初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題技巧

【摘要】初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)中難度最大的問題之一，綜合考查了初中數(shù)學(xué)的代數(shù)問題和幾何問題，不僅要求學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且需要學(xué)生靈活選用各種數(shù)學(xué)知識(shí)，如方程、函數(shù)、幾何知識(shí)等進(jìn)行計(jì)算和推理．本文以構(gòu)造相似三角形求解動(dòng)態(tài)幾何問題、利用二次函數(shù)性質(zhì)求解動(dòng)態(tài)幾何問題等角度進(jìn)行闡述，希望能啟發(fā)學(xué)生思維，提升學(xué)生核心素養(yǎng)．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)幾何；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)中，動(dòng)態(tài)幾何問題是一種綜合性問題，它涉及幾何、代數(shù)、三角形等多方面的知識(shí)，需要學(xué)生具備較高的思維能力和解題技巧．這類問題通常涉及圖形的運(yùn)動(dòng)變化，需要學(xué)生根據(jù)題目的描述，通過分析、推理和計(jì)算，尋找出問題的答案．因此，掌握初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題技巧，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和解決問題的能力具有重要意義．

1 構(gòu)造相似三角形求解動(dòng)態(tài)幾何問題

例1 如圖1所示，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，連接EF，作∠GEF=60°且△GEF的面積為33，求DG的最小值．

解析 如圖2所示，連接CE，

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，

所以BE=4，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，

所以BC=AB=8，

又因?yàn)椤螧=60°，

所以△BCE為含有30°角的直角三角形，

所以根據(jù)勾股定理可得EH=23，

且可得到∠BCE=30°，

因?yàn)椤鱃EF面積為33，

所以S△GEF=12EG·EF·sin60°=33，

所以EG·EF=12，

構(gòu)造△EHF相似于△EGT，可得EFET=EHEG，

因?yàn)椤螮GT=90°，

所以ET=23

點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)，

所以r=3，

在Rt△OCD中，OC=33，OD=91，

DG≥OD－OG=91－3，

所以DG的最小值為91－3．

圖1

圖2

評析 本題難度很大，主要考查菱形的性質(zhì)特點(diǎn)，以及利用直角三角形和勾股定理等構(gòu)造相似三角形，繼而根據(jù)三角形第三邊大于兩邊之差解決問題．重點(diǎn)在于根據(jù)乘積一定，構(gòu)造相似，且利用圓的特性和三角形的性質(zhì)判定最小值．

2 利用二次函數(shù)性質(zhì)求解動(dòng)態(tài)幾何問題

例2 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0與x軸交于A－1，0，C4，0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B．

圖3

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足△ABD與△BCD的面積相等，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)P，且滿足△BFP與△CEP相似，求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

解析 （1）因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A－1，0，C4，0兩點(diǎn)，

所以a－b+4=0，16a+4b+4=0，

解得a=－1，b=3，

所以該拋物線的解析式為y=－x2+3x+4.

（2）拋物線y=－x2+3x+4與y軸交于點(diǎn)B，

所以B0，4），

因?yàn)辄c(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABD與△BCD的面積相等，

所以BD∥AC，所以D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，

當(dāng)y=4時(shí)，

即－x2+3x+4=4，

解得x1=0，x2=3，

所以D3，4.

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

所以b=4，4k+b=0，

解得k=－1，b=4，

所以直線BC的解析式為y=－x+4.

設(shè)Fm，0，

則E（m，－m2+3m+4），Pm，－m+4，

因?yàn)镺B=OC=4，

所以△BOC是等腰直角三角形，

所以∠BCO=45°，

因?yàn)镋F⊥AC，

所以△CPF是等腰直角三角形，

所以CP=24－m，

所以BP=42－24－m=2m.

①當(dāng)△BPF∽△CPE時(shí)，

則PEPF=PCPB，

所以－m2+3m+4+m－44－m=24－m2m，

解得m=－1±172或m=4，

因?yàn)閙>0且m≠4，

所以m=－1+172；

②當(dāng)△BPF∽△EPC時(shí)，

則PBPE=PFPC，

所以2m－m2+3m+4+m－4=4－m24－m，

解得m=2或m=0（不合題意舍去），

所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2或－1+172．

評析 本題是關(guān)于二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)幾何綜合問題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形的面積公式，分類討論是解題的關(guān)鍵．第（1）問中，根據(jù)題意列方程組，解方程組得到該拋物線的解析式；第（2）問中，根據(jù)點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABD與△BCD的面積相等，于是得到BD∥AC，求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，解方程即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；第（3）問中，設(shè)出直線BC的解析式，通過解方程的方法得到直線BC的解析式，設(shè)Fm，0，E（m，－m2+3m+4），Pm，－m+4，根據(jù)已知條件得到△BOC是等腰直角三角形，△CPF是等腰直角三角形，用m表示出CP和BP的長度，分情況討論，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解方程即可得到結(jié)論．

3 結(jié)語

解決初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題一般難度都較大，需要認(rèn)真審題、建立模型、借助輔助線、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)等方法．通過掌握這些解題技巧，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和解決問題的能力．同時(shí)，在解題過程中要注意細(xì)節(jié)和準(zhǔn)確性，確保解題的正確性．在今后的學(xué)習(xí)中，教師要有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生處理動(dòng)態(tài)幾何問題的能力，完成為黨育人、為國育才的育人使命．

參考文獻(xiàn)：

［1］劉麗麗.初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題常用解題方法探究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（19）：28-29.

［2］焦多琛.初中動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)難點(diǎn)問題與對策［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2022（09）：50-51.

［3］魏慶雪.動(dòng)態(tài)幾何問題的解題探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（24）：75-76.

［4］王涵.初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題方法［J］.數(shù)理化解題研究，2022（26）：2-4.