新型單相超材料的低頻帶隙和振動特性研究

摘 要：低頻振動和噪聲的抑制一直是工程中的重要問題。本文提出了一種新型的單相超材料結(jié)構(gòu)，有望應(yīng)用于噪聲控制。基于布洛赫（Bloch）定理和有限元方法（FEM），數(shù)值分析了這種新型結(jié)構(gòu)的帶隙特性和帶隙形成機制，參數(shù)化分析了帶隙與幾何尺寸的依賴關(guān)系，用三維色散曲面、頻率等值線、相速度和群速度等探究了波在結(jié)構(gòu)中的傳播特性，而且分析了有限尺寸晶格中的彈性波衰減，驗證了帶隙的存在對彈性波的有效抑制作用。結(jié)果表明，該新型結(jié)構(gòu)具備優(yōu)異的帶隙特性，帶隙對幾何尺寸較敏感，可由此實現(xiàn)帶隙的可調(diào)性，該新型結(jié)構(gòu)能對1000Hz頻率以內(nèi)的彈性波起到很好的抑制。為低頻超材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計開辟了一條思路。

關(guān)鍵詞：低頻帶隙； 波傳播； 振動抑制； 群速度； 相速度

中圖分類號：V250.3 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.08.005

基金項目： 航空科學(xué)基金（201915048001）

噪聲存在于各種工程環(huán)境中，而且它對人們的危害很大，為了解決或者降低噪聲帶來的危害，研究人員經(jīng)過長久的研究發(fā)現(xiàn)可以通過材料的設(shè)計來解決這些問題，因此具備噪聲和振動控制的材料應(yīng)運而生，它們也被稱為聲學(xué)超材料[1-2]。盡管在阻聲隔振方面的研究有了很大的進展，但是對于低頻彈性波的抑制依舊是一個很大的挑戰(zhàn)。為了抑制低頻振動和噪聲，局域共振超材料[3-7]、亥姆霍茲共振超材料[8-9]，以及膜型超材料[10-11]等能夠有效實現(xiàn)低頻衰減的材料，引起了廣大研究人員的興趣。其中，局域共振聲子晶體作為典型的聲學(xué)超材料，具有負(fù)等效質(zhì)量密度[12-14]，在聲波控制領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景。此外，Liu Zhengyou等[15]設(shè)計了二維（2D）和三維（3D）聲子晶體，突破布拉格散射理論的限制，從而實現(xiàn)低頻聲波的衰減。Xu Xianchen等[16]通過改變傳統(tǒng)的六邊形分層蜂窩結(jié)構(gòu)，數(shù)值模擬和試驗證明了該結(jié)構(gòu)的低頻衰減特性。

