計(jì)及表面殘余應(yīng)力的旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板失穩(wěn)分析

楊勇強(qiáng)，楊萍，張旭樂

（1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021；2.陜西科技大學(xué) 電子信息與人工智能學(xué)院，西安 710021）

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，納米板、管、線和薄膜等結(jié)構(gòu)在微納米機(jī)電系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的作用[1-5]。其中，納米圓板由于優(yōu)異的力學(xué)和電學(xué)性能，在納米傳感器、納米諧振器、納米發(fā)電機(jī)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。二維結(jié)構(gòu)的納米材料與傳統(tǒng)宏觀材料的相比，其強(qiáng)度、硬度及韌性顯著提高，兩者的動(dòng)力學(xué)性能有很大的不同。因此，研究納米圓板的動(dòng)力學(xué)特性有十分重要的工程意義。

關(guān)于納米圓板的動(dòng)力學(xué)性能研究主要集中在表面彈性理論、非局部彈性力學(xué)和應(yīng)變梯度彈性理論等方面[6-10]。其中，趙德敏等[11]考慮到表面殘余應(yīng)力，研究了周邊固支納米圓板的振動(dòng)問題，分析了表面殘余應(yīng)力對(duì)固有頻率和主振型的影響。Assadi 等[12]采用層合板理論，分析了考慮表面殘余應(yīng)力納米圓板的各種模態(tài)固有頻率。Yan[13]采用基爾霍夫板模型對(duì)壓電納米圓板的彎曲及振動(dòng)模型進(jìn)行了研究，該修正模型分析了表面效應(yīng)和非局部彈性效應(yīng)對(duì)壓電納米圓板動(dòng)力學(xué)特性的影響。Liu 等[14]采用Gurtin-Murdoch 連續(xù)介質(zhì)理論，分析了納米薄板和厚板的動(dòng)力學(xué)特性，并以硅鋁納米板為例，分析了殘余應(yīng)力和邊界條件對(duì)其力學(xué)特性的影響。Malekzadeh 等[15]研究了嵌入彈性介質(zhì)的層合納米圓板在初始面內(nèi)徑向應(yīng)力作用下的軸對(duì)稱自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)問題。結(jié)果表明，當(dāng)納米板的半徑小于某一極限值時(shí)，采用非局部彈性理論計(jì)算的固有頻率與經(jīng)典彈性理論計(jì)算的固有頻率有很大的不同。Mahinzare[16]和Jandaghian[17]采用非局部應(yīng)變梯度理論，分析了功能梯度納米圓板的熱振動(dòng)問題。Zarei 等[18]采用里茲法研究了簡(jiǎn)支和固支邊界條件下錐形納米圓板的屈曲載荷和固有頻率，結(jié)果表明錐度參數(shù)對(duì)固支納米圓板動(dòng)力學(xué)特性的影響大于簡(jiǎn)支納米圓板。

微納米機(jī)電系統(tǒng)中的某些納米圓板零件均為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如旋轉(zhuǎn)納米圓盤電極、振蕩器納米圓形振子等。旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)納米圓板動(dòng)力學(xué)特性有一定的影響。但是，現(xiàn)有關(guān)于旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)納米圓板振動(dòng)特性影響的研究較少。另外，由于納米制造精度的影響，納米圓板的厚度不均勻性對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響也值得關(guān)注?；诖耍疚目紤]到表面殘余應(yīng)力、旋轉(zhuǎn)角速度以及變厚度因素，對(duì)納米圓板的橫向振動(dòng)展開研究。

1 旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板橫向振動(dòng)方程的建立

圖1 所示為旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板，半徑為R，角速度為 Ω，密度為 ρ。根據(jù)納米表面理論，圓板上下表面層可視為一層薄膜，中間為固體材料，設(shè)厚度線性變化，其公式為h=，其中m為變厚度系數(shù)，如果m＜0，則為凸型圓板；如果m＞0，則為凹型圓板。

圖1 旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板Fig.1 Rotating convex and concave circular nanoplate

根據(jù)Young-Laplace 方程，上下表面層和固體層之間存在著壓力差，壓力差p[11]為

式中：w為板的橫向位移； τ為表面殘余應(yīng)力參數(shù)。圓板單位長(zhǎng)度的彎矩Mr和扭矩Mθ為：

根據(jù)薄板小撓度理論和哈密頓原理，彈性旋轉(zhuǎn)圓板的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：Nr和Nθ為單位長(zhǎng)度的中面內(nèi)力。

根據(jù)周邊簡(jiǎn)支和固支邊界條件，求得周邊簡(jiǎn)支和固支圓板的中面應(yīng)力[19-20]為：

將式（1）、式（2）、式（4）和式（5）代入式（3）得

則無量綱凸凹型納米圓板的運(yùn)動(dòng)微分方程為

2 復(fù)特征方程的建立

旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板的振型方程為4 階微分方程，可采用微分求積分法降階來求解。微分求積分法可將高階微分方程變成以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組。旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板振型方程節(jié)點(diǎn)數(shù)選取N=13，節(jié)點(diǎn)劃分方法為

利用微分求積法離散式（8），得

周邊固支邊界離散形式為：

周邊簡(jiǎn)支邊界離散形式為：

圓心處邊界條件離散形式為：

式（10）和邊界條件式（11）～式（13）構(gòu)成復(fù)特征方程，可表示為

式中： [I]為單位矩陣；矩陣[K]包含無量綱角速度c、變厚度系數(shù)m以及無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g。

