二次函數(shù)的解題思路分析

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)是函數(shù)學(xué)習(xí)中難度最大的內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，常作為壓軸題，旨在對學(xué)生的綜合解題能力與核心素養(yǎng)進(jìn)行檢測，是為高中篩選學(xué)生的重要手段.二次函數(shù)的解析式是解決函數(shù)問題的第一把鑰匙，同時(shí)也是學(xué)生區(qū)分函數(shù)類型的重要基礎(chǔ)條件，因此，對二次函數(shù)解析式求解進(jìn)行研究是十分有必要的，常見的二次函數(shù)解析式有一般式、頂點(diǎn)式與交點(diǎn)式，掌握相應(yīng)的解題思路與策略，才能高效地達(dá)到解決問題的目的.本文主要以求解二次函數(shù)的解析式為例，探究多樣化的解題思路，為學(xué)生二次函數(shù)的學(xué)習(xí)提供有效的參考.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題思路

在中學(xué)階段數(shù)學(xué)綜合測試中，關(guān)于二次函數(shù)的測試內(nèi)容，求解二次函數(shù)的解析式是必考內(nèi)容，同時(shí)也是其他各類題型考查的基礎(chǔ).并且對于高中階段來說，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的入門知識之一，不僅要求學(xué)生具有靈活的數(shù)學(xué)思維，可以從題目中找出隱含的信息，求解函數(shù)解析式，還要求學(xué)生具有數(shù)形結(jié)合的思想，通過觀察、分析函數(shù)圖象，解決難度較高的函數(shù)幾何問題.而二次函數(shù)作為初中函數(shù)教學(xué)中的高峰，對其進(jìn)行研究具有重要意義.本文將從二次函數(shù)的三種解析式的求解入手，通過數(shù)形結(jié)合的方式，探究一元二次函數(shù)的解題策略，以期能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)有所啟發(fā).

1 一般式法

一般的，形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，y=ax2+bx+c（a≠0）稱為二次函數(shù)的一般表達(dá)式，是所有表達(dá)式中最基礎(chǔ)，也是最常見的一種形式.

例1 已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10），（1，4），（2，7）三個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析 根據(jù)題意，問題給出了二次函數(shù)的三個(gè)點(diǎn)，因此，可使用待定系數(shù)法，將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)的x、y值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于未知系數(shù)a、b、c的三元一次方程組，通過解方程組，得出關(guān)于x的二次函數(shù)的一般表達(dá)式.

解析 設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c （a≠0），

將三點(diǎn)（-1，10），（1，4），（2，7）分別代入表達(dá)式，

得10=a－b+c4=a+b+c7=4a+2b+c，

解這個(gè)方程組，得 a=2b=－3c=5，

故所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=2x2－3x+5.

2 頂點(diǎn)式法

一般的，若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）或?qū)ΨQ軸為x=h，又或是x的最值為h，y的最值為k，則將形如y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）的式子稱為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.

例2 已知一元二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6），并且該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析 二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是由一般式經(jīng)過配方法轉(zhuǎn)化而成的，當(dāng)題目已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，表達(dá)式中僅剩一個(gè)未知系數(shù)a，因此，再知道二次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可對二次函數(shù)的頂點(diǎn)式進(jìn)行求解.

解析 根據(jù)題意可得，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0），

因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-6），

則 y=a（x+1）2－6（a≠0）.

又因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3），將坐標(biāo)代入上式，得3=a（2+1）2－6，

解得a=1，

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=（x+1）2－6，

可將其化為一般式得y=x2+2x－5.

3 交點(diǎn)式（兩根式）法

一般的，在坐標(biāo)中，已知二次函數(shù)圖象與x軸分別交于點(diǎn)（x1，0）與點(diǎn)（x2，0），則將形如y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）的式子稱為二次函數(shù)的交點(diǎn)式，由于x1、x2是對應(yīng)函數(shù)的兩個(gè)根，因此，又將其稱為兩根式.

例3 已知二次函數(shù) （a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2與1，且經(jīng)過點(diǎn)（0，3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析 二次方程的交點(diǎn)式是由一般式通過兩根之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化而來，用于求解已知函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)與其他任意一點(diǎn)坐標(biāo)情況下的二次函數(shù)的解析式，然后將已知坐標(biāo)代入表達(dá)式，求出未知系數(shù)a即可.

解析 根據(jù)題意可知，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），

因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2與1，

則y=a（x+2）（x－1）.

又因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），將坐標(biāo)代入上式，得

3=a（0+2）（0－1），

解得a=-32.

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-32（x+2）（x－1），

將其化為一般式為y=-32x2-32x+3.

變式題 如圖1所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求解該一元二次函數(shù)的解析式.

圖1

分析 本題的解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，函數(shù)對稱軸x=2，A（-1，0），B（5，0），C（0，5），c=5.

解法1 由圖象可知，圖象經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三點(diǎn)，則設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得0=a－b+c0=25a+5b+c5=c，

解得 a=－1，b=4，c=5，

則所求表達(dá)式為y=－x2+4x+5.

解法2 由圖象可知，圖象與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（5，0），且c=5，

據(jù)韋達(dá)定理可知，

x1x2=ca=－5，x1+x2-ba=4，

解得a=－1，b=4.

則所求表達(dá)式為y=－x2+4x+5.

解法3 由解法2可得，－b2a=2，4ac－b24a=9.

即二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），

則所求函數(shù)的頂點(diǎn)式為 y=－（x－2）2+9.

解法4 由圖象可知，圖象與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（5，0），并且經(jīng)過點(diǎn)C（0，5），

則可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），

將A、B兩點(diǎn)代入上述表達(dá)式得y=a（x+1）（x－5）（a≠0），

又因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，5），將坐標(biāo)代入上式，

得5=a（0+1）（0－5），

解得a=－1，

則所求函數(shù)的交點(diǎn)式為y=－（x+1）（x－5）.

4 結(jié)語

綜上所述，對于二次函數(shù)解析式的求法，主要分為一般式、頂點(diǎn)式與交點(diǎn)式，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目或給出的二次函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合的方式，找準(zhǔn)已知條件，并假設(shè)最佳的表達(dá)形式，然后將已知條件代入假設(shè)的表達(dá)式，求出相應(yīng)的未知系數(shù)，即可求出二次函數(shù)的解析式.