為了進一步提高低頻噪聲的衰減，Li Dengke等[17]研究了在微穿孔（MPP）中添加一些延伸管實現(xiàn)低頻下更寬的吸聲寬帶。Lagarrigue等[18]探究了在剛性多孔材料中插入諧振器的周期晶格。Boutin[19]在多孔微結(jié)構(gòu)嵌入多孔基質(zhì)的阻尼亥姆霍茲諧振器，通過均質(zhì)化方法討論了寬帶隙和強色散波的出現(xiàn)。Zhou Xiaoling等[20]將多層橡膠和金屬圓柱體結(jié)合在一起，可以獲得多個低頻帶隙。Thota等[21]提出了一種新型折紙聲子結(jié)構(gòu)，研究了該結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)和帶隙特性。帶隙的調(diào)諧在隔聲減振方面有著非凡的意義。因此，Yang Xiaodong等[22]提出了一種基于參數(shù)激勵的實時帶隙調(diào)制技術(shù)。Salari-Sharif等[23]通過引入周期性排列的負(fù)剛度夾雜物，實現(xiàn)了具有可調(diào)諧帶隙的超材料。Cai Chengxin等[24]提出了一種調(diào)諧局部諧振五模超材料（PMs）第一聲子帶隙（PGBs）的方法。Peiro-Torres等[25]利用亥姆霍茲諧振器形成的周期結(jié)構(gòu)，說明了共振與帶隙之間存在的干擾。另外，具有不同性質(zhì)的材料在復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)中不連續(xù)分布可能給制造帶來巨大挑戰(zhàn)[26-31]。為此，Chen Meng等[32-33]使用單相材料設(shè)計了具有低頻帶隙和特定頻率范圍內(nèi)雙負(fù)特性的星形輔助超材料，解決了傳統(tǒng)雙負(fù)聲學(xué)超材料因其復(fù)雜結(jié)構(gòu)和多相材料組成而難以應(yīng)vhg0JpmluCj31nOj0difxa6wjmhg7wVkKxRbCRkogzw=用的問題。其中，由于特殊的力學(xué)性能，手性結(jié)構(gòu)具有獨特的振動過濾功能[34]和波轉(zhuǎn)向功能[35]，這使得它成為隔聲減振的最佳選擇之一[36]。此外，Spadoni等[35-36]對六角形手性晶格的聲子特性[37-38]進行了全面的研究。研究表明，手性結(jié)構(gòu)在減少聲傳輸和隔振方面具有巨大的潛在優(yōu)勢，其設(shè)計靈活性為不同應(yīng)用中結(jié)構(gòu)聲學(xué)性能的提高提供了方案。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者使用微穿孔板、星形輔助超材料、手性晶格等結(jié)構(gòu)在低頻噪聲的隔絕或者衰減方面取得了重大進展，為開發(fā)更有效的低頻噪聲控制技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。本文在前人的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究來進一步擴大低頻帶隙，基于三韌帶手性結(jié)構(gòu)提出了一種新型的單相超材料結(jié)構(gòu)，根據(jù)數(shù)值研究和分析得到擬議結(jié)構(gòu)在0～1000Hz的低頻范圍內(nèi)存在多個完全帶隙。而常見的三韌帶手性結(jié)構(gòu)的第一條帶隙的下邊緣頻率為2164.60Hz，帶鉸鏈的三韌帶手性結(jié)構(gòu)第一條帶隙的下邊緣頻率為2079.71Hz[39]，故新型結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出更好的低頻降噪性能。本文首先介紹了模型設(shè)計和布洛赫（Bloch）定理的相關(guān)知識，分析了擬議結(jié)構(gòu)的帶隙特性，通過對不同頻率的三維色散曲面、群速度、相速度、頻率等值線和波傳播方向探究了波在結(jié)構(gòu)中的傳播特性，然后分析了彈性波在由擬議結(jié)構(gòu)組成的有限晶格尺寸中的動態(tài)衰減性能。

1 模型設(shè)計

基于三韌帶手性結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，本文設(shè)計了一種新的單相超材料，擬議結(jié)構(gòu)的局部示意圖如圖1（b）所示，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換組成的胞元如圖1（c）所示，由于三韌帶手性具有很好的拓展性，可以對它的韌帶進行延長、重新組合、對稱變化等從而得到新的結(jié)構(gòu)?；谶@樣的思想，對基礎(chǔ)三韌帶手性結(jié)構(gòu)進行韌帶延長和單元結(jié)構(gòu)對稱變化可以得到所需要的結(jié)構(gòu)胞元。擬議結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)：L=42mm，α= 60°，β=60°，R1=4mm，R2=5mm，t=1mm；材料參數(shù)：彈性模量為1.75GPa，泊松比為0.4，密度為930kg/m3。

周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為L，中心圓環(huán)內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，結(jié)構(gòu)的厚度設(shè)為t，韌帶之間的夾角分別為α和β，與圓環(huán)連接的三條韌帶長度皆為L1，用于連接作用的最外層三條韌帶長度分布為L2，L3和L4，根據(jù)結(jié)構(gòu)幾何尺寸之間的關(guān)系，L1可以這樣表示

