鍵的.教師應(yīng)加大對函數(shù)知識的重視，并在該模塊教學(xué)中積極引入跨學(xué)科相關(guān)的知識，分析該模塊教材中每道例題的特征，再結(jié)合階段教學(xué)重心，為學(xué)生設(shè)計(jì)有跨學(xué)科價(jià)值的綜合實(shí)踐活動，喚醒學(xué)生的跨學(xué)科意識，讓學(xué)生以跨學(xué)科意識思考問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、探究精神、實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

2 滬教版初中數(shù)學(xué)教科書例題中的跨學(xué)科問題研究

滬教版初中數(shù)學(xué)教材中，一元一次不等式和不等式組、一次函數(shù)、反比例函數(shù)這三個模塊的跨學(xué)科問題最多，但從整體來看，教材例題中的跨學(xué)科問題占比并不是很大，且跨學(xué)科問題分布并不均衡.想要充分發(fā)揮出例題的教育作用，使例題成為建設(shè)跨學(xué)科式數(shù)學(xué)課堂的主要載體，教師必須做足充分的課前準(zhǔn)備，研讀教材例題，不僅要認(rèn)清例題的教育價(jià)值、其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，更要分析例題中涵蓋的素養(yǎng)內(nèi)容及其他學(xué)科跨界整合性的內(nèi)容，使其在跨學(xué)科主題課上發(fā)揮出更高的價(jià)值，助力學(xué)生的全面發(fā)展.而且除了帶領(lǐng)學(xué)生正常做例題，教師還可以設(shè)計(jì)不同的教育活動，鼓勵學(xué)生積極參與跨學(xué)科實(shí)踐學(xué)習(xí)，為教學(xué)開辟新的路徑.

例題 某條高速公路全長166千米，一輛汽車在這條高速公路上行駛，走完全程所需的時(shí)間t（時(shí)）與汽車行駛的平均速度v（千米/時(shí)）有什么關(guān)系？

該道例題來自滬教版初中數(shù)學(xué)教材八年級第一學(xué)期第十八章第二節(jié)18.3“反比例函數(shù)”，在教科書中，這道例題直接在分析環(huán)節(jié)給出了清晰的解題思路.題目要求探究汽車行駛?cè)虝r(shí)間t及其平均速度v之間的變化規(guī)律.應(yīng)先為平均速度v取一個確定值，此時(shí)時(shí)間t的數(shù)值也將被確定.通過這種方式，即可判斷出v與t之間有依賴關(guān)系.而時(shí)間t與平均速度v之間的積是全程長，這類物理概念單位將數(shù)學(xué)課與物理課合并在一起，便構(gòu)成了新形式的課堂.

在解題時(shí)，可以通過s=vt這一簡單的公式獲得表達(dá)式為：vt=166，變形得t=166v之后，再順勢導(dǎo)入本章節(jié)反比例函數(shù)的知識點(diǎn)，即兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，即可證明這兩個變量為反比例關(guān)系，而本問題中的兩個變量均呈反比例.

本題作為闡述反比例關(guān)系定義的經(jīng)典題型，是讓學(xué)生理解反比例知識點(diǎn)的關(guān)鍵，也是引導(dǎo)學(xué)生初次嘗試應(yīng)用反比例關(guān)系判斷事物的核心題目.在解析反比例函數(shù)并使學(xué)生應(yīng)用反比例函數(shù)的過程中，涉及了物理學(xué)科的知識，包括汽車行駛的速度v，汽車的總行駛時(shí)間t及兩者的乘積關(guān)系.而闡述反比例關(guān)系定義后，本題的函數(shù)圖象容易被忽略，在繪制本題的反比例函數(shù)圖象時(shí)，可以觀察到橫軸與縱軸的名稱是物理中常用的vt圖.學(xué)生已學(xué)習(xí)過正比例函數(shù)知識及圖象，作圖能力及讀圖能力已有一定基礎(chǔ)，可以對vt圖進(jìn)行深入研究及拓展.

