課堂留白：發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效方式

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白包括敘述性留白、發(fā)掘性留白、推理式留白、方法式留白、提問式留白和超越式留白等六種方式，其核心是教師為學(xué)生提供充足的時間與空間，引導(dǎo)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：留白式教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）26-0088-06

數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維、直觀想象等方面發(fā)揮了獨(dú)特的功能。因此，打造適合學(xué)情的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與自主發(fā)展能力，探索個性化、多樣化的新型課堂教學(xué)模式，成為教師必須面對的挑戰(zhàn)。筆者所在團(tuán)隊根據(jù)教學(xué)實(shí)際探索出了適合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的留白式教學(xué)。

一、留白的內(nèi)涵

“留白”是國畫和戲劇的一種表現(xiàn)手法，它蘊(yùn)含著東方智慧與中國傳統(tǒng)文化之美［1］?！傲舭住痹谒囆g(shù)創(chuàng)作中賦予人們想象的空間，構(gòu)建出獨(dú)特的氛圍；而在舞臺劇中，它給予觀眾深度理解角色或劇情的機(jī)會，營造出神秘感。在教學(xué)中，“留白”是指以學(xué)生的需求為主導(dǎo)，基于人才培養(yǎng)目標(biāo)，為學(xué)生提供充足的思考時間和探索空間，促使他們在已有知識的基礎(chǔ)上，積極思考、解決難題、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而提升思維品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要提供充足的時間讓學(xué)生去思考與實(shí)踐，這就要求教師在教學(xué)中留白。然而，這并不意味著教師什么也不做，而應(yīng)在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)的前提下，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，精確策劃一系列具有深度的數(shù)學(xué)任務(wù)，如疑問、活動、實(shí)驗(yàn)等，打造適合學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生在完成這些任務(wù)的過程中，有序地感悟知識發(fā)生、發(fā)展的過程，甚至對已學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行再創(chuàng)造。在不斷地留白與補(bǔ)白過程中，學(xué)生親歷了問題解決的過程，同時通過師生交流、生生交流進(jìn)一步將數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)升華為數(shù)學(xué)思維，最終發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白的方式

高中數(shù)學(xué)教學(xué)留白方式有敘述性留白、發(fā)掘性留白、推理式留白、方法式留白、提問式留白和超越式留白等。

敘述性留白指教師在授課過程中，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生闡述他們對數(shù)學(xué)概念、命題和公式的理解。比如在學(xué)習(xí)集合概念之前，教師可以讓學(xué)生談?wù)剬Α凹稀边@個詞的理解。不少學(xué)生會認(rèn)為“集合就是把一堆東西聚集在一起”，如一名學(xué)生舉例說道：“比如體育老師上課時會喊‘集合啦’，大家就會從四面八方跑來，聚集到一起?！睂W(xué)生的補(bǔ)白表明，他們對集合有了初步的感知，認(rèn)為“集合就是把東西匯聚在一起”。

發(fā)掘性留白指為學(xué)生提供尋找并揭示新知識的機(jī)會。普通的教育者往往向?qū)W生灌輸數(shù)學(xué)知識，但卓越的教師則是引導(dǎo)學(xué)生積極地去探尋知識的本質(zhì)。在實(shí)施發(fā)掘性留白的過程中，教師需要營造環(huán)境或設(shè)定課題來激發(fā)學(xué)生思考的熱情，為學(xué)生提供有利于找到新知的便利條件。如在教學(xué)兩角差的余弦公式時，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式[cosπ2+α]=[-sinα]，緊接著拋出一個問題：假如把[π2]改成[π3]，該式子如何化簡呢？這里，教師提出的“如何化簡[cosπ3+α]”這一問題便是發(fā)掘性留白。學(xué)生將利用單位圓，結(jié)合三角函數(shù)的定義，通過觀察圖形進(jìn)行補(bǔ)白。又如在教學(xué)等差數(shù)列時，教師給出幾個數(shù)列，留白讓學(xué)生尋找這幾個數(shù)列的規(guī)律，學(xué)生通過觀察、歸納、猜想，完成補(bǔ)白。

推理式留白指論證數(shù)學(xué)命題、公式和結(jié)論。數(shù)學(xué)家通過觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)一個新的命題后，需要對其進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明。類似地，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理、公式或者其他數(shù)學(xué)結(jié)論后，教師還需繼續(xù)留白，讓學(xué)生對公式、命題、結(jié)論等加以證明。比如教學(xué)余弦定理時，有了正弦定理的鋪墊，教師可以設(shè)置小組活動，放手讓學(xué)生推導(dǎo)余弦定理。學(xué)生采用不同的推導(dǎo)方法：有些學(xué)生運(yùn)用向量的三角形法則去推導(dǎo)公式，有些學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法證明公式，還有有些學(xué)生則運(yùn)用面積法推導(dǎo)公式。補(bǔ)白過程可謂百花齊放，令人耳目一新。