2 數(shù)值結(jié)果和討論

本節(jié)首先分析了擬議結(jié)構(gòu)的帶隙特性和帶隙形成機制，并且探究了幾何參數(shù)對帶隙頻率范圍和位置的影響。分別以群速度、相速度、頻率等值線和波傳播方向分析了波在結(jié)構(gòu)中的傳播特性，最后分析了振動在擬議結(jié)構(gòu)組成的有限尺寸周期結(jié)構(gòu)中的傳遞特性，進一步驗證了帶隙的存在對振動的抑制作用。

2.1 能帶結(jié)構(gòu)

如圖3（a）所示，擬議結(jié)構(gòu)被設(shè)置為單相超材料結(jié)構(gòu)。為了與由其衍生的局域共振結(jié)構(gòu)進行比較。在此設(shè)置了兩個對照結(jié)構(gòu)，如圖3（b）中黃色區(qū)域所示為只帶夾雜物（彈性模量為4.08GPa，泊松比為0.42，密度為11600kg/m3）的模型結(jié)構(gòu)，圖3（c）為增加包裹材料的模型結(jié)構(gòu)，其中的藍色區(qū)域為軟包裹材料（彈性模量為0.4MPa，泊松比為0.47，密度為1340kg/m3）。為了凸顯不同結(jié)構(gòu)的帶隙的變化，本文將頻率范圍設(shè)置為0～ 1100Hz，在相同的坐標(biāo)系下分別計算它們的色散曲線。圖3（d）為擬議結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖，可以很直觀地看到這里有5條帶隙，范圍分別為238.88～242.73Hz、349.07～287.6Hz、438.26～ 560.87Hz、651.14～654.75Hz和759.46～949.51Hz，由此可見，擬議結(jié)構(gòu)在1000Hz以下具備多條帶隙，而且最寬的帶隙范圍達到了190.05Hz，帶隙的最低起始頻率達到238.88Hz，帶隙的范圍集中在較高頻率可歸因于布拉格散射機制。圖3（e）為加入夾雜物后的結(jié)構(gòu)的能帶圖，雖然產(chǎn)生了6條帶隙，而且?guī)段恢么蠓认虻皖l偏移，但是帶隙范圍明顯變窄，帶隙的起始頻率為201.29Hz，帶隙位置向低頻偏移是增加夾雜物后，布拉格散射和局域共振機制的耦合作用。圖3（f）繪制了同時加入軟包裹材料和夾雜物的擬議結(jié)構(gòu)的能帶圖，該結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了5條頻率范圍很小的帶隙，而由下到上的第一條帶隙的開始頻率為86.175Hz，顯然頻率更低，充分展示了局域共振機制的低頻帶隙作用。圖3（d）～圖3（f）的能帶圖表明擬議結(jié)構(gòu)相比于其他兩個結(jié)構(gòu)，在1000Hz下具備更佳的帶隙范圍。同時也傳達了一個重要的信息，也就是具備局域共振特性的周期性材料可以使得帶隙范圍向更低頻偏移。

圖4（a）的能帶結(jié)構(gòu)圖提供了關(guān)于帶隙的一些信息，為了深入了解帶隙的形式機制，我們在能帶結(jié)構(gòu)圖上選取9個點（A～I），然后計算它們對應(yīng)頻率的特征模態(tài)。