3 復(fù)特征方程的建立

3.1 數(shù)值方法的有效性驗(yàn)證

當(dāng)無量綱系數(shù)m=0，c=0，g=0時(shí)，式（8）退化為無旋轉(zhuǎn)彈性小撓度薄圓板的橫向軸對(duì)稱自由振動(dòng)問題。計(jì)算簡(jiǎn)支和固支邊界條件下的圓板橫向自由振動(dòng)的前2 階固有頻率，與文獻(xiàn)[21]的解相比較見表1。由表1 可知：本文解與已知解相一致，證明了微分求積法的有效性。

表1 彈性圓板的固有頻率與已有解比較Tab.1 Comparison between natural frequency of elastic circular plate and its known solutions

研究表面殘余應(yīng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)納米圓板振動(dòng)特性的影響，數(shù)值分析采用的材料相關(guān)參數(shù)為[11,22]：E=177.3GPa，μ=0.27，R=6 μm，h=100 nm，τ0=0～1 N/m。無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g包含納米圓板尺寸參數(shù)，根據(jù)上述參數(shù)計(jì)算，g的取值為2、4 和6。

3.2 周邊固支納米圓板

圖2 為變厚度系數(shù)m取不同值時(shí)，無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g=3，周邊固支凸凹型納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c變化圖。當(dāng)無量綱角速度c=0時(shí)，第1 階固有頻率隨著m的增大而增大，說明凹型納米圓板的第1 階固有頻率大于凸型納米圓板的第1 階固有頻率。隨著無量綱角速度c的增加，無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)為正值并呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。當(dāng)c增大到某一定值時(shí)，Re(ω)=0，而虛部Im(ω)分為正負(fù)兩支，表明凸凹型納米圓板發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)的無量綱角速度c為納米圓板的臨界發(fā)散角速度。隨著變厚度系數(shù)m取值由-0.2 增大至0.2，周邊固支納米圓板的臨界發(fā)散角速度減小，說明凸型圓板的穩(wěn)定性不如凹型圓板。

圖2 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c的關(guān)系曲線（固支，g=3）Fig.2 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (clamped edge, g=3)

圖3 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g=2、4、6，周邊固支變厚度納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c的變化圖?？梢钥闯觯?dāng)無量綱角速度c增加到某一定值時(shí)，納米圓板發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)增大，穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的第1 階固有頻率增大，臨界發(fā)散角速度也隨之增大。

圖3 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（固支，m = -0.05）Fig.3 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (clamped edge, m = -0.05)

圖4 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱角速度c=60、70、80，周邊固支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g的變化圖?？梢钥吹?，當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g在[0,3.1]（c=60）、[0, 3.9]（c=70）、[0, 4.6]（c=80）區(qū)間時(shí)，實(shí)部Re(ω)=0，而虛部Im(ω)≠0，納米圓板呈現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g＞3.1（c=60）、g＞3.9（c=70）、g＞4.6（c=80）， 實(shí)部Re(ω)＞0，而虛部Im(ω)=0，納米圓板處于穩(wěn)定狀態(tài)。臨界表面殘余應(yīng)力參數(shù)隨著無量綱角速度的增大而增大。隨著無量綱殘余應(yīng)力參數(shù)g增大，穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的第1 階固有頻率增大。

圖4 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱表面殘余應(yīng)力 g 的關(guān)系曲線（固支，m = -0.05）Fig.4 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless surface residual stress g(clamped edge, m = -0.05)

3.3 周邊簡(jiǎn)支納米圓板

圖5 和圖6 為變厚度系數(shù)m和無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g取不同值時(shí)，周邊簡(jiǎn)支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c的變化圖。由圖5和圖6 可知：在其他條件一定時(shí)，隨著無量綱角速度c的增加，無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)一直減小，納米圓板在一定條件下發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。與周邊固支不同的是，周邊簡(jiǎn)支情況下的臨界發(fā)散角速度隨著變厚度系數(shù)m和無量綱殘余應(yīng)力參數(shù)g的增大而增大。

圖5 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（簡(jiǎn)支，g = 3）Fig.5 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (simply supported edge, g = 3)

圖6 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（簡(jiǎn)支，m = -0.05）Fig.6 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (simply supported edge, m = -0.05)

圖7 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱角速度c=5、10、15，周邊簡(jiǎn)支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g的變化圖?？梢钥吹?，當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g= 1.0（c=5）、g= 4.3（c=10）、g=8.1（c=15）時(shí)，納米圓板發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著無量綱角速度的增大，臨界表面殘余應(yīng)力參數(shù)增大。

圖7 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱表面殘余應(yīng)力 g 的關(guān)系曲線（簡(jiǎn)支，m = -0.05）Fig.7 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless surface residual stress g(simply supported edge, m = -0.05)

4 結(jié)論

本文分析了旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板橫向振動(dòng)問題，討論了旋轉(zhuǎn)角速度、變厚度系數(shù)和表面殘余應(yīng)力參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響。

1）在周邊固支和簡(jiǎn)支邊界條件下，凸凹型納米圓板發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象，周邊固支凹型納米圓板的臨界發(fā)散角速度小于凸型納米圓板的臨界角速度，周邊簡(jiǎn)支凹型納米圓板的臨界發(fā)散角速度大于凸型納米圓板的臨界角速度。

2）在其他條件一定的情況下，納米圓板的臨界發(fā)散角速度隨著無量綱表面殘余應(yīng)力系數(shù)的增大而增大；臨界表面殘余應(yīng)力系數(shù)隨著無量綱角速度的增大而增大。

以上分析為旋轉(zhuǎn)納米機(jī)電系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了一定的理論基礎(chǔ)。