脈沖載荷下加筋圓板的各向同性快速等效方法

摘要： 加筋板在爆炸與沖擊防護(hù)中應(yīng)用廣泛，而其動(dòng)力響應(yīng)的快速求解一直是工程中關(guān)注的重點(diǎn)。對(duì)于徑向均勻加筋的圓板，基于剛度疊加思想，提出了一種將其等效為各向同性平板的方法，用于分析其在脈沖載荷下彈性階段的動(dòng)力響應(yīng)。結(jié)合理論推導(dǎo)與數(shù)值方法，顯式地給出了簡(jiǎn)潔的等效平板厚度公式。經(jīng)驗(yàn)證，提出的等效方法建立了加筋圓板與均質(zhì)圓板間的內(nèi)在聯(lián)系，適用于多種加筋尺寸、材料及載荷形式。等效圓板與加筋圓板的最大撓度偏差不超過(guò)6%，低階振動(dòng)頻率偏差不超過(guò)10%。相比于直接對(duì)加筋圓板進(jìn)行計(jì)算，等效分析方法大大提高了求解效率，且保證了很高的計(jì)算精度，在沖擊響應(yīng)預(yù)測(cè)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等工程應(yīng)用中具有重要意義。

關(guān)鍵詞： 加筋板；圓板；動(dòng)力響應(yīng)分析；等效方法；脈沖載荷

中圖分類號(hào)： O383.2 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13035 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

相比于傳統(tǒng)平板結(jié)構(gòu)，加筋板能夠在較小的體積下實(shí)現(xiàn)較高的結(jié)構(gòu)剛度與承載能力，且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于生產(chǎn)制造，因此，其在汽車、船舶、建筑、航空航天等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，特別在沖擊與爆炸防護(hù)方面有著較高的應(yīng)用價(jià)值。國(guó)內(nèi)外已有加筋板相關(guān)的眾多研究[1-3]，其中加筋板在沖擊作用下動(dòng)力響應(yīng)分析是研究重點(diǎn)之一。理論方面，多數(shù)研究將平板與加強(qiáng)肋分離，進(jìn)而分別建立其動(dòng)力學(xué)微分方程，再根據(jù)界面連續(xù)條件與受力平衡建立平板和加強(qiáng)肋的聯(lián)系，從而導(dǎo)出問(wèn)題的控制方程[4-6]。但由于這一求解過(guò)程將涉及到大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，且受到微分方程的非線性限制，因此很難給出問(wèn)題的解析解，多數(shù)只能通過(guò)有限差分等方法給出數(shù)值解或半解析解。另一途徑是基于有限元方法建立新的更準(zhǔn)確的加筋板數(shù)值求解模型，如考慮翹曲等非線性效應(yīng)的特殊單元[7]、平板與加強(qiáng)肋的復(fù)合單元[8]、加筋板無(wú)網(wǎng)格方法[9]，等等。有限元方法能夠處理復(fù)雜多樣的加筋板類型，有著很高的適用性，但需要占用較高的計(jì)算資源，且要預(yù)先完成加筋板的建模和單元?jiǎng)澐值惹疤幚砉ぷ?，不適于工程現(xiàn)場(chǎng)分析等需要快速應(yīng)用的場(chǎng)景。而且有限元方法僅能夠給出指定問(wèn)題的數(shù)值解答，每算例均需仿真，不能抽象出一類問(wèn)題中內(nèi)含的本質(zhì)物理規(guī)律。

因?yàn)橹苯訉?duì)加筋板進(jìn)行理論或數(shù)值分析比較復(fù)雜，可以考慮將加筋板等效為平板進(jìn)行研究。在工程領(lǐng)域，尤其需要無(wú)需求解復(fù)雜方程的快速分析方法。一般來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)本構(gòu)分析等方式將加筋板等效為各向異性平板，特別是正交加筋的情況，可以將其等效為正交異性平板。如，Karpov 等[10] 提出了一種剛度涂抹法（smeared stiffener method），能夠?qū)⒄患咏畎澹ぃ┑韧诰哂邢嗤瑒偠鹊恼划愋跃鶆虬澹ぃ?；Zhang 等[11] 建立了多級(jí)加筋板的等效理論，能夠?qū)⑵渚鶆蚧癁槠桨?，同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的拉伸剛度和彎曲剛度不變；Xia 等[12] 建立了波紋加筋板的等效模型，并給出了等效剛度參數(shù)的解析解。除了基于本構(gòu)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)外，一個(gè)經(jīng)典的方法是Timoshenko 等在20 世紀(jì)50 年代提出的加筋板等效模型（equivalent plate model， EPM 方法）[13]。該方法的思路非常簡(jiǎn)單：在線彈性小變形假設(shè)下，加筋板的剛度可以近似為平板剛度和加強(qiáng)肋剛度的線性疊加。若加筋板為正交加筋，則可以方便地將其等效為正交異性板，給出兩個(gè)正交方向的彎曲剛度。該方法提供了加筋板彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的直接近似，同時(shí)公式中也保持了加筋板的原始幾何參數(shù)，一定程度上揭示了加筋板和平板間的內(nèi)在聯(lián)系。Battaglia 等[14]對(duì)EPM 預(yù)測(cè)單向加筋板動(dòng)力響應(yīng)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)評(píng)估。結(jié)果表明，EPM 在低階響應(yīng)和模態(tài)預(yù)測(cè)方面具有良好的性能，能夠滿足工程精度要求。

等效分析能夠給出加筋板與各向異性板之間的等價(jià)關(guān)系，但為獲得各向異性平板的動(dòng)力響應(yīng)解仍然無(wú)法避免求解復(fù)雜方程[15]。實(shí)際上，均質(zhì)平板動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題可以給出簡(jiǎn)單的解析解，那么加筋板在一定條件下可以等效為各向同性平板嗎？過(guò)去曾有研究嘗試過(guò)，如Fertis 等[16] 基于漸進(jìn)分析給出了變厚度板的精確等效模型，也可以用于加筋板的等效分析。然而計(jì)算復(fù)雜性限制了其應(yīng)用范圍。另一種簡(jiǎn)單思路是根據(jù)等效前后體積不變直接給出等效平板厚度[17]，但這種等效粗糙而不夠準(zhǔn)確。

本文中，首先將在EPM 方法的基礎(chǔ)上，將剛度疊加的等效思想用于徑向均勻加筋圓板，通過(guò)理論推導(dǎo)與數(shù)值方法給出加筋圓板的各向同性等效模型及等效厚度計(jì)算公式；然后借助有限元仿真，驗(yàn)證該各向同性等效方法的合理性；最后，將給出此等效方法對(duì)不同加筋尺寸、材料、載荷類型的適用性及對(duì)于加筋圓板最大響應(yīng)撓度的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。

1 理論推導(dǎo)

基于Timoshenko 等提出的EPM 等效理論[13]，將建立適用于圓形加筋板的基本等效模型，并給出等效厚度表達(dá)式。為保證加筋板能夠等效為各向同性平板，這里將限制等效方法的應(yīng)用對(duì)象為徑向均勻加筋板，且由線彈性材料構(gòu)成。