圖5（a）、圖5（b）為第一條帶隙上下邊界對應(yīng)的兩個點（A和B）對應(yīng)的特征模態(tài)，它們的共同特點都是在左右形成周期結(jié)構(gòu)的連接韌帶位置處幾乎沒有發(fā)生變化，兩種的區(qū)別是一個振動變形發(fā)生在結(jié)構(gòu)的連接韌帶部位，而另一個則發(fā)生在結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，這樣的變化將導(dǎo)致帶隙的閉合。圖5（c）、圖5（d）的特征模態(tài)對應(yīng)點C和D，左右連接韌帶依然未發(fā)生較大變形，區(qū)別在于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的振動變形大小，這兩個點所處的通帶之間形成了一條帶隙。E點的特征模態(tài)如圖5（e）所示，這里的通帶向下彎曲，振動變形表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)內(nèi)部連接韌帶的大變形，而圖5（f）特征模態(tài)的變形SBAtB1lYlNNhBHnVj+Me0lGj7TVi3Wyvg3f+rfUwx6g=集中發(fā)生在外連接韌帶上，圖5（e）、圖5（f）這兩種變形形式的不同導(dǎo)致二者之間形成了較寬的帶隙。G點和H點相應(yīng)的特征模態(tài)的變形形式如圖5（g）、圖5（h）所示，變形區(qū)別依舊是內(nèi)部連接韌帶和外部連接韌帶。而且G點的特征模態(tài)在內(nèi)部發(fā)生了旋轉(zhuǎn)變形，因此帶隙又有將要閉合的趨勢。最后一點I的特征模態(tài)如圖5（i）所示，變形依舊集中于外部連接韌帶，與H點的變形形式形成了對比，在兩者所處的通帶之間形成了一條寬帶隙。因此，帶隙的形成與結(jié)構(gòu)內(nèi)外連接韌帶的振動變形形式息息相關(guān)。

2.2 參數(shù)化研究

很多研究表明，帶隙與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸有著密不可分的關(guān)系，為了適應(yīng)各種復(fù)雜工程的應(yīng)用，實現(xiàn)帶隙的可調(diào)性，本文分析了擬議結(jié)構(gòu)韌帶間的角度α和β變化時，帶隙的位置和范圍的改變。在這里分三種情況研究帶隙對相應(yīng)角度的敏感程度：（1）保持β的大小不變，改變α的大小，分析帶隙對角度α的依賴性；（2）保持α的大小不變，通過改變β研究帶隙的位置和寬度的改變；（3）同時改變α和β的大小，而且使得它們變化的比例相同。計算得到如圖6（a）所示具有不同角度α的結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，圖中粉色陰影是帶隙的范圍和位置，從圖6中可以看出，α對帶隙的影響很明顯，隨著α的增加，帶隙表現(xiàn)出先向高頻增加后向低頻降低的趨勢，帶隙的數(shù)量保持不變，而最明顯的是從下到上的第一帶隙范圍顯著增加，同時第4條帶隙的寬度也越來越寬。具體角度變化見表2。為了更直觀地觀察帶隙的位置和范圍，我們做了如圖6（b）所示的浮動柱狀圖，圖中所顯示的帶隙信息與能帶結(jié)構(gòu)一致。α對帶隙的顯著影響主要是因為角度的變化導(dǎo)致單元幾何結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，對布拉格散射機制的魯棒性產(chǎn)生了影響。

圖7（a）描述了具有不同角度β的結(jié)構(gòu)的帶隙信息，由圖7可知，β同樣對帶隙有一定的影響，且影響較大，隨著角度β的增加，第一條帶隙頻率范圍變小而且在β=70°和β= 80°時，基本為零。同時帶隙的總寬度也大幅度減小。相比于α，β對帶隙的影響更大，因此，帶隙對β的變化較敏感。圖7（b）的浮動柱狀圖與圖6（b）表示的意義一樣，上邊界為帶隙的終止頻率，下邊界為帶隙的起始頻率，寬度為帶隙頻率范圍的大小，圖中更直觀地表達了不同位置的帶隙信息。β對帶隙的影響同樣也是因為角度的變化導(dǎo)致單元幾何結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，對布拉格散射機制的魯棒性產(chǎn)生了影響。