方法式留白與一題多解類似。不同的學(xué)生對同一個問題往往會有不同的解法，給學(xué)生充足的時間和空間去展示這些不同的解法，有利于激發(fā)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神?；蛘邔τ谀骋粏栴}，教師先講解一種解法，然后放手讓學(xué)生去探究更多的解法，這是另一種形式的留白。比如在教學(xué)三角恒等變換時，求解“[α]，[β]是鈍角，[sinα=55]，[sinα-β]=[1010]，則[α+β]等于多少？”，有些學(xué)生會先求[α+β]的余弦值，進(jìn)而確定[α]+[β]；有些學(xué)生會先求[α+β]的正弦值或者正切值，再進(jìn)一步求出[α]+[β]。

提問式留白指教師從數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想、方法等角度出發(fā)，讓學(xué)生自己提出新的數(shù)學(xué)問題。愛因斯坦認(rèn)為，提出問題往往比解決問題更重要。通過運(yùn)用數(shù)學(xué)計算和實(shí)驗(yàn)技巧來解答某個問題或許是必要的，然而，若想發(fā)現(xiàn)全新的疑惑并從中探索出新的可能性，則必須具備創(chuàng)新能力。這種能力能使人們從全新角度審視已知問題，從而推動科學(xué)發(fā)展。然而在傳統(tǒng)課堂中，教師更樂于提出各種問題啟發(fā)學(xué)生思考，很少或者幾乎沒有給學(xué)生提出問題的機(jī)會，這不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。因此在教學(xué)過程中，教師有必要在提出問題方面留白。比如在教學(xué)函數(shù)單調(diào)性時，教師可以提問：“你可以構(gòu)造出一些新的復(fù)合函數(shù)，并求出其單調(diào)區(qū)間嗎？”或者在教學(xué)對數(shù)時，給學(xué)生提供一份關(guān)于對數(shù)發(fā)展史的閱讀材料，然后布置學(xué)習(xí)任務(wù)：閱讀時嘗試從不同角度思考，提出自己的問題，并將其寫下來，與同學(xué)們交流。

超越式留白指超越知識本身，指向思想與精神目標(biāo)的留白方式。在數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)好超越之白并非易事，這需要教師對所授課的知識有深刻的理解，對數(shù)學(xué)課程的育人價值有深刻的認(rèn)知，同時，對學(xué)生也要進(jìn)行長期的熏陶。比如，在教學(xué)余弦定理公式的推導(dǎo)后，教師可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考：在推導(dǎo)公式的過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？在學(xué)生運(yùn)用不同的方法求解數(shù)學(xué)題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：從不同的方法中你得到了什么啟示或者收獲？

這六種留白方式各有特色，而且呈現(xiàn)出一定的層次性。敘述性留白、發(fā)掘性留白詮釋“是什么”，推理式留白、方法式留白指向“為什么”，提問式留白、超越式留白解釋“還有什么”。一節(jié)課中，以上留白方式不一定全部要出現(xiàn)，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)牧舭追绞?。教師可以按照以下四個步驟開展留白活動：首先，教師設(shè)計現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境引出探究任務(wù)；其次，教師鼓勵學(xué)生猜想、分析、推理與試驗(yàn)，并經(jīng)過討論獲得初步結(jié)果；再次，教師協(xié)助學(xué)生進(jìn)行討論，借由辨析、論證等過程獲得結(jié)果，在此過程中，學(xué)生表達(dá)自己的看法，回應(yīng)他人的意見，教師適時引導(dǎo)或者幫助學(xué)生總結(jié)出結(jié)論；最后，教師評價學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，在舊問題基礎(chǔ)上提出新問題，或者對主題加以升華。在以上四個步驟中，設(shè)置情境是關(guān)鍵，也是基礎(chǔ)。教師選擇的情境要能夠激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)。在留白活動的探究環(huán)節(jié)，則需要注意循序漸進(jìn)，在符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的條件下，構(gòu)建知識創(chuàng)設(shè)平臺，讓學(xué)生體會從不同視角找到問題解決的方案，在不同情境中提出新的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升綜合能力。

三、高中數(shù)學(xué)留白教學(xué)實(shí)例

現(xiàn)以一節(jié)探究課“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”為例，具體論述留白教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

