在初中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合法的運用分析

【摘要】數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學解題中堪稱一種高效策略，它巧妙地將抽象的數(shù)學理念與直觀幾何圖形融合，借助圖形直觀地揭示數(shù)學規(guī)律.這種方法不僅有助于深化對數(shù)學知識的理解，也有助于培養(yǎng)學生的空間想象力和邏輯思維能力.數(shù)形結(jié)合法涵蓋諸如利用具體數(shù)形元素在學前階段激發(fā)學生興趣與經(jīng)驗，以及在課堂教學中創(chuàng)設數(shù)形結(jié)合情境以加深學生理解等實踐途徑.不僅容易激發(fā)學生的興趣，提高思維能力，增強解題技巧，還在教學過程中凸顯了綜合素質(zhì)教育的導向.

【關鍵詞】初中數(shù)學；解題方法；數(shù)形結(jié)合法

1 借助數(shù)形結(jié)合思想，解決反比例函數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學中反比例函數(shù)問題的高效方法.反比例函數(shù)形式為y=kx，k為常數(shù)且k≠0，圖象是雙曲線.此法可直觀理解反比例函數(shù)性質(zhì)，并解決復雜問題.

例1 圖1中，直線AB與雙曲線y=kx（k<0）相交于點A和點B，其中點A的坐標為（-2，3），點B的坐標為（m，1）.在直線AB上，選擇一個動點P，使其位于第二象限.從點P引一條直線至原點O，并延長此直線使其與雙曲線再次相交于點C.在點P處，作PD垂直于y軸，垂足為D；在點C處，作CE垂直于x軸，垂足為E.設△POD的面積為S1，△COE的面積為S2.

當不等式S1>S2成立時，求動點P的橫坐標x所在的取值區(qū)間.

解析 ①代數(shù)法

因為A（-2，3）在y=kx上，所以k=-6.

因為點B（m，1）在y=－6x上，所以m=－6.

因為點A（-2，3），B-6，1在一次函數(shù)上，

所以直線AB的解析式為y=12x+4.

設P（a，12a+4），

則S1=12·12a+4·a，

由反比例函數(shù)k的幾何性質(zhì)得S2=3，

圖1

所以12a+4·a＞3.

又因為點P在第二象限，

所以12（12a+4）·（－a）＞3.

在進行題目的解答過程中，我們會發(fā)現(xiàn)這是一元二次不等式的問題.然而，在初中數(shù)學課程中，學生通常沒有學習解決高次不等式的技巧和方法.因此，當面對這類問題時，學生可能會感到困難并選擇放棄.

②幾何法

因為A-2，3在y=kx上，

所以k=-6， 因為點Bm，1在y=-6x上，

所以m=-6.

在圖1中，OP 線段被延長以至于與反比例函數(shù)的圖象相交于點M.從M點向y軸作一條垂線，從而得到交點N.依據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱特征，可以推斷出S2=S△OMN.通過對圖象的分析，可以看出當S1＞S2時，點P落在線段AB 上.因此，可得出結(jié)論：為了滿足上述條件，點 P 的 x 坐標應位于區(qū)間-6 < x < -2.

2 借助數(shù)形結(jié)合思想，解決二次函數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學問題具象化，通過幾何圖形直觀反映出來，以幫助解決數(shù)學中的問題，尤其在處理二次函數(shù)問題時效果顯著.在二次函數(shù)的研究中，常借助坐標平面，將函數(shù)的性質(zhì)和圖形特征結(jié)合起來考慮.

例2 揚州漆器以藝術價值和精湛工藝聞名，其中一款漆器筆筒成本定價為30元/件.銷量y與單價x之間存在一次函數(shù)關系（如圖2）.店主決定每日捐贈150元給“希望工程”，以支持公益事業(yè).為確保捐款后每日純利潤不低于3600元，請確定漆器筆筒銷售單價的范圍.

圖2

解題 考慮到前提條件，可求銷售利潤為W=－10x2+1000x－21000－150.根據(jù)商家對于捐贈及保持利潤不低于3600元的要求，可以建立不等式：W≥3600.即－10x2+1000x－21000－150≥3600，但讓初中學生來攻克這個一元二次不等式可謂相當困難，這時，便可以依托對應的二次函數(shù)圖象分析，將得知銷售單價x的合理取值范圍應為［x1=45，x2=55］元人民幣.根據(jù)圖3顯然45≤x≤55.

圖3

還可以將不等式－10x2+1000x－21000－150≥3600簡化，等式兩邊同時除以x（x＞0），整理后得到－10x+1000≥24750x.為了找到不等式的解集，可以設y1=－10x+1000，y2=24750x，接著分別繪制這兩個函數(shù)的圖形.通過觀察圖象（圖4），可以分析一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關系，從而確定不等式的解集.

圖4

參考文獻：

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