代數(shù)式中“整式”與“分式”的化簡(jiǎn)求值方法探究

【摘要】整式與分式是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn).中考對(duì)整式與分式的考查形式多樣，學(xué)生在處理相應(yīng)的問(wèn)題時(shí)很容易錯(cuò).本文主要針對(duì)整式與分式的化簡(jiǎn)求值進(jìn)行探究，具體從整式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值和整式與分式結(jié)合化簡(jiǎn)求值三個(gè)方面進(jìn)行方法的探究.

【關(guān)鍵詞】整式；分式；初中數(shù)學(xué)；解題

整式和分式是初中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)，在考查時(shí)題型靈活多變，本文主要針對(duì)整式和分式的化簡(jiǎn)求值進(jìn)行方法探究.具體分為整式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值和整式與分式融合的化簡(jiǎn)求值三個(gè)方向進(jìn)行，下面一一展開(kāi).

1 整式的化簡(jiǎn)求值

整式的化簡(jiǎn)求值主要包括加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算和乘方與開(kāi)方，其中乘除運(yùn)算的主要依據(jù)有簡(jiǎn)便運(yùn)算、乘法公式和分解因式等，按照相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可.

例1 （1）計(jì)算：－6+－12024－a2b－1·－2ab32÷a4b5；

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a，

其中a，b滿足|a+1|+（2b－1）2=0.

解析 （1）原式=6+1－4a4b5÷a4b5=7－4=3.

（2）a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a

=a2－2ab+b2+4a2－b2+ab÷－12a

=5a2－ab÷－12a

=a5a－b÷－12a

=2b－10a.

因?yàn)閍，b滿足a+1+2b－12=0，

所以a+1=0，2b－1=0，

解得a=－1，b=12.

將a=－1，b=12代入

2b－10a=1－10×－1=11.

評(píng)注 題目第一小題是整式情境下的計(jì)算問(wèn)題，涉及絕對(duì)值、乘方運(yùn)算和基本的加減乘除運(yùn)算.按照相應(yīng)運(yùn)算法則進(jìn)行即可.

第二小題是要求先化簡(jiǎn)，再代值進(jìn)行計(jì)算，對(duì)a－b2+2a－b2a+b+ab÷－12a進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，所涉及的有完全平方公式、平方差公式、提+4V6tSVIP7KcJ6JaTQhmAQ==公因式和基本的加減乘除運(yùn)算，按照相應(yīng)運(yùn)算法則進(jìn)行即可化簡(jiǎn).難點(diǎn)在于根據(jù)a+1+2b－12=0計(jì)算a，b的值，主要根據(jù)a+1+2b－12=0，且a+1≥0，2a－b2≥0，故a+1=0，2b－1=0.基本步驟是：第一步展開(kāi)，即有括號(hào)去括號(hào)，平方差公式展開(kāi)，完全平方式全部打開(kāi)；第二步合并，進(jìn)行同類項(xiàng)的合并；第三步是代值進(jìn)行計(jì)算.

2 分式的化簡(jiǎn)求值

分式化簡(jiǎn)求值與整式一樣，會(huì)涉及基本運(yùn)算中的加減乘除、乘方與開(kāi)方，同時(shí)乘除運(yùn)算的主要依據(jù)有簡(jiǎn)便運(yùn)算、乘法公式和分解因式等，但是分式化簡(jiǎn)求值中要特別注意分母的情況.

例2 （1）化簡(jiǎn)：1x－1－x+21－x÷x2+3xx－1；

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：1－2x÷x2－4x+4x2－4－x+4x+2，其中x2+2x－12=0.

解析 （1）原式=1x－1+x+2x－1×x－1x2+3x

=x+3x－1×x－1xx+3

=1xx≠0，x≠－3，x≠1.

（2）1－2x÷x2－4x+4x2－4－x+4x+2

=x－2x÷x－22x－2x+2－x+4x+2

=x－2x÷x－2x+2－x+4x+2

=x+2x－x+4x+2

=x+22－x2－4xxx+2

=4xx+2=4x2+2xx≠0，x≠－2.

因?yàn)閤2+2x－12=0，

所以x2+2x=12，

所以4x2+2x=412=13.

評(píng)注 題目依然設(shè)置兩個(gè)題，第（1）題是對(duì)分子的計(jì)算，其中除了加減乘除基本運(yùn)算，還涉及變號(hào)、通分和提公因式.

第（2）題是要求先化簡(jiǎn)，再求值，涉及完全平方式、平方差公式以及通分.分式不管是計(jì)算還是化簡(jiǎn)求值，最基本的思路是“合一”，即多項(xiàng)化一項(xiàng)，遇公式用公式，該通分則通分.基本步驟是：第一步展開(kāi)，即有括號(hào)去括號(hào)，平方差公式展開(kāi)，完全平方式全部打開(kāi)；第二步約分，在第一步的基礎(chǔ)上，能約分的全部約分；第三步合并，在約分后，進(jìn)行同類項(xiàng)的合并；第四步是通分，通分后進(jìn)行整理；第五步是代值進(jìn)行計(jì)算.

3 整式與分式融合的化簡(jiǎn)求值

這種情況不用過(guò)多考慮，遇整式就按照整式的方法處理，遇到分式則按照分式的方法解答即可.

例3 先化簡(jiǎn)，再求值：3+2－3+8+x－1+1x+1÷x2+2xx+1，其中x=2－2.

解析 原式=3+2－3－22+x－1x+1+1x+1×x+1xx+2

=－2+x2x+1×x+1xx+2

=－2+xx+2x≠－2，－1，0.

因?yàn)閤=2－2，

所以－2+xx+2=－2+2－22=－2+1－2=1－22.

評(píng)注 題目類型與前面差不多，但是形式上既有整式部分運(yùn)算，又有分式部分的化簡(jiǎn)求值，但是從整體上說(shuō)整式和分式部分基本是分開(kāi)的，分別進(jìn)行運(yùn)算即可.

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要針對(duì)整式和分式的計(jì)算和化簡(jiǎn)展開(kāi)探究，根據(jù)實(shí)際情況，分成整式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值和整式與分式融合的化簡(jiǎn)求值三個(gè)部分進(jìn)行詳細(xì)討論.通過(guò)以上探究，處理這類題型基本思路均是“合一”，即多項(xiàng)式進(jìn)行合并，最終求值.在處理過(guò)程中，除了基本的加減乘除運(yùn)算，還會(huì)涉及乘方和開(kāi)方，以及平方差公式、完全平方公式、通分與分解因式和提公因式.最后提醒一點(diǎn)，在遇到除法運(yùn)算時(shí)，要記得“除以這個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”.

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