牛頓法的中心思想就是以切線的零點(diǎn)近似代替曲線的零點(diǎn)。運(yùn)用圖形來表現(xiàn)這個中心思想，可以更好地幫助學(xué)生理解其內(nèi)涵。探究的另外一個要點(diǎn)是，了解牛頓法的計算方法，熟悉牛頓法的操作過程，從中提取出它的算法。這節(jié)探究課，主要通過觀察、聯(lián)想、類比、對比、化歸等方式進(jìn)行分析，能有效發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等三個方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（一）留白任務(wù)激發(fā)興趣，體現(xiàn)發(fā)掘性留白

問題1：人類很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值問題。在羅馬帝國時期，人們常在公共場所舉辦解方程比賽，萬人空巷?，F(xiàn)在請同學(xué)們挑戰(zhàn)一下解方程比賽中出現(xiàn)的問題（改編），“計算方程x3+2x2+10x-20=0在區(qū)間（1，2）的近似解，保留小數(shù)點(diǎn)后兩位”。

師生活動：教師在課前安排學(xué)生解答問題1。有一小部分學(xué)生嘗試運(yùn)用配方、拆項(xiàng)等方法去求解方程，發(fā)現(xiàn)不好處理后，改會用必修1學(xué)習(xí)過的二分法去求方程的近似解。此時，教師請學(xué)生演示如何運(yùn)用二分法求解x3+2x2+10x-20=0在區(qū)間（1，2）的近似解，并讓學(xué)生說一說用二分法求解該方程的步驟。這個過程學(xué)生可以借助計算工具（如表1所示）輔助計算。

【設(shè)計意圖】選取人類探索高次方程解歷史進(jìn)程中的一道題向?qū)W生發(fā)出挑戰(zhàn)，一方面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和解題的勝負(fù)欲，另一方面借助該題讓學(xué)生重溫二分法，為后面用牛頓法求方程的近似解做鋪墊，建立新舊知識之間的聯(lián)系。該環(huán)節(jié)運(yùn)用了發(fā)掘性留白。

過渡語：“除用二分法求方程的近似解外，我們能不能運(yùn)用上節(jié)課所學(xué)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)圖象的相關(guān)知識去解決該問題？”這就是本節(jié)課要研究的內(nèi)容——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解。

（二）問題導(dǎo)引驅(qū)動思維，體現(xiàn)方法式留白

問題2：畫出函數(shù)y=2x-3的圖象，觀察圖象并回答，當(dāng)x為何值時2x-3=0。

師生活動：學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，方程的解是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。函數(shù)圖象是一條直線，能夠很容易計算出它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。教師引出新問題“如果函數(shù)圖象是一條曲線，我們?nèi)绾未_定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？”，下面以x3+2x2+10x-20為例，請同學(xué)們借助GeoGebra軟件畫出函數(shù)的圖象（如圖1所示），觀察圖象，回答以下問題。

問題3：在區(qū)間（1.359，1.401）的圖象呈現(xiàn)怎樣的形態(tài)？

師生活動：通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個區(qū)間內(nèi)的曲線幾乎是一條直線。

問題4：這條接近直線的曲線可用曲線的什么近似情況代替［2］？

師生活動：一些學(xué)生回答可以用該曲線在某點(diǎn)處的切線近似代替這條接近的直線。

問題5：該函數(shù)圖象在區(qū)間（1.359，1.401）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以近似看成其在某點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)嗎？

師生活動：學(xué)生回答可以。

問題6：你能計算出y=x3+2x2+10x-20在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1嗎？［結(jié)果用f（x0）、f ′（x0）表示］

師生活動：學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的知識去解決問題6。待學(xué)生計算出橫坐標(biāo)x1后（解答過程如下頁圖2所示），教師借助GeoGebra軟件向?qū)W生演示過函數(shù)y=x3+2x2+10x-20上的點(diǎn)A（x0，y0）作切線的過程（如下頁圖3所示）。

問題7：是否可以把x1作為函數(shù)y=x3+2x2+10x-20的零點(diǎn)r的近似解？

師生活動：經(jīng)過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)x1與零點(diǎn)距離尚遠(yuǎn)，所以不能把x1看成該函數(shù)零點(diǎn)的近似解。

【設(shè)計意圖】教師設(shè)計問題串引發(fā)學(xué)生思考，運(yùn)用了方法式留白。比如問題2幫助學(xué)生復(fù)習(xí)方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求方程的解的問題可從數(shù)與形兩個角度去探究，一旦函數(shù)圖象為一條直線的形式，我們可以很快地推算出它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這有助于后續(xù)導(dǎo)入以直代曲思想。緊接著，通過問題3引導(dǎo)學(xué)生識圖，師生共同操作圖象放大和縮小，感受在很小的區(qū)間范圍內(nèi)，曲線形狀接近于直線，再次直觀感知以直代曲思想，為引出切線鋪墊。問題4、5、6、7都是圍繞切線和函數(shù)零點(diǎn)展開，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識解決新問題，滲透轉(zhuǎn)化思想，為新知再創(chuàng)造做好準(zhǔn)備。