圖8（a）為α和β同比例變化時擬議結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，顯然當(dāng)兩個角度都較小時，帶隙的起始頻率更低，而且?guī)兜念l率范圍更有優(yōu)勢，隨著兩個角度的增加，帶隙逐漸向高頻偏移而且?guī)兜念l率范圍變窄。由此可知，當(dāng)兩個角度同時變化時，帶隙的位置和范圍都發(fā)生了明顯的變化，帶隙對α和β的變化極其敏感。圖8（b）給出了對應(yīng)的帶隙信息，更加形象地表示了帶隙的位置和寬度的變化。

2.3 群速度和波傳播

圖9（a）和圖9（b）繪制了擬議結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和3D色散曲面，可以從3D色散曲面上選取特定的色散曲面，分析波的傳播特性。此外，群速度是研究彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播特性的一個重要概念。在二維周期性材料中群速度沿x和y方向可以表示為

群速度表示給定頻率下，周期結(jié)構(gòu)的頻散特性和平面內(nèi)波傳播的各向異性。因此，可以確定波傳播的優(yōu)先方向或禁止方向。也就是說晶格色散行為的測定可以由某個頻率對應(yīng)的群速度來表示，它描述了平面波傳播中的各向異性行為。接下來將分析不同色散曲線上波的傳播特性。

圖10（a）和圖10（b）分別為第三階3D色散曲面和對應(yīng)的頻率等值線分布，由頻率等值線的強烈各向異性看出，波在水平和垂直方向的變化較大，表現(xiàn)為頻率等值線的急劇變化。分別選取頻率為110Hz、130Hz和150Hz的特定頻率等值線，用來分析波的傳播特性。相應(yīng)的等值線法向方向如圖10（c）和圖10（e）所示，由圖可知，在水平方向和垂直方向的法線方向明顯更加密集。這種特性也在圖10（f）和圖10（h）中以群速度圖像的方式得到驗證，群速度傳達了波的能量聚集在水平和垂直方向上，而在對角線方向形成了振動盲區(qū)。圖10（i）和圖10（k）用極坐標(biāo)的形式表示波的傳播方向和波的傳播區(qū)域，極坐標(biāo)中內(nèi)部的每個圓周上的數(shù)字表示落在每個傳播區(qū)域中的數(shù)量，數(shù)量越大表示該區(qū)域傳播的波的能量越大。其特征與等值線法向方向和群速度聚集的方向一致。

第五階色散曲面和對應(yīng)的頻率等值線分布如圖11（a）和圖11（b）所示，頻率等值線同樣具備強烈的各向異性特性，依舊是在水平方向和垂直方向上頻率等值線變化較大，較密集。圖11（c）和圖11（d）分別為特定頻率280Hz、300Hz和320Hz的頻率等值線的法線方向、水平方向和垂直方向的分布較密集，而圖11（f）和圖11（h）為這三個頻率對應(yīng)的群速度，可以明顯地發(fā)現(xiàn)群速度集中分布在水平方向和垂直方向，而且隨著頻率的增加群速度開始減小。這意味著波在這兩個方向上有較強的能量聚集。在圖11（i）和圖11（k）中相應(yīng)頻率下的波傳播YAQXB+dLRG+LnvRrL3BWe24yggt6h7A5BYW0K0k1sl4=方向和傳播區(qū)域主要為±90o、0o和180o，進一步表明了波傳播具有一定的方向性。

第八階3D色散曲面如圖12（a）所示，相應(yīng)的頻率等值線分布如圖12（b）所示，頻率等值線在低頻時具有強烈的各向異性特性，在高頻率時開始呈現(xiàn)出各向同性特性。在此分別取三個相對較高的頻率579Hz、580Hz和585Hz，計算得到它們對應(yīng)的頻率等值線的法線方向如圖12（c）～圖12（e）所示，不難發(fā)現(xiàn)它們開始在對角線方向上較密集，隨著頻率的增加逐漸表現(xiàn)出各向同性。圖12（f）～圖12（h）為相應(yīng)頻率下的群速度圖像，波在對角線的傳播能量比較強烈，而在水平方向和垂直方向上群速度分布較少。圖12（i）～圖12（k）中描述的波的傳播方向和區(qū)域的表現(xiàn)形式與群速度描述的一致。