探究1 如圖1，一列火車以每小時(shí)200千米的速度勻速行駛3小時(shí)，（1）求火車行駛的路程；（2）猜想vt圖中，火車行駛路程數(shù)與矩形OABC面積數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖2

首先，本題利用s=tv即可求得路程.其次，探究1第（2）題的猜想，利用圖1信息，易得火車行駛路程數(shù)與矩形OABC的面積數(shù)是相等的.在完成本題猜想的過程中，學(xué)生又將數(shù)學(xué)的“數(shù)形結(jié)合”思想滲透進(jìn)解題過程，從而綜合運(yùn)用所學(xué)知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動力.而后由學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行探究2的自主研究和學(xué)習(xí)，在探究過程中讓學(xué)生體會到成就感.

探究2 如圖2，一列高鐵出發(fā)后，需0.2小時(shí)從速度0勻速增加到每小時(shí)300千米，再以每小時(shí)300千米勻速行駛2小時(shí)，臨近終點(diǎn)前，需0.2小時(shí)從每小時(shí)300千米勻速減慢到停止.

（1）求這列高鐵行駛的全程長；

（2）猜想vt圖中，高鐵行駛?cè)虜?shù)與梯形ODEF面積數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生對于探究2的自主學(xué)習(xí)中，先求高鐵出發(fā)后提速過程與到站前減速過程的兩個平均速度，而后將OF，EF，ED三段路程數(shù)相加得到全程數(shù).再通過類比歸納思想，易得高鐵行駛?cè)虜?shù)與梯形ODEF面積數(shù)相等.

通過以上兩個探究活動，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題.結(jié)合現(xiàn)有知識研究vt圖，學(xué)生得出行駛路程數(shù)與圖形面積數(shù)的數(shù)量關(guān)系，雖然并不完整，但這個解題技巧在跨學(xué)科應(yīng)用上，讓學(xué)生學(xué)有所獲，并且為今后學(xué)習(xí)物理時(shí)打下一定基礎(chǔ).同時(shí)，知識的綜合運(yùn)用、跨學(xué)科活動體驗(yàn)，更好地引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.并且將數(shù)學(xué)運(yùn)用在跨學(xué)科分析上、多學(xué)科協(xié)作上，從而發(fā)揮出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的更高價(jià)值.

原例題僅通過建立數(shù)學(xué)模型反比例函數(shù)模型的方式探尋速度v、時(shí)間t之間的數(shù)量關(guān)系.通過查閱初中數(shù)學(xué)教材，vt圖并未在后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)行再研究，而vt圖在物理學(xué)習(xí)中卻是常用圖象，并且在今后高中階段的學(xué)習(xí)中，乃至大學(xué)階段的學(xué)習(xí)中，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)建模都需要運(yùn)用物理圖象.因此，現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對某一些知識點(diǎn)進(jìn)行知識遷移和跨學(xué)科聯(lián)結(jié)，將對學(xué)生整個學(xué)習(xí)生涯中產(chǎn)生積極影響.所以，在教師巧妙地引導(dǎo)下，例題中的vt圖探究成了一次新穎、有趣的跨學(xué)科活動，不僅幫助學(xué)生完成了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用與鞏固，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，還幫助學(xué)生建立起了完善的知識體系，對學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)建模思想等發(fā)展極有益處.

3 基于教材例題構(gòu)建跨學(xué)科式教育的建議

例題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵，適宜的例題講解，能幫助學(xué)生更快捷地掌握知識點(diǎn)，而恰當(dāng)?shù)睦}練習(xí)是學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的有效途徑.若例題可與跨學(xué)科知識聯(lián)動，構(gòu)建綜合實(shí)踐活動，那么例題的作用將被進(jìn)一步放大.教師可以將新穎的例題與跨學(xué)科教育融合，發(fā)揮出例題的引領(lǐng)價(jià)值與核心功能，適當(dāng)調(diào)整例題的講解模式，打造跨學(xué)科式教育，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識、思考例題的過程中，使用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解決問題，并獲得跨學(xué)科視野的發(fā)展，最終給學(xué)生營造良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之樂，從而愛上數(shù)學(xué).

