大單元教學(xué)視域下的“三角函數(shù)”教學(xué)實(shí)踐探究

摘 要：大單元整體教學(xué)貼合新課標(biāo)的要求，有利于深化學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握。本文以人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)的“三角函數(shù)”大單元內(nèi)容為例，結(jié)合學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，逐步引導(dǎo)和深化，促進(jìn)學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)逐漸走向深度學(xué)習(xí)，構(gòu)筑整體教學(xué)體系。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，立足“三角函數(shù)”大單元范疇，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)。將正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像以及應(yīng)用等作為學(xué)習(xí)線索，促進(jìn)學(xué)生建立起完整的三角函數(shù)知識(shí)體系。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和規(guī)律，構(gòu)建認(rèn)知體系，對(duì)比不同三角函數(shù)的定義與性質(zhì)，加深對(duì)三角函數(shù)的理解。從基礎(chǔ)概念出發(fā)，逐漸拓展至函數(shù)的圖像變換、周期性和對(duì)稱性等更深層次的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；大單元教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)科大概念為核心，實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，強(qiáng)調(diào)從整體上把握課程的重要性。大概念是單元統(tǒng)整的核心，本質(zhì)在于將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、思想方法以及學(xué)習(xí)價(jià)值等融為一體，形成一個(gè)有機(jī)整體[1]。因此，教師在進(jìn)行大單元教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容以及核心素養(yǎng)目標(biāo)，探索有效的提取路徑和概念層次劃分。

在此基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)大概念為引領(lǐng)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容體系，設(shè)計(jì)豐富多樣的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究、合作交流，深化對(duì)數(shù)學(xué)大概念的理解和應(yīng)用。人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)活動(dòng)中，以大單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，有效整合相關(guān)課程內(nèi)容，有利于深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的理解。

一、數(shù)學(xué)學(xué)科大單元整體教學(xué)的分析

結(jié)合大單元整體教學(xué)的要求，教師應(yīng)當(dāng)深入研究新課標(biāo)，把握數(shù)學(xué)教育的宏觀方向與要求。新課標(biāo)不僅明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)，還提供了教學(xué)內(nèi)容的組織與呈現(xiàn)方式。研讀新課標(biāo)，從中提取出與單元主題和內(nèi)容緊密相關(guān)的大概念，為教材分析和核心概念確定奠定基礎(chǔ)[2]。在研讀新課標(biāo)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析教材，深入理解教學(xué)內(nèi)容的核心要素與內(nèi)在邏輯。教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體，也是教師開展教學(xué)的重要依據(jù)。教師在分析教材的過程中，更加清晰地認(rèn)識(shí)到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別，得出與核心素養(yǎng)目標(biāo)緊密相關(guān)的核心概念。將提煉出的大概念與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的遷移性理解。將大概念與生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)踐應(yīng)用，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)過程中，對(duì)三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，從單元整體教學(xué)的層面進(jìn)行分析，加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的深度整合，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)筑整體函數(shù)知識(shí)體系。

二、人教A版數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)思路

人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)的“三角函數(shù)”大單元教學(xué)中，借助單位圓的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生畫出正弦、余弦函數(shù)的圖像，更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)。在大單元教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生理解三角函數(shù)周期性、奇偶性。直觀地發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，即函數(shù)值隨著自變量呈周期性變化。以圖像展示三角函數(shù)的奇偶性，即正弦、余弦函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，幫助學(xué)生以直觀展示方式更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)。

在大單元教學(xué)模式下，教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖像理解三角函數(shù)的單調(diào)性和最大（小）值，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，以及在不同區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲?，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的敏感度，提升學(xué)生解題能力[3]。

大單元教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)從一般到特殊，從特殊到一般的辯證思維。教師引導(dǎo)學(xué)生從一般規(guī)律出發(fā)，探究特殊情況下的三角函數(shù)性質(zhì)?；谡摇⒂嘞液瘮?shù)的圖像，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量為整數(shù)倍數(shù)時(shí)，函數(shù)值存在周期性變化，促進(jìn)學(xué)生形成良好的邏輯思維能力。大單元教學(xué)模式注重培養(yǎng)學(xué)生的化歸、類比方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題化簡為簡單問題，降低問題的難度。引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式，將已掌握的知識(shí)應(yīng)用于新問題中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在互聯(lián)網(wǎng)+、多媒體技術(shù)等現(xiàn)代教育技術(shù)的支持下，教師在教學(xué)中運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng)式、學(xué)案導(dǎo)學(xué)式、合作交流式等教學(xué)方法，使學(xué)生在探究三角函數(shù)性質(zhì)的過程中，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性。教師還可以設(shè)計(jì)自主學(xué)習(xí)報(bào)告單，讓學(xué)生觀察正弦、余弦函數(shù)的圖像，探究性質(zhì)，并寫出自己的探究結(jié)果，以此培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、人教A版數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)實(shí)踐

