基于深度學(xué)習(xí)下的課堂教學(xué)探究（2）

【摘要】本文致力于深入探索深度學(xué)習(xí)理論在教授“三角函數(shù)的性質(zhì)”這一數(shù)學(xué)知識點中的應(yīng)用.借助詳細(xì)的例題解析，闡釋深度學(xué)習(xí)理論如何引導(dǎo)教學(xué)實踐，并有效促進(jìn)學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的深入理解和掌握.通過本研究，期望為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域帶來新的視角和啟示，推動教學(xué)方法的創(chuàng)新和優(yōu)化，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí)；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

1 引言

深度學(xué)習(xí)是機(jī)器學(xué)習(xí)的一個子領(lǐng)域，它利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬人腦神經(jīng)元的連接方式，通過逐層傳遞信息來處理大量數(shù)據(jù).與傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法相比，深度學(xué)習(xí)具有更強(qiáng)的特征提取能力，能夠自動從原始數(shù)據(jù)中挖掘出有用的信息.這使得深度學(xué)習(xí)在圖像識別、語音識別、自然語言處理等領(lǐng)域取得了顯著的成果.深度學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)教育中具有舉足輕重的地位，它注重知識的層次性、結(jié)構(gòu)化和關(guān)聯(lián)性，為學(xué)生提供了一種全面、系統(tǒng)且深入的學(xué)習(xí)途徑.與傳統(tǒng)的表層學(xué)習(xí)方式不同，深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)對知識的深入理解和綜合運用，幫助學(xué)生建立起完整、穩(wěn)固的知識體系.本文以“三角函數(shù)的性質(zhì)”為例，詳細(xì)分析深度學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，并通過實際例題展示其教學(xué)效果.

2 例題呈現(xiàn)

例1 定義：sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ，

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ，cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ；例如cos30°=cos60°－30°=cos60°cos30°+sin60°sin30°=12×32+32×12=32.

（1）cos15°=，sin90°=，sin2x=；

（2）定義：tanA=sinAcosA，證明：tan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβ（1－tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）．

解析 （1）cos15°=cos45°－30°=cos45°cos30°

+sin45°sin30°=22×32+22×12=64+24；

sin90°=sin45°+45°=sin45°cos45°+cos45°sin45°=22×22+22×22=12+12=1；

sin2x=sinx+x=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx.

（2）證明 因為tanα+β=sinα+βcosα+β

=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，

tanα+tanβ1－tanαtanβ=sinαcosα+sinβcosβ1－sinαsinβcosαcosβ

=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ

=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，

所以tan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβ．

題目分析 第一問提供新的正余弦三角函數(shù)的定義和公式，要求學(xué)生自行學(xué)習(xí)和應(yīng)用這些公式，利用和差公式求解特殊角的值.這一步驟旨在檢測學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、對新知識的接受能力和基本運算技能.第二問是對學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的全面考驗.要求學(xué)生利用已學(xué)的正余弦和差公式以及正切函數(shù)的定義，證明正切的和差公式.這一步驟要求學(xué)生綜合運用之前的知識和技能，通過推理和計算，完成公式的證明.這不僅是對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的考查，更是對其邏輯思維、分析和解決問題能力的全面檢驗.

例2 嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245=222+222=1．

據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．

（1）當(dāng)α=30°，β=60°時，驗證sin2α+sin2β=1是否成立；

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖2所示的Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c；若不成立，請舉出一個反例；

（3）利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，cosα之間的關(guān)系．

圖2

解析 （1）因為sin30°=12，sin60°=32，

所以sin2α+sin2β=122+322=1，結(jié)論成立.

（2）成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，sinβ=bc且a2+b2=c2，

所以sin2α+sin2β=ac2+bc2=a2+b2c2=

c2c2=1，故結(jié)論成立.

（3）在Rt△ABC中，sinα=ac，cosα=bc，tanα=ab，

所以tanα=acbc=sinαcosα，

所以tanα=sinαcosα．

題目分析 本題通過三個層次的問題設(shè)計，逐步引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，從觀察歸納到邏輯推理，從知識應(yīng)用到證明技能的培養(yǎng)，有效地促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).第一問：題目從特殊角的三角函數(shù)關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納并猜想一般角的互為余角的兩個角的正弦函數(shù)關(guān)系.這種設(shè)計有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和歸納思維，使他們在探究過程中形成對一般規(guī)律的初步認(rèn)識，還激發(fā)了他們的探究欲望和數(shù)學(xué)猜想能力.學(xué)生在第一問的基礎(chǔ)上形成了對一般角互為余角的兩個角的正弦函數(shù)關(guān)系的猜想，第二問進(jìn)一步要求學(xué)生在直角三角形中利用已知的三角函數(shù)定義和性質(zhì)，對猜想進(jìn)行證明.這一步驟需要學(xué)生運用幾何知識、三角函數(shù)定義和邏輯推理能力，將猜想轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明.第三問進(jìn)一步加深了難度，要求學(xué)生利用之前的知識和證明技能，證明正切與正余弦之間的同角三角函數(shù)關(guān)系.這一步不僅是對學(xué)生前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用，更是對他們邏輯推理和證明能力的高層次檢驗.

3 結(jié)語

通過對初中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)典型例題的分析，我們可以清晰地看到深度學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的深遠(yuǎn)影響.本文通過例題的分層深入和逐步引導(dǎo)，有效地促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).這樣的考題設(shè)計不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和技能，更重要的是培養(yǎng)了他們的自主學(xué)習(xí)能力、邏輯推理能力和綜合運用知識的能力，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和深度學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成具有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］丁益民.實施中觀教學(xué)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2020（20）：6-8.

［2］林才雄.深度學(xué)習(xí)視域下的“問題串”設(shè)計的教學(xué)案例——以“三角函數(shù)的概念”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（16）：16-19.