3.1 多樣性例題講解與跨學(xué)科素材導(dǎo)入

教師講解例題的方式?jīng)Q定了例題教學(xué)的表現(xiàn)形式.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課上，教師大多會直接講述例題，或讓學(xué)生閱讀例題，自行學(xué)習(xí).這兩種教育模式截然不同，前者教學(xué)的作用有限.講解式教育并不適用于每一名學(xué)生.而且純粹的灌輸式課堂，還可能會消耗學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情.而后者可以對學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力作出培養(yǎng)，是新時(shí)期較為常用的一種教學(xué)方法.但例題大多是新知識學(xué)習(xí)，往往是學(xué)生剛學(xué)會的知識，或者對某個新概念的鞏固，甚至有一部分例題是導(dǎo)出本課核心概念的關(guān)鍵.在這種情況下，學(xué)生自主閱讀例題自行學(xué)習(xí)的效率相對有限.這時(shí)教師的講解作用至關(guān)重要.教師可以通過新穎的情景導(dǎo)入和恰當(dāng)?shù)恼Z言引導(dǎo)，圍繞例題內(nèi)容，在課上構(gòu)建起真實(shí)的情境，利用情境熏陶學(xué)生的情感，調(diào)動學(xué)生的熱情，才能讓學(xué)生沉浸在問題中積極思考，尋找例題中隱藏的跨學(xué)科知識.

3.2 適當(dāng)改編例題，鼓勵思維拓展

數(shù)學(xué)知識具有抽象性、復(fù)雜性特征，而且滬教版初中教材中，有許多節(jié)新課導(dǎo)入便是由例題開始的.學(xué)生對知識點(diǎn)尚不了解，也沒有正式開展概念學(xué)習(xí)或探究、實(shí)驗(yàn)活動等便直接接觸例題是有一定難度的，部分學(xué)生會表示不理解知識點(diǎn)，或認(rèn)為直接學(xué)習(xí)有一定難度，這時(shí)教師便可以通過改編例題的方式，降低學(xué)生的理解難度，如調(diào)整例題的表現(xiàn)形式或改編例題的語言表達(dá)，設(shè)計(jì)學(xué)生生活中較為熟悉的話題，將其與原本的例題融合，或引入其他學(xué)科的知識點(diǎn)，抓住例題中的跨學(xué)科教育元素，展開問題或?qū)嵺`情境，盡情展示知識點(diǎn)的同時(shí)，讓學(xué)生嘗試使用新技能，使例題直接“進(jìn)化”為有跨學(xué)科特征的綜合實(shí)踐活動，讓學(xué)生在愉悅的游戲環(huán)境中學(xué)習(xí)知識，應(yīng)用知識并獲得成就.此舉既調(diào)整了數(shù)學(xué)課堂的教育模式，又實(shí)現(xiàn)了教育改革，讓綜合實(shí)踐在數(shù)學(xué)課堂中落地生根，給學(xué)生營造了良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)后，學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或綜合實(shí)踐活動的意愿就更高，數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率自然也將大幅提升.

4 結(jié)語

初中數(shù)學(xué)教科書中的例題極具教育價(jià)值，是幫助學(xué)生理解不同知識點(diǎn)，鞏固知識、學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵.文章認(rèn)為，為進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)課教學(xué)效率，教師可以合理利用例題，分析其中與跨學(xué)科知識相關(guān)的元素以及可用于構(gòu)建綜合實(shí)踐活動的要點(diǎn)，通過多樣性的例題講解方式與跨學(xué)科素材的導(dǎo)入，搭配例題的改編與創(chuàng)新，鼓勵學(xué)生拓展思維、真實(shí)思考，即可改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的表現(xiàn)形式，讓學(xué)生在多樣性、愉悅且極具跨學(xué)科特征的數(shù)學(xué)課堂中獲得知識、能力與素養(yǎng)的綜合提升.

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