（一）整合“三角函數(shù)”大單元主題與內(nèi)容

人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中的“三角函數(shù)”大單元的核心概念在于函數(shù)模型，特別是三角函數(shù)模型，這是學(xué)生在初中階段對(duì)函數(shù)基本理解的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步拓展。從單元的主題和內(nèi)容來看，三角函數(shù)描述了周期性變化的現(xiàn)象，這在現(xiàn)實(shí)世界中具有廣泛的應(yīng)用。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，要求理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，學(xué)會(huì)用三角函數(shù)模型分析實(shí)際問題。

與初中階段的學(xué)習(xí)相比，高中階段的三角函數(shù)學(xué)習(xí)更加深入和全面。在初中階段，學(xué)生主要是從變量的角度去理解函數(shù)，而在高中階段，學(xué)生從集合、圖像、性質(zhì)等多個(gè)角度去深入理解三角函數(shù)，為此要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，能夠運(yùn)用這些知識(shí)和方法解決實(shí)際問題。教材在編排上也充分體現(xiàn)了三角函數(shù)大單元的特點(diǎn)，先介紹了函數(shù)的概念與性質(zhì)，分章節(jié)詳細(xì)介紹了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，使得學(xué)生能夠逐步深入理解每個(gè)函數(shù)模型的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在三角函數(shù)模型運(yùn)用過程中，學(xué)生可以更好地理解現(xiàn)實(shí)世界中的周期性變化現(xiàn)象，拓展學(xué)習(xí)深度。

該大單元教學(xué)包含函數(shù)概念、表示方法、性質(zhì)等基本理論知識(shí)，探討了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石。在“三角函數(shù)”大單元的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步理解函數(shù)的基本概念，在教學(xué)中結(jié)合具體的例子與習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生深入掌握增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)等函數(shù)基本性質(zhì)。在課堂教學(xué)中，教師重點(diǎn)講解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，介紹任意角的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等三角函數(shù)的基本定義和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，引入實(shí)例和圖形展示，讓學(xué)生直觀感受三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性等特點(diǎn)[4]。在“三角函數(shù)”大單元的教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。

（二）運(yùn)用圖像輔助教學(xué)

大單元教學(xué)中，教師需幫助學(xué)生掌握簡單三角函數(shù)的圖像畫法，理解五點(diǎn)作圖法和圖像變換規(guī)律。五點(diǎn)作圖法是繪制正弦曲線和余弦曲線的基礎(chǔ)，五點(diǎn)分別是三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及與軸的交點(diǎn)，一個(gè)周期包括[0，2π]等，據(jù)此大致描繪出三角函數(shù)的圖像輪廓，運(yùn)用周期完善整個(gè)圖像。在大單元教學(xué)模式中，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上理解五點(diǎn)作圖法的原理，并設(shè)置具體的例題和練習(xí)，逐漸掌握根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)確定五個(gè)點(diǎn)的位置，并學(xué)會(huì)利用這五個(gè)點(diǎn)繪制出準(zhǔn)確的三角函數(shù)圖像。圖像變換是繪制復(fù)雜三角函數(shù)圖像的重要技巧，包括平移變換、對(duì)稱變換和翻折變換等，將基本的三角函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為更復(fù)雜的圖像，滿足解題的需要。在大單元教學(xué)模式中，教師注重圖像變換的系統(tǒng)性和連貫性教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)基本的平移變換與對(duì)稱變換的方法，通過具體的例題和練習(xí)，將變換應(yīng)用到實(shí)際的三角函數(shù)圖像繪制中，學(xué)習(xí)更復(fù)雜的翻折變換等技巧，以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的三角函數(shù)圖像繪制問題。以圖像串聯(lián)“三角函數(shù)”大單元中的各項(xiàng)知識(shí)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)。

（三）強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)系

人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)中，整合與優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，滿足發(fā)展核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)需要。在教學(xué)中，整體設(shè)計(jì)“三角函數(shù)概念和性質(zhì)”的單元教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知過程，使學(xué)生能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)。大單元教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)單元教學(xué)與課時(shí)教學(xué)的緊密結(jié)合，學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的能力，注重提升數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等核心素養(yǎng)。求同角三角函數(shù)值時(shí)，觀察已知的三角函數(shù)值，得出該值對(duì)應(yīng)的角的所在象限，不同象限的三角函數(shù)值具有不同的符號(hào)和取值范圍。根據(jù)第一步確定的象限，進(jìn)行必要的分類討論。在某些情況下，角可能位于多個(gè)象限，分別考慮每個(gè)象限內(nèi)的情況。利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等求解其余的三角函數(shù)值，基本公式包括正弦、余弦、正切之間的關(guān)系，以及平方和、平方差等三角恒等式。

