整合破解策略，思路引導(dǎo)教學(xué)

【摘要】與圓有關(guān)的陰影部分面積探究教學(xué)中，需要解讀中考考查核心，引導(dǎo)學(xué)生探索破解策略.整個(gè)探究過程建議分為三個(gè)階段：階段1，方法講解，模型構(gòu)建；階段2，實(shí)例講解，強(qiáng)化應(yīng)用；階段3，過程反思，經(jīng)驗(yàn)總結(jié).本文針對專題重點(diǎn)進(jìn)行深入探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】圓；面積；構(gòu)造和差；等積轉(zhuǎn)化

1 探究綜述

求陰影部分的面積在中考中十分常見，該類問題涉及扇形、弧長、三角形等知識內(nèi)容，可全面考查學(xué)生對圖形的理解，以及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建的綜合能力.問題難度適中，解析關(guān)鍵是將問題抽象或轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

1.1 分步構(gòu)建

教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生掌握該類問題的破解技巧，生成分步策略，建議分如下四步來構(gòu)建：

第1步，找圓心，確定弧所對的圓心；

第2步，連半徑，連接圓心與弧上的點(diǎn)；

第3步，確定圓心角的度數(shù)，一般沒有提示則為特殊角，可以大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證；

第4步，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，構(gòu)建面積模型，利用對應(yīng)公式求解.

1.2 轉(zhuǎn)化方法

上述分步構(gòu)建過程的第4步為解析關(guān)鍵，需要將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法，常見方法有如下三種：

方法1：構(gòu)造和差法，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差；

方法2：等積轉(zhuǎn)化法，通過圖形變換，實(shí)現(xiàn)等面積轉(zhuǎn)換的方法策略，常與圖形運(yùn)動相結(jié)合；

方法3：利用容斥原理，構(gòu)建圖形面積的組合.

教學(xué)探究

對于與圓有關(guān)的陰影部分面積問題的專題探究，需要引導(dǎo)學(xué)生掌握分步構(gòu)建策略，靈活使用轉(zhuǎn)化方法來簡化問題.上述總結(jié)了三種特殊的轉(zhuǎn)化方法，教學(xué)中需要深入解讀方法，并結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)建.

2 構(gòu)造和差探究

構(gòu)造和差法，表層含義為構(gòu)造面積的和差，教學(xué)中需要挖掘其中的方法本質(zhì)，即從整體上審視不規(guī)則圖形，將其視為規(guī)則圖形的一部分，則可以通過規(guī)則圖形的面積和差來構(gòu)建，其中隱含了割補(bǔ)思想.

例1 如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，DF=2 3，∠A＝60°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積為 .（結(jié)果保留π）

圖1

思路引導(dǎo) 本題目中的陰影部分在平行四邊形的內(nèi)部，涉及了圓弧，從整體視角來看，可利用規(guī)則圖形的和差求解，即S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE.

過程構(gòu)建 基于上述分析，利用S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE來求解，后續(xù)只需分別求解規(guī)則圖形的面積即可.

SABCD= AB·DF=6×23=123，

S扇形DAE=60π·AD2360=83π，

S△CBE=12BE·DF=23，

綜合可得S陰影＝SABCD-S扇形DAE-S△CBE=103－83π.

解后評析 上述題目利用的是構(gòu)造和差求陰影部分的面積，從整體上審視圖形面積，從平行四邊形中剔除扇形、三角形的面積.教學(xué)指導(dǎo)的關(guān)鍵是理清圖中復(fù)合圖形的關(guān)系，從中提取規(guī)則圖形，再從整體視角構(gòu)建.

3 等積轉(zhuǎn)化探究

等積轉(zhuǎn)化法，即進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化的方法策略，教學(xué)探究的關(guān)鍵是等積轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)的途徑.總體上有兩種思路：一是根據(jù)面積公式構(gòu)建等積轉(zhuǎn)化模型，二是結(jié)合圖形運(yùn)動來轉(zhuǎn)化.

其中圖形運(yùn)動轉(zhuǎn)化有平移轉(zhuǎn)化、對稱轉(zhuǎn)化和旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化三種，均是利用圖形三大運(yùn)動的“不變”特性.教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生明晰轉(zhuǎn)化目的再探索轉(zhuǎn)化方案，即通過圖形運(yùn)動實(shí)現(xiàn)“不規(guī)則”向“規(guī)則”的過渡.

例2 如圖2所示，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為 .（結(jié)果保留π）

圖2

思路引導(dǎo) 圖2中陰影部分可視為是兩部分，即線段AD將其分割為△ADE和圓弧圖形.

教學(xué)的關(guān)鍵是進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的△ADE，結(jié)合三角形面積公式分析△AOD和△ADE的面積關(guān)系，顯然兩者同底等高，則可以將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOD的面積.

過程構(gòu)建 連接OE，OD，如圖2的虛線所示.因?yàn)锳C為⊙O的直徑，則∠AEC＝90°.又知AB＝AC，則BE＝CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則OE是△ABC的中位線，可推知OE∥AB，從而可知S△AOD＝S△ADE，所以S陰影＝S扇形OAD.

通過角度分析，可知∠AOD＝90°，則扇形的面積為S扇形OAD=90π·OA2360=π4，即陰影部分的面積為π4.

