基于波利亞解題理論的實例分析

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識點之一，考查了學(xué)生的函數(shù)思想和抽象思維能力.在二次函數(shù)的教學(xué)過程中，提高學(xué)生關(guān)于二次函數(shù)問題的解題能力，可以促進他們抽象思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).本文將波利亞的解題理念與二次函數(shù)教學(xué)相結(jié)合，將其運用到二次函數(shù)問題的解答之中，并列舉實例進行講解，以期提高學(xué)生解決二次函數(shù)問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；波利亞理論；二次函數(shù)

1 精細分析條件，擬定合適計劃

在進行二次函數(shù)教學(xué)時，教師扮演著引導(dǎo)學(xué)生、激發(fā)解題靈感的角色，幫助學(xué)生在題干的已知條件和待求的未知量之間建立聯(lián)系.當然，促使學(xué)生靈感激發(fā)并不是一朝一夕之事，需要學(xué)生有豐富的解題經(jīng)驗和深厚的理論知識.因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該不厭其煩地為學(xué)生鞏固知識點，并傳授分析問題、解決問題的技巧，引導(dǎo)他們找到明確的解題思路，形成經(jīng)驗總結(jié).以下題為例.

例1 已知拋物線的解析式為y=x2+bx+c，將其圖象先向上平移2個單位，再向左平移5個單位，最終得到的圖象的解析式為y=x2+4x－5，請問b和c的值是多少？

教師 請認真思考，對于這個問題，大家在解題上有沒有想法分享？

學(xué)生1 這個問題考查的是二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，已知平移后圖象的解析式，以及平移過程，我們可以從“左加右減，上加下減”的角度入手，順向推理，求出原函數(shù)平移后的解析式，然后根據(jù)系數(shù)相等的原則求出b和c的值.

學(xué)生2 我同意這個解法，在之前碰到的題目中，題干中都給出了二次函數(shù)的具體表達式，以及平移過程，然后要求我們求出平移后的表達式.這個題目雖然原式解析式未知，但是一樣可以用這個方法，我們可以先把原函數(shù)看作已知，按照平移規(guī)則得到平移后的解析式，然后將系數(shù)作等號，求得b和c的值.

教師 非常棒！同學(xué)們不僅對這道題的分析非常正確，而且還能聯(lián)系到之前遇到過的題目.那么按照剛剛的思路，同學(xué)們動手試試看能否解出答案！

……

教師 好，同學(xué)們都解完了吧，我們待會兒再核對答案.現(xiàn)在我們再思考一下，這個問題能不能采用逆向思維進行解答.注意，平移后的函數(shù)是沒有未知數(shù)的.

學(xué)生3 可以，題干已給出平移后的函數(shù)解析式，將平移過程逆向，可以還原回原函數(shù)的表達式，從而求出未知數(shù)的值.

教師 舉一反三非常棒！大家試著計算一下，看解得的答案是否一致，另外再看看有沒有新發(fā)現(xiàn).

解題分析 解題思路如圖2所示.

圖2

2 鼓勵學(xué)生一題多解，發(fā)散學(xué)生思維

“條條大路通羅馬”，但每條通往羅馬的道路其通暢程度是各有不同的，解答數(shù)學(xué)問題也是如此.在解答數(shù)學(xué)問題時，雖然從不同的角度切入或采用不同的方法最終解得的答案是相同的，但運用不同方法涉及的計算量和邏輯推理的難度是不同的.因此，在教學(xué)過程中，教師可以多鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生嘗試用多種解法去解答一個問題，然后分析比較各種方法的優(yōu)劣之處，找到一個最佳的解題方法.這樣不僅可以讓學(xué)生跳出思維定勢，開拓思維，還可以增加該知識點的廣度和深度.以下題為例.

例2 已知點A3，y1，B－1，y2，C2，y3為二次函數(shù)y=3x－22+k圖象上的三個點，請判斷y1、y2、y3的大小關(guān)系.

解題分析

解法1 代入法

比較3個未知數(shù)的大小，最直接的方法是求出它們的具體值，然后進行比較.這里直接使用代入法將A，B，C三點的橫坐標代入解析式中，可得y1=3+k，y2=27+k，y3=k，雖然求出的值中含有參數(shù)，但并不影響大小的比較，可直接得到y(tǒng)2>y1>y3.

解法2 對稱軸法

根據(jù)題干給出的表達式可知，該函數(shù)圖象的開口向上，且對稱軸為x=2，因為C點恰好是圖象的頂點，所以C點的縱坐標最小，即y3最?。挥忠驗锳，B兩點位于對稱軸的兩側(cè)，我們可以先畫出二次函數(shù)的圖象草圖，如圖3所示，從圖象中可以看出，當一個點離對稱軸水平距離越遠時，其縱坐標的值就越大.根據(jù)xA=3－2=1，xB=－1－2=3可知，B點距離對稱軸的水平距離更遠，故B點的縱坐標值最大，即y2>y1>y3.

綜上兩種解題方法，可能對于一些基礎(chǔ)較差的學(xué)生而言，首先想到的是第一種解法，即代入A，B，C三點的橫坐標進行求值比較.然而，當問題中涉及較多、較復(fù)雜的參數(shù)時，可能無法對求得的縱坐標進行直接比較，這種方法便不太適用.因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該多激勵學(xué)生去嘗試用多種方法解題，比如對二次函數(shù)的圖象特征進行分析，引導(dǎo)他們從另一個角度去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，掌握更多的解題方法，以期望不論在教學(xué)還是在解題中都達到舉一反三的效果.

圖3

3 結(jié)語

本文對波利亞解題理念在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題中的應(yīng)用進行探究，旨在提高學(xué)生解決二次函數(shù)相關(guān)問題的能力，并為教師提供一個二次函數(shù)教學(xué)參考.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當作為引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，想盡辦法讓學(xué)生參與到自己的教學(xué)過程中，為問題的提出和解決做出自己的貢獻.

參考文獻：

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