引導(dǎo)學(xué)生掌握三角函數(shù)式的化簡技巧，化切為弦是一種常用的化簡方法，通過將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦和余弦函數(shù)的組合，簡化三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，減少了函數(shù)種類的復(fù)雜性，使得表達(dá)式更為簡潔明了。對(duì)于含有根號(hào)的三角函數(shù)式，將根號(hào)內(nèi)的部分轉(zhuǎn)化為完全平方形式，以此去掉根號(hào)，進(jìn)一步簡化表達(dá)式，在處理包含復(fù)雜根號(hào)的三角函數(shù)式時(shí)尤為有用。當(dāng)面對(duì)含有高次項(xiàng)的三角函數(shù)式時(shí)，借助因式分解與構(gòu)造恒等式（）降低次數(shù)，以此簡化復(fù)雜的三角函數(shù)式，使函數(shù)式更易于分析與處理。在三角函數(shù)相關(guān)問題解答的過程中，合理應(yīng)用簡化技巧，有效地簡化三角函數(shù)式，促進(jìn)相關(guān)習(xí)題解答。單元教學(xué)不能脫離課時(shí)教學(xué)，而課時(shí)教學(xué)是單元教學(xué)的組成部分，注重教學(xué)的層次性與聯(lián)系性，有助于教師從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性。在“三角函數(shù)”大單元中，教師充分利用單元核心工具，系統(tǒng)地歸納三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生能夠在掌握基本概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展三角函數(shù)知識(shí)。在大單元教學(xué)視域下，三角函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容被整合為一個(gè)有機(jī)的整體。從三角函數(shù)的基本概念出發(fā)，逐步引入定義域、值域、符號(hào)表示以及誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)。以層次化的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠在理解基本概念的基礎(chǔ)上，逐步掌握三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。

（四）引導(dǎo)學(xué)生自主探究

在教授“三角函數(shù)”大單元時(shí)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”知識(shí)點(diǎn)教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的推導(dǎo)過程。熟練運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)分析問題的能力，注重對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的深入總結(jié)與分析，深化課程知識(shí)運(yùn)用。大單元教學(xué)模式注重知識(shí)的聯(lián)系和整合。因此，在學(xué)習(xí)和差角公式時(shí)，將其與誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的周期性和奇偶性等三角函數(shù)知識(shí)相聯(lián)系，并與三角函數(shù)圖像和性質(zhì)等內(nèi)容進(jìn)行銜接，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)完整的三角函數(shù)知識(shí)體系。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究和合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在互動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問題，在實(shí)踐中加強(qiáng)對(duì)公式的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的思維活力。針對(duì)公式的應(yīng)用，設(shè)計(jì)具有層次性和梯度性的練習(xí)題，讓學(xué)生逐步掌握公式的運(yùn)用技巧。對(duì)于求值過程中角的范圍分析及角的變換，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析角度的變化規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生掌握角度變換的方法與技巧。在教學(xué)過程中，教師及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，給予及時(shí)的指導(dǎo)，以課堂測試、作業(yè)和考試等方式，綜合評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，提高學(xué)習(xí)效果。

四、人教A版數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”大單元教學(xué)評(píng)價(jià)與反思

從大單元整體層面深化教學(xué)評(píng)價(jià)與反思，在任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課中，教師著重引導(dǎo)學(xué)生建立計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系。引入坐標(biāo)系作為腳手架，促進(jìn)學(xué)生理解在坐標(biāo)系下如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生研究隨著角的變化，不同象限下終邊相同的角等復(fù)雜情況，使學(xué)生逐步形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過程。在大單元三角函數(shù)的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法等多種方法解題，結(jié)合相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，對(duì)比不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，促進(jìn)學(xué)生選擇最適合自己的解題方法。

在解決與三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，將問題轉(zhuǎn)化為圖形問題進(jìn)行分析，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試使用不同的方法進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。在大單元教學(xué)模式下，教師通過課堂測試、作業(yè)批改等方式了解學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握情況，并根據(jù)學(xué)生的反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。在應(yīng)用大單元教學(xué)模式的過程中，確保每個(gè)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)與單元教學(xué)目標(biāo)的一致性，避免出現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容重復(fù)的情況。關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況靈活調(diào)整教學(xué)策略。注重評(píng)價(jià)與反饋的及時(shí)性和有效性，進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，保證教學(xué)效率。

結(jié)束語

在人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”的大單元教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)精心設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主感知到傳統(tǒng)觀察法的局限性，激發(fā)他們改進(jìn)探索思路的動(dòng)力。以合理的教學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生從內(nèi)心深處接納函數(shù)奇偶性的概念，構(gòu)建對(duì)函數(shù)的多元化認(rèn)知。在實(shí)際教學(xué)中，面對(duì)步驟多、運(yùn)算量大的問題，學(xué)生往往容易在求解過程中喪失信心。為此教師強(qiáng)調(diào)問題的實(shí)際意義，激發(fā)學(xué)生的求解欲望。教師適當(dāng)引入與學(xué)生生活或興趣相關(guān)的例子，使問題更具吸引力，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問題的結(jié)構(gòu)和求解步驟，將復(fù)雜的問題分解為若干個(gè)簡單的小問題，以此降低問題的難度，讓學(xué)生更容易入手。教師提供必要的相關(guān)提示，促進(jìn)學(xué)生逐步推進(jìn)求解過程。

參考文獻(xiàn)

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