圖13（a）、圖13（b）是第九階3D色散曲面和相應(yīng)的頻率等值線分布，由圖中看出，在垂直方向上的頻率等值線分布較密集而且變化急劇。為了進一步分析波的傳播，選取三個頻率分別為600Hz、601Hz和602Hz的特定頻率等值線，并做出它們的外法線方向以觀察波的能量流向，如圖13（c）～圖13（e）所示，結(jié)果法線方向在各個方向皆有分布，不同的是對角線方向的分布比其他兩個方向更加密集。圖13（f）～圖13（h）繪制了這三個頻率的群速度圖像，群速度在各個方向也都有分布，但是對角線的分布明顯較多，這樣的傳播特征在圖13（i）～圖13（k）中波的傳播方向和傳播區(qū)域得到體現(xiàn)，在±45°對角線方向波的傳播區(qū)域較大，與法線方向和群速度描述的一致。

2.4 相速度

相速度是描述波傳播特性的另外一個重要概念，相速度即彈性波相位傳播的速度波矢k 決定相速度的方向。在倒空間中，波矢的表達如式（14）所示，即給定某一頻率的彈性波的相速度可以這樣表示

計算相速度時，選擇特定的頻率和與頻率對應(yīng)的波矢。然后，根據(jù)式（18）計算相速度的大小和方向。對于二維的各向同性介質(zhì)，彈性波在0°～360°范圍內(nèi)均勻傳播，表明相速度在各個方向上的傳播速度是相同的。相反地，各向異性介質(zhì)的相速度曲線不再是圓形，在一些方向上相速度值較大，而在其他方向上相速度的值偏小，此時相速度曲線為有凸起或凹陷的多邊形。

彈性波的色散特性需要群速度和相速度進行對比分析，為此我們選取與群速度一樣的頻率來計算相速度。由圖14（a）、圖14（b）可知，在頻率為110Hz和130Hz時，彈性波在±90o方向的相位傳播具有優(yōu)先權(quán)。頻率為150Hz時彈性波不僅在±90o方向具有優(yōu)先權(quán)，而且在0o和180o方向上較突出。圖14（d）～圖14（f）的三個相速度圖像具有一樣的特性，都是在±90o、0o和180o方向上傳播較快。如圖14（g）～圖14（i）所示，頻率為579Hz、580Hz和585Hz時，相速度的傳播由0o和180o方向轉(zhuǎn)向±90o方向。圖14（i）～圖14（l）的相速度圖像顯示了相反的特性，同樣表現(xiàn)出強烈的各向異性特性，而且在0o和180o方向上彈性波的相位傳播最快。相速度值的大小與頻率大小呈正相關(guān)，但是相速度的方向不具有規(guī)律性。綜上所述，相速度的大小和方向與頻率的大小息息相關(guān)。

3 振動在有限尺寸周期晶格中的傳播

本文通過有限元方法探討了擬議結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系和簡單的傳波信息。為了進一步驗證擬議結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為，我們構(gòu)建了由擬議結(jié)構(gòu)組成的有限尺寸周期晶格來研究有限周期晶格中的振動傳輸行為。在此我們從x方向施加激勵，也就是在輸入端施加頻率為0～1100Hz的入射平面波，在相應(yīng)的另一側(cè)接受響應(yīng)。而頻率響應(yīng)函數(shù)的透射譜可以用無量綱函數(shù)來表示，也就是透射系數(shù)T

