換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】本文旨在探討換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題策略，通過(guò)引入新的變量替代原問(wèn)題中的部分或全部變量，可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易于處理的簡(jiǎn)單問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)換元法概念和應(yīng)用的闡述，結(jié)合實(shí)例分析換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】換元法；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

換元法是一種在數(shù)學(xué)解題中常用的策略，其基本思想是通過(guò)引入新的變量替代原問(wèn)題中的部分或全部變量，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易于處理的簡(jiǎn)單問(wèn)題.這種策略在解決某些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)非常有效，尤其在解決一些難以直接求解的問(wèn)題時(shí)，換元法能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而找到解決方案.

1 運(yùn)用換元法進(jìn)行降元處理

例1 如果x+32=y－13=z－24，且x+y+z=18，則2x－y－z的值為 ．

解析 設(shè)x+32=y－13=z－24=k，

則x=2k－3，

y=3k+1，

z=4k+2，

因?yàn)閤+y+z=18，

所以2k－3+3k+1+4k+2=18，

所以k=2，

所以x=1，y=7，z=10，

所以2x－y－z=2－7－10=－15.

評(píng)析 此題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)x+32=y－13=z－24=k，得出x=2k－3，y=3k+1，z=4k+2，再根據(jù)x+y+z=18，求出k的值，從而得出x，y，z的值，最后代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．運(yùn)用換元法將多元問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題解決，簡(jiǎn)單又直觀．

2 運(yùn)用換元法進(jìn)行整體代換

例2 已知關(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx－ny=8的解是x=4，y=6，

則關(guān)于x，

y的方程組

2ax+y+3b（x－y）=102mx+y－3n（x－y）=8的解是 ．

解析 因?yàn)殛P(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx－ny=8的解是x=4，y=6，

2ax+y+3bx－y=10，2mx+y－3nx－y=8，

所以若令p=2x+y，q=3x－y，

則方程組2ax+y+3bx－y=102mx+y－3nx－y=8的解為

p=2x+y=4，q=3x－y=6，

所以解方程組2x+y=4，3x－y=6，

得x=2，y=0.

評(píng)析 本題考查二元一次方程組的解及同解方程組，利用整體思想和換元法進(jìn)行整體代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)條件及所求，由同解方程組的性質(zhì)得到方程組2x+y=43x－y=6，求解即可得到答案．

3 運(yùn)用換元法求解比值問(wèn)題

例3 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Ax1，y1，點(diǎn)Bx2，y2在雙曲線y=3x上，且0<x1<x2，分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的平行線，與雙曲線y=6x分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，若△AOB的面積為94，則ACBD的值為（ ）

（A）23． （B）33．

（C）12． （D）33．

圖1

解析 如圖2所示，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的垂線，交點(diǎn)分別為點(diǎn)G、F，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交點(diǎn)為點(diǎn)E，

設(shè)Ax1，3x1，Bx2，3x2，

則C2x1，3x1，D2x2，3x2，

Ex2，0，F(xiàn)0，3x2，G0，3x1

S△AOB=S五邊形OEBAG－S△OAG－S△OBE

=S四邊形ABFG+S四邊形OEBF－S△OAG－S△OBE，

則S△AOB=12x1+x23x1－3x2+3－2×12×3=3x22－x212x1x2=94，

令A(yù)CBD=x1x2=t，

則x1=tx2，

代入3x22－x212x1x2，

3x22－tx222tx2·x2=3x221－t22tx22=31－t22t，

則31－t22t=94，

解得t=12，t=－2（舍），

則ACBD的值為12．故選（C）．

圖2

點(diǎn)睛 此題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義與換元思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用k的幾何意義和巧妙地通過(guò)換元法尋找ACBD與△AOB面積的關(guān)系．通過(guò)設(shè)點(diǎn)法，設(shè)出Ax1，3x1，Bx2，3x2，C2x1，3x1，D2x2，3x2，表示出△AOB的面積，再借助整體換元思想，令A(yù)CBD=x1x2=t，求出t值即可．

4 運(yùn)用換元法解題的注意事項(xiàng)

第一，明確換元的目的是關(guān)鍵.在應(yīng)用換元法時(shí)，需要明確引入新變量的目的和意義，以及如何通過(guò)新變量解決原問(wèn)題，如果換元后沒(méi)有起到解決問(wèn)題或簡(jiǎn)化問(wèn)題的作用，這樣的換元是無(wú)效的.

第二，需要合理選擇換元方式.換元方式的選擇沒(méi)有固定的模式，需要根據(jù)具體問(wèn)題而定，選擇合適的換元方式可以更好地解決問(wèn)題.

第三，注意等價(jià)性.在換元過(guò)程中，需要保證新舊變量之間的關(guān)系是等價(jià)的，即替換前后的問(wèn)題本質(zhì)并沒(méi)有發(fā)生根本性的變化.

第四，靈活運(yùn)用.換元法不是萬(wàn)能的解題方法，并不是所有的問(wèn)題都可以用換元法來(lái)解決，需要根據(jù)具體問(wèn)題靈活選擇其他方法進(jìn)行輔助求解.

5 結(jié)語(yǔ)

換元法在代數(shù)式的變形中具有廣泛的應(yīng)用.例如，在解一元二次方程時(shí)，通過(guò)換元可以將方程轉(zhuǎn)化為二次方程的判別式是正值的情況，從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解過(guò)程.換元法也可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.總之，換元法是一種行之有效的數(shù)學(xué)解題策略，在初中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用.通過(guò)引入新的變量替代原有的變量，換元法可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的換元法意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握這一重要策略，以提高解題效率和質(zhì)量.

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