不同建構(gòu)策略，殊途同歸

【摘要】本文針對(duì)一元一次不等式組，提出反解法、數(shù)形結(jié)合法、口訣法及方案類解法四種多元解題方法，幫助初一學(xué)生提升解題效率.反解法通過(guò)逆向推理求解難題；數(shù)形結(jié)合法簡(jiǎn)化復(fù)雜代數(shù)問(wèn)題；口訣法快速確定解集；方案類解法適用于實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景.每種方法均配以例題解析，確保學(xué)生掌握.

【關(guān)鍵詞】一元一次不等式組；初中數(shù)學(xué)

一元一次不等式組，作為中考數(shù)學(xué)的核心板塊，深度融合了代數(shù)符號(hào)與數(shù)值運(yùn)算，對(duì)初一學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)困難.面對(duì)此類問(wèn)題，學(xué)生需精通多元解題策略，掌握高效、精準(zhǔn)的解題路徑.

1 反解法

反解法解題策略的核心在于：先深入剖析題目，理解并梳理給定條件；隨后構(gòu)想與原始條件相悖的假設(shè)性問(wèn)題，并對(duì)其進(jìn)行解答；最后利用在數(shù)軸上直觀呈現(xiàn)的反解答案，逆向推理，從而推導(dǎo)出原題目的準(zhǔn)確解.

例1 若不等式組x＜m+1x＞2m－1無(wú)解，則不等式組中參數(shù)m的取值范圍是 .

解析 方法1 常規(guī)解法

根據(jù)不等式組無(wú)解可得到m+1≤2m－1，隨后，解關(guān)于m的不等式即可.

因?yàn)椴坏葦?shù)組x＜m+1x＞2m－1無(wú)解，

所以m+1≤2m－1，

所以m≥2.

方法2 反解法

根據(jù)題干x＜m+1，x＞2m－1，

整理不等式組可得2m－1＜x＜m+1，

若不等式有解，則說(shuō)明x在2m－1與m+1之間，

此時(shí)，2m－1＜m+1，通過(guò)解不等式，可得m＜2.

但根據(jù)題意可知，不等式組無(wú)解，則m≥2，即m的取值范圍為m≥2.

2 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的緊密聯(lián)系，使復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.該方法的核心在于借助圖形能更快地找到答案，實(shí)現(xiàn)“殊途同歸”的效果.

例2 若不等式組x≤2x＞m+1恰有三個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是8bzAsjOK92A/FPpGRHTHqg== .

解析 由不等式組m+1<x≤2恰有三個(gè)整數(shù)解可知整數(shù)解為2，1，0，大致畫出數(shù)軸，如圖1所示.

由圖象可知m+1落在-1和0之間，再進(jìn)行端點(diǎn)驗(yàn)證，

當(dāng)m+1=－1時(shí)，不等式組為－1<x≤2，整數(shù)解為2，1，0，符合題意；

當(dāng)m+1=0時(shí)，不等式組為0<x≤2，整數(shù)解為2，1，不符合題意.

所以m+1的取值范圍為－1≤m+1<0，

即m的取值范圍為－2≤m<－1.

圖1

3 口訣法

在解決一元一次不等式組問(wèn)題時(shí)，口訣法可以幫助學(xué)生迅速找到不等式組的解集.具體如表1.

例3 現(xiàn)有不等式組2x+3（x-2）<4，

x+32≤2x-53，則以下選項(xiàng)正確的是（ ）

（A）1<x≤2. （B）x≥1.

（C）x≤2. （D）1≤x<2.

解析 解不等式2x+3（x－2）<4，

得x<2，

解不等式x+32≤2x－53+3，

得x≥1，

根據(jù)上述口訣，可以確定1≤x<2.

4 方案類解法

在處理問(wèn)題時(shí)，首先需要觀察題目中是否明確出現(xiàn)“方案”這一關(guān)鍵詞，以此作為初步判斷其是否為方案類問(wèn)題的依據(jù).一旦確認(rèn)為方案類問(wèn)題，接下來(lái)的解題步驟自然指向列出一元一次不等式組進(jìn)行求解.在此類問(wèn)題中，解集的確定遵循“大小小大中間找”的原則，即不等式組中兩個(gè)不等式的解集分別限定變量值的上界和下界，解集則位于兩個(gè)界值之間.求解得到的未知數(shù)的值通常是整數(shù)，且數(shù)目不應(yīng)過(guò)于單一或過(guò)多.在解題過(guò)程中，如果遇到解集不符合“大小小大中間找”的預(yù)期范圍，應(yīng)當(dāng)立即檢查不等式組的列寫是否正確，以防出現(xiàn)邏輯或計(jì)算上的錯(cuò)誤.

例4 果農(nóng)張某今年豐收，收獲柑橘20噸和蘋果12噸.為了將這些水果全部運(yùn)往遠(yuǎn)方市場(chǎng)進(jìn)行銷售，他計(jì)劃租用A，B不同類型的貨車共8輛.已知一輛A型貨車能裝載柑橘4噸和蘋果1噸，而一輛B型貨車能裝載柑橘和蘋果各2噸.

（1）張某應(yīng)該如何分配A型和B型貨車的數(shù)量，以確保所有水果能一次性運(yùn)往銷售地？請(qǐng)列出所有可能的方案.

（2）考慮到成本問(wèn)題，A型貨車每輛的運(yùn)輸費(fèi)用是300元，B型貨車每輛的運(yùn)輸費(fèi)用是240元.張某應(yīng)該選擇哪種方案來(lái)最小化運(yùn)輸費(fèi)用？并請(qǐng)計(jì)算出最少的運(yùn)輸費(fèi)用是多少.

解析 題目中已有非常明顯的字眼“方案”二字，初步判斷屬方案類問(wèn)題，需列一元一次不等式組，結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，運(yùn)輸問(wèn)題應(yīng)保證核載（即所載人或物不能超過(guò)車的規(guī)定載人載物重量）.當(dāng)然此題即使考慮錯(cuò)誤，也會(huì)在答題過(guò)程中，應(yīng)用“方案”類問(wèn)題程序修正.

（1）設(shè)租用A型貨車x輛，則B型貨車8－x輛，

由題意得4x+2（8-x）≥20，x+2（8-x）≥12，

解得x≥2，x≤4，

所以不等式組的解集為2≤x≤4，

因?yàn)閤是整數(shù)，所以x=2，3，4，

即共有3種方案，分別是

方案1：租用A型貨車2輛，則B型貨車6輛；

方案2：租用A型貨車3輛，則B型貨車5輛；

方案3：租用A型貨車4輛，則B型貨車4輛.

（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，

則y=300x+240（8－x），

即y=60x+1920，

因?yàn)閗=60>0，所以y隨x的增大而增大，

所以當(dāng)x=2時(shí)，即方案1總運(yùn)費(fèi)y最小，最小值為2040元.

5 結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，一元一次不等式組作為中考數(shù)學(xué)的重要板塊，其解題方法的掌握對(duì)學(xué)生成績(jī)的提升至關(guān)重要.本文提出的多元解題方法，不僅為學(xué)生提供了多樣化的解題路徑，還通過(guò)具體案例和詳細(xì)解析，幫助學(xué)生深入理解并掌握上述方法.通過(guò)反復(fù)練習(xí)和靈活運(yùn)用，學(xué)生將能夠高效、精準(zhǔn)地解決一元一次不等式組問(wèn)題.