解后評析 上述題目利用等積轉(zhuǎn)化求陰影部分的面積，具體為局部等積轉(zhuǎn)化的策略，分為三步構(gòu)建模型：第1步，將陰影部分圖形分割；第2步，結(jié)合面積公式對分割的三角形進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化；第3步，重組圖形，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生掌握上述的等積轉(zhuǎn)化策略，即“分割→等積轉(zhuǎn)化→重組建模”.

4 容斥原理探究

利用容斥原理同樣可以求解陰影部分的面積，該方法適用于涉及基本圖形重疊的不規(guī)則面積求解，模型構(gòu)建為：兩個(gè)基本圖形的面積-被重疊圖形的面積=組合圖形的面積.

教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形特點(diǎn)，提取其中的重疊部分，再利用容斥原理來構(gòu)建.

例3 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC的長為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑畫弧，兩弧分別交AB于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積是 .（結(jié)果保留π）

圖3

思路引導(dǎo) 圖3中的陰影部分有兩段圓弧，直接進(jìn)行面積和差組合不現(xiàn)實(shí).教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生利用容斥原理來分析，關(guān)注其中的重疊部分，則陰影部分面積為扇形BCE與扇形ACD的面積之和與Rt△ABC的面積之差.

過程構(gòu)建 在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，則可求得∠A＝60°，AC=12AB=1，BC=32AB=3.

而陰影部分的面積為S＝S扇形BCE+S扇形ACD-S△ACB=30π·BC2360+60π·AC2360－12AC·BC=5π12－32.

解后評析 上述題目中利用容斥原理來求解陰影部分的面積，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注扇形BCE與扇形ACD的面積的重疊情況，根據(jù)重疊部分與三角形的關(guān)系來構(gòu)建模型.容斥模型在理解時(shí)存在一定的難度，教學(xué)中可以合理作輔助線，利用直觀圖形引導(dǎo)學(xué)生思考.

5 教學(xué)建議

上述綜合探究了陰影部分面積的破解策略，構(gòu)建了分步構(gòu)建方案，以及三種轉(zhuǎn)化方法.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

5.1 梳理問題，分步構(gòu)建

與圓有關(guān)的陰影部分面積問題，其特點(diǎn)為綜合了圓、三角形、四邊形等幾何圖形，幾何綜合性較強(qiáng).教學(xué)中需要對常見情形進(jìn)行梳理，指導(dǎo)學(xué)生明晰問題特點(diǎn)，再從題設(shè)條件入手來分析處理流程.上述總結(jié)了三步構(gòu)建策略，教學(xué)說明中要注意三點(diǎn)：一是關(guān)注扇形、圓弧的處理技巧講解；二是關(guān)注線段、角度的推導(dǎo)分析；三是圖形拆解的處理方法.教學(xué)可以結(jié)合具體問題，引導(dǎo)學(xué)生按照“條件解讀→分析處理→模型構(gòu)建→推導(dǎo)計(jì)算”的流程來處理問題.

5.2 方法探究，模型構(gòu)建

上述總結(jié)了三大轉(zhuǎn)化方法，是不規(guī)則圖形面積的處理核心策略，教學(xué)中建議圍繞三大轉(zhuǎn)化方法深入探究.需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三點(diǎn)：一是方法的具體含義；二是結(jié)合解法構(gòu)建模型；三是挖掘方法背后的深層內(nèi)涵，包括方法本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想.教學(xué)時(shí)可以結(jié)合具體模型，利用模型來直觀講解，如構(gòu)造和差轉(zhuǎn)化時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生作輔助線來拆解不規(guī)則圖形，從整體視角來思考面積組合關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建面積模型.

5.3 實(shí)例精講，引導(dǎo)思路

“實(shí)例講解”是解法教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，合理引導(dǎo)可以幫助學(xué)生強(qiáng)化理解方法.具體教學(xué)中不應(yīng)注重講解的“量”，而忽視“質(zhì)”，即注意實(shí)例精講，引導(dǎo)思路構(gòu)建.以上述解法探究的實(shí)例講解為例，按照“思路引導(dǎo)→過程構(gòu)建→解后評析”流程來開展，精選問題，首先引導(dǎo)學(xué)生分析問題，明確不規(guī)則圖形面積的轉(zhuǎn)化策略，再構(gòu)建解題過程，解題后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思，對解題過程與方法進(jìn)行評析，完成解題的閉環(huán).

5.4 探究拓展，素質(zhì)提升

解法探究專題教學(xué)中，建議教師合理開展變式拓展，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維與能力的強(qiáng)化提升.該環(huán)節(jié)可以從以下兩個(gè)角度進(jìn)行拓展：一是解法組合拓展，重新整合方法，如面積和差法的組合方式，針對同一問題，探索多種組合求解；二是綜合探究變式，如與三角函數(shù)、拋物線、網(wǎng)格等知識相結(jié)合.變式探究過程中，需注意思維引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思考，可以合理設(shè)置問題，分階段引導(dǎo)，充分鍛煉學(xué)生的思維.

6 結(jié)語

與圓有關(guān)的陰影部分面積問題的教學(xué)探究，要關(guān)注解題策略的構(gòu)建，雖然問題相對較為簡單，但具體教學(xué)中，應(yīng)注重方法的解讀與歸納.以學(xué)生為課堂探究的主體，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，以“小問題”的講解，“窺探”類型題的本質(zhì)，從而透視面積問題的解法.

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