輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

【摘要】本文著重介紹了輔助圓在求解角度大小問題以及幾何題目中的應(yīng)用，闡述具體解題思路，在簡(jiǎn)化幾何問題，解決問題的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力與邏輯思維能力.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

教師可以指導(dǎo)學(xué)生觀察題干中的已知條件，并利用條件構(gòu)造輔助圓，將問題中的角與輔助圓相關(guān)的其他角建立聯(lián)系，如圓周角定理、圓心角定理或弦切角定理等，以此來輔助學(xué)生更好地完成題目的解答［1］.

1 利用輔助圓求解角的大小

例1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，∠BAC=60°，其中AD將∠BAC平分，且與線段BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM并延長，交DE，AC于點(diǎn)F和G.

（1）求解線段CD.

（2）點(diǎn)M作為線段AD中點(diǎn)，求EFDF的值.

（3）試問DM滿足哪些條件后，線段DE上有一點(diǎn)P，讓∠CPG=60°？

圖2

解 （1）根據(jù)題干信息，因?yàn)榫€段AD平分∠BAC，且∠BAC為60°，

所以∠DAC=12∠BAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=AC·tan30°=6×33=23，

所以CD的長為23.

（2）結(jié)合題干信息，可以得到：

BC=63，BD=43，

因?yàn)镈E∥AC，

所以∠FDM=∠GAM，

因?yàn)锳M=DM，∠DMF=∠AMG，

所以△DFM≌△AGM（ASA），

所以DF=AG，

因?yàn)镈E∥AC，

所以EFAG=BEAB=BDBC，

故EFDF=EFAG=BDBC=4363=23.

（3）因?yàn)椤螩PG=60°，過C，P，G作外接圓，圓心為Q，

所以△CQG是頂角為120°的等腰三角形，

①當(dāng)⊙Q與DE相切時(shí)，如圖1，作QH⊥AC于H，交DE于P，連接QC，QG.

設(shè)⊙Q的半徑為r，

則QH=12r，r+12r=23，

所以r=433，

所以CG=433×3=4，AG=2，利用相似求出DF的值為83.

由△DFM∽△AGM，可得，DMAM=DFAG=43.

所以DM=47AD=47AD．

又AD=43，所以DM=1633.

②⊙Q經(jīng)過點(diǎn)E，繪制出如圖2所示圖形，將CQ延長后與線段AB相交于點(diǎn)K，此時(shí)可以設(shè)定線段CQ為r，

因?yàn)镼C=QG，∠CQG=120°，

所以∠KCA=30°，

因?yàn)椤螩AB=60°，

所以∠AKC=90°，

在Rt△EQK中，QK=33－r，EQ=r，EK=1，

所以12+（33－r）2=r2，

解得r=1493，

所以CG=1493×3=143，

由△DFM∽△AGM，可得DM=1435．

③當(dāng)⊙Q過點(diǎn)D，可以繪制出如圖3所示圖像，其與點(diǎn)M，G均重合在點(diǎn)A處，最終可以得到線段DM=AD=43.

圖3

綜上，當(dāng)DM=1637或1435＜DM≤43時(shí)，滿足條件的P點(diǎn)只有一個(gè).

點(diǎn)撥 本題目實(shí)質(zhì)是一道角度定值的問題，因?yàn)镚點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，題目難度有所增加，將G點(diǎn)確定后，可以降低解題難度，這就需要思考線段DE上恰好只有一個(gè)P點(diǎn)所滿足的條件，需要進(jìn)行分類討論.

2 用輔助圓解幾何題目

例2 如圖4，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠BAD=∠CAE，BD=CE，求證：AB=AC.

圖4

解 如圖5，作△ADE的外接圓，交AB，AC于點(diǎn)M，N，由∠BAD=∠CAE得MD=NE，∠MAE=∠NAD，由圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)得∠MDB=∠NEC，且BD=CE，故△BDM≌△CEN，故∠B=∠C，所以AB=AC.

圖5

點(diǎn)撥 在這道題目中使用傳統(tǒng)方式是無法直接得到結(jié)論，在解題過程中學(xué)生使用傳統(tǒng)方式解決，總會(huì)覺得少一些條件信息，而通過構(gòu)造輔助圓，逐步引出全等條件，進(jìn)而使問題得到解決，得到最終結(jié)果.

3 結(jié)語

解決初中數(shù)學(xué)題目，在對(duì)其進(jìn)行深入分析和討論的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造符合要求的輔助圓，可以簡(jiǎn)化解題步驟，降低解題難度.

參考文獻(xiàn)：

［1］韓月紅.輔助圓在解幾何題中的妙用［J］.新課程導(dǎo)學(xué)，2020（29）：57-58.