（三）GeoGebra軟件助力探究知識本質(zhì)，體現(xiàn)推理式留白與提問式留白

小組活動：各小組成員利用GeoGebra軟件調(diào)整點(diǎn)A（x0，y0）在曲線y=x3+2x2+10x-20上的位置，探究何時可以找到函數(shù)的零點(diǎn)r的近似解（精確度0.01）？在探究過程中完成表2；各小組梳理探究結(jié)果，撰寫探究報告。

師生活動：學(xué)生在填寫表格時，可能會填寫具體的數(shù)字，但是隨著迭代次數(shù)的增多，計算量增大，而且都是重復(fù)相同的步驟，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號去表示求解過程，比如x2可以用f （x1）、f ′（x1）表示，x3可以用f （x2）、f ′（x2）表示，不需要寫出具體的數(shù)值。其次，在探究過程中，不同小組的學(xué)生取的初始值不一樣，那么經(jīng)歷的迭代次數(shù)就會不一樣，最好取離零點(diǎn)r附近的點(diǎn)作為初始值。至于什么時候可以找到零點(diǎn)r的近似解，不少學(xué)生都可以總結(jié)出當(dāng)[xn-r]很小很小時，即近似值與準(zhǔn)確值之差的絕對值小于0.01時，[xn]可以看成是函數(shù)零點(diǎn)r的近似解。此時，教師可以提問，有時我們并沒有辦法求出方程的準(zhǔn)確值，無法知道近似值與準(zhǔn)確值相差多少，所以不能算出[xn-r]的值。

問題8：何時終止計算？[xn]滿足哪些條件才可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似解？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生用[xn-xn-1xn-1]去判斷何時終止計算。隨著[xn-xn-1xn-1]的減小，xn就越逼近r。我們把[z=xn-xn-1xn-1]稱為精確度，當(dāng)[z≤z0]時，我們就把xn作為方程的近似解。

問題9：初始值不同是否會影響方程的近似解？

師生活動：教師可以建議學(xué)生用9、2、1、-3或者其他數(shù)值來試一試。在此過程中，學(xué)生借助GeoGebra軟件探究函數(shù)圖象，多次選取不同的初始值，總結(jié)出一些相關(guān)結(jié)論。

【設(shè)計意圖】探究導(dǎo)數(shù)法求方程的近似解是本節(jié)課的重點(diǎn)。通過小組活動的方式，在課堂上給學(xué)生留出適當(dāng)?shù)目臻g和時間，給他們自由想象、自由探索的機(jī)會，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。但是單純拋出一個問題就讓學(xué)生自主探究，學(xué)生的思維會天馬行空，得出各種各樣的結(jié)論，或者得不出結(jié)果。因此，教師在設(shè)計小組活動時，一方面借助GeoGebra軟件減輕學(xué)生畫圖的負(fù)擔(dān)，另一方面設(shè)計了表格和問題鏈作為腳手架，幫助學(xué)生“跳一跳摘到果子”，在這個過程中，學(xué)生需要自己組織語言把小組探究的結(jié)果表述出來，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計運(yùn)用了敘述性留白。學(xué)生在探究過程中，解決數(shù)學(xué)問題的同時也會提出新的問題，這一過程實(shí)現(xiàn)了提問式留白。

（四）抽象凝練，體現(xiàn)敘述性留白與方法式留白

問題10：你能類比二分法求方程近似解的步驟總結(jié)出牛頓法求方程近似解的步驟嗎？

師生活動：學(xué)生自主總結(jié)牛頓法求方程近似解的步驟。

1.給定初始值x0和精確度z0。

2.計算x1=x0-[fx0f ′x0]（[f ′x0≠0]）。

3.若滿足精確度[z=x1-x0x0≤z0]，則x1為所求，否則令x0=x1，回到第2步。

用程序框圖梳理牛頓法求方程近似解的步驟。（如圖4所示）

問題11：對比牛頓法和二分法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精確度0.01），完成表3。

師生活動：學(xué)生分組討論，總結(jié)牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是迭代的次數(shù)少，能找出“不變號零點(diǎn)”，缺點(diǎn)是對初始值要求較高，運(yùn)算煩瑣；二分法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算簡潔，缺點(diǎn)是需要多次迭代，且僅能找到變量零點(diǎn)。此外，總結(jié)牛頓法和二分法中蘊(yùn)含的算法思想、逼近思想、以直代曲思想等。