為了進一步說明由擬議結(jié)構(gòu)組成的有限尺寸周期晶格在相應(yīng)的頻率范圍內(nèi)具備的特定抑波特性。我們分別選擇不同階段的頻率，即在通帶內(nèi)選取頻率為300Hz，在帶隙內(nèi)選取頻率為880Hz。激勵的施加如圖15（a）所示，頻率為300Hz的平面波作用下的有限尺寸周期晶格的變形如圖16所示，按照給出的位移變形顏色比例，在整個有限尺寸周期晶格中發(fā)生的變形很顯著，表明振動的傳輸穿過了整個周期結(jié)構(gòu)。而在帶隙頻率范圍內(nèi)選取的頻率為880Hz，顯然變形僅發(fā)生在有限尺寸周期晶格的激勵邊界附近，即頻率為880Hz的平面波在結(jié)構(gòu)中受到明顯抑制（見圖17）。這兩種不同的傳輸特征表明處于通帶內(nèi)和帶隙內(nèi)振動傳輸?shù)牟町悺?/p>

4 結(jié)論

本文基于三韌帶手性結(jié)構(gòu)提出了一種新型的二維單相超材料結(jié)構(gòu)，數(shù)值分析了擬議結(jié)構(gòu)的帶隙特性和帶隙形成機制，然后探討了波傳播特性和有限尺寸周期晶格中振動的動態(tài)傳遞行為，經(jīng)過分析和數(shù)值研究，得出以下結(jié)論：

（1）擬議結(jié)構(gòu)在1000Hz的頻率范圍下能夠產(chǎn)生多個帶隙，帶隙優(yōu)于由該結(jié)構(gòu)衍生的局域共振性結(jié)構(gòu)。

（2）帶隙依賴于擬議結(jié)構(gòu)連接韌帶之間的夾角α和β的變化，而且?guī)恫粌H對β的變化較敏感，還對α和β同比例變化也十分敏感，可通過改變幾何參數(shù)來實現(xiàn)帶隙的可調(diào)性。

（3）波在結(jié)構(gòu)中的傳播具有一定的方向性，頻率的大小對波的傳播方向和傳播區(qū)域都有影響。通過對有限尺寸周期晶格中的振動傳輸?shù)膭討B(tài)模擬，得到的傳輸透射譜與帶圖中的帶隙信息完美匹配。驗證了帶隙頻率范圍內(nèi)的激勵會受到明顯的抑制，表明了擬議結(jié)構(gòu)潛在的減振降噪性能。

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Study of Low-frequency Band Gaps and Vibrational PrmJvgKgvaqYNO1Qv4fQ+9o9oWm2UNU3GLnu7XScQ7bKQ=operties in Novel Monophasic Metamaterials

Yang Hongyun1， Zhang Zhaozhan2， Wang Shuo2， Yan Hao3， Ding Qian2， Dong Xingjian4，

Sun Yongtao2， Yan Qun3

1. State Key Laboratory of Metastable Materials Preparation Technology and Science， Yanshan University，Qinhuangdao 066004， China

2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control， Tianjin University， Tianjin 300350， China

3. Aircraft Strengthes Research Institute of China， Xi’an 710065， China

4. State Key Laboratory of Mechanical Systems and Vibration， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240，China

Abstract： Low frequency vibration and noise suppression has always been a problem that needs to be overcome. Therefore， a novel single-phase metamaterial structure is proposed in this paper. Based on Bloch’s theorem and finite element method， the bandgap characteristics and formation mechanism of the proposed structure are numerically analyzed， and the dependence of the bandgap on geometric size is parameterized. The propagation characteristics of waves in the structure are explored using three-dimensional dispersion surfaces， frequency contours， phase velocity， and group velocity， Moreover， the attenuation of elastic waves in finite size lattices was analyzed， verifying the effective suppression effect on band gaps on elastic waves. The results indicate that the proposed structure has excellent bandgap characteristics， and the bandgap is sensitive to geometric dimensions， which can achieve tunable bandgap. The proposed structure can effectively suppress elastic waves within a frequency range of 1000Hz. It provides important clues and ideological guidance for the design of devices with low-frequency vibration isolation performance.

Key Words： low frequency bandgap； wave propagation； vibration suppression； group velocity； phase velocity