【設(shè)計意圖】以表格為依托，引導(dǎo)學(xué)生梳理歸納二分法和牛頓法求方程近似解的異同與優(yōu)缺點(diǎn)，揭示其背后的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了敘述性留白與方法式留白。

（五）應(yīng)用鞏固，體現(xiàn)方法式留白與推理式留白

例1：用牛頓法求方程[115x3-35x2+2x-125=0]在x=4附近的近似解，精確度為0.01。（計算過程中數(shù)字保留小數(shù)點(diǎn)后3位）

師生活動：學(xué)生上臺展示、互評，最后教師小結(jié)。

【設(shè)計意圖】這道練習(xí)題的目的是強(qiáng)化學(xué)生對牛頓法的理解，幫助學(xué)生完成對新知識的構(gòu)建，運(yùn)用了方法式留白與推理式留白。

（六）課堂小結(jié)，關(guān)注方法和思想，體現(xiàn)超越式留白

教師小結(jié)：1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？2.假如你的同學(xué)還不太會用牛頓法求方程的近似解，你能教一教他（她）解題步驟嗎？

【設(shè)計意圖】利用兩個問題引導(dǎo)學(xué)生回顧這堂課的探究過程，總結(jié)其中涉及的思想和方法，運(yùn)用了超越式留白。

四、高中數(shù)學(xué)留白教學(xué)實(shí)效

筆者在一個班級開展了“用牛頓法求方程近似解”的留白式教學(xué)實(shí)踐。為了解學(xué)生對留白教學(xué)的看法以及學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度，筆者對接受留白教學(xué)的52名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，并進(jìn)行了課后檢測，同時全年級學(xué)生完成“用牛頓法求方程近似解”的學(xué)習(xí)后也進(jìn)行了相同的課后檢測。

問卷調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生認(rèn)為在師生互動、生生互動、方法創(chuàng)新、專注度、信息技術(shù)的應(yīng)用、學(xué)習(xí)趣味性等方面，留白教學(xué)與以往教學(xué)均有所不同，其中88.46%的學(xué)生認(rèn)為留白教學(xué)使得師生互動變多，46.15%的學(xué)生認(rèn)為留白教學(xué)使生生互動變多；76.92%的學(xué)生認(rèn)為留白教學(xué)帶來了更多的方法創(chuàng)新；有超過6成學(xué)生認(rèn)為留白教學(xué)更充分地發(fā)揮了信息技術(shù)的優(yōu)勢，學(xué)習(xí)趣味性更強(qiáng)；53.84%的學(xué)生認(rèn)為留白教學(xué)讓他們能夠更加專注地參與學(xué)習(xí)?？梢?，在教學(xué)中采用發(fā)掘性留白、推理式留白、提問式留白等手段，引導(dǎo)學(xué)生親歷再創(chuàng)造過程，演繹化曲為直，給學(xué)生留下了深刻的印象。師生互動和方法創(chuàng)新較多，課堂趣味性強(qiáng)。在抽象與具象相結(jié)合的過程中，以GeoGebra軟件為工具，學(xué)生動手操作，體會了化曲為直、無限逼近的思想，體會數(shù)形結(jié)合的內(nèi)在美，品嘗成功的喜悅。

“用牛頓法求方程近似解”的課后測試結(jié)果顯示，使用留白教學(xué)的班級正確率明顯高于其他班級，說明這種教學(xué)方式能幫助學(xué)生更主動地理解教學(xué)內(nèi)容（測試結(jié)果如表4所示）。

成功的留白課堂，是師生共同學(xué)習(xí)、共同成長的過程，課堂中的生成包含有教師智慧和學(xué)生創(chuàng)新思維的火花。教師嘗試在課堂中為學(xué)生留出思考的時間和空間，促使學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題，將有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

［1］王華，汪曉勤.中小學(xué)數(shù)學(xué)“留白創(chuàng)造式”教學(xué)：理論、實(shí)踐與案例［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2023.

［2］姜志強(qiáng).重視探究與發(fā)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)：以“牛頓法—用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（14）：17-20.

注：本文系南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“新高考背景下運(yùn)用數(shù)學(xué)留白式教學(xué)構(gòu)建思維型課堂的教學(xué)研究”（2023C863）、廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)發(fā)展的教師新教材實(shí)施的實(shí)踐能力培養(yǎng)研究”的研究成果。

（責(zé)編 劉小瑗）