多元表征明算理，遷移類推通算法

摘 要：口算是諸多運(yùn)算中的一種最基本的運(yùn)算，但是口算教學(xué)不是一件容易的事情?？谒憬虒W(xué)能幫助學(xué)生明晰算理，遷移算法，提高運(yùn)算能力，滲透數(shù)學(xué)思想。文章以人教版三年級下冊“口算除法”為例，通過分析不同版本教材、教師教學(xué)現(xiàn)狀以及學(xué)生學(xué)情，發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行思考與探究，旨在探索教學(xué)策略，巧解教學(xué)疑慮。

關(guān)鍵詞：口算除法；多元表征；算理；算法遷移

計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的基本技能之一，而口算則是這種技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同時在“數(shù)與代數(shù)”的研究中占據(jù)著極其重要的地位。掌握口算技巧，理解算法，對于后續(xù)的估算和筆算學(xué)習(xí)有很大幫助。因此，教師需要依據(jù)學(xué)生的理解和實(shí)際學(xué)習(xí)狀況，構(gòu)筑一個讓學(xué)生研究和理解數(shù)字運(yùn)算的平臺，協(xié)助他們解讀不同算法之間的深層聯(lián)系，指導(dǎo)他們進(jìn)行數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，從而進(jìn)一步鞏固他們的數(shù)字運(yùn)算能力。

一、聚焦現(xiàn)狀，直面教學(xué)問題

“口算除法”一課是人教版三年級下冊第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的教學(xué)內(nèi)容，筆者在查閱資料后發(fā)現(xiàn)本節(jié)課在教學(xué)中存在以下問題。

（一）教師“簡單”教

教師往往覺得傳統(tǒng)口算教學(xué)的內(nèi)容單薄，沒有深入研討的價值。在實(shí)際教學(xué)中，教師也發(fā)現(xiàn)學(xué)生可以快速根據(jù)“想乘算除”或者“去0添0”簡化成表內(nèi)除法的形式來計(jì)算。上課時，聽到學(xué)生的正確回答聲，使不少教師覺得口算除法教學(xué)輕松，學(xué)生學(xué)得也輕松。這就會造成學(xué)生表面上是學(xué)會了算法，但是對算理的理解并不深刻。

（二）學(xué)生“淺顯”學(xué)

對于口算除法，學(xué)生覺得難度不大，自己完全可以掌握，看到算式往往就會不假思索地寫上得數(shù)。在口算遷移的過程中，學(xué)生就只會機(jī)械套用口算的“簡化”外形，用“去0添0”法來進(jìn)行計(jì)算，但并沒有深刻理解其中的道理，而且不能把算法算理聯(lián)系起來，導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算口算除法時數(shù)位錯誤，特別是像200÷5，4000÷8這樣的口算除法。同時，學(xué)生覺得口算除法簡單，就算出現(xiàn)錯誤也是覺得是自己粗心所致，并不會深究其中的原因。

二、追根溯源，了解學(xué)習(xí)起點(diǎn)

“口算除法”這堂課是屬于算法簡單，但是算理值得細(xì)究的一堂計(jì)算課。那么如何讓學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)計(jì)算過程中的道理呢？筆者從學(xué)生、教材、教學(xué)入手，努力解決這些困惑，并參考相應(yīng)的文獻(xiàn)資料，提出促使學(xué)生在有效的探究活動中，能夠在已有的知識經(jīng)驗(yàn)、算法遷移、思維提升等方面感知算理、遷移算理的有效措施。

（一）教學(xué)分析

筆者對比了人教版、北師大版和蘇教版三個版本的數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)三個版本的內(nèi)容是相同的，只是知識的編排順序和位置不太相同。人教版教材例題情境圖是將手工紙?jiān)O(shè)計(jì)為10張一沓，一共6沓平均分給3人；北師大版教材是將10根胡蘿卜為一捆，一共6捆平均分成2份；蘇教版教材是將10支鉛筆為一捆，一共6捆平均分給3個班。三個版本教材都以動態(tài)呈現(xiàn)分物品的方式，為學(xué)生理解算理提供支撐。其中，人教版教材的反饋環(huán)節(jié)重點(diǎn)呈現(xiàn)了算理：6個十除以3等于2個十。而北師大版和蘇教版同時呈現(xiàn)算理和算法，算法有“想乘算除”法和“去0添0”法，但是算理算法的呈現(xiàn)并不分明。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在對口算除法的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。那么之前的學(xué)生的計(jì)算能力能為本節(jié)課提供哪些服務(wù)？又會出現(xiàn)哪些學(xué)習(xí)困惑？為此，筆者設(shè)計(jì)了學(xué)習(xí)前測單，以此了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，評估學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，助力學(xué)生對運(yùn)算本質(zhì)的深度理解。對于前測結(jié)果，筆者從兩個方面進(jìn)行研究。研究一：學(xué)生在課前能口算得出除數(shù)是一位數(shù)的除法算式的答案嗎？研究二：學(xué)生在課前能表示口算除法的算理嗎？

數(shù)據(jù)表明，學(xué)生對算法有所感知，從“研究一”的前測結(jié)果看出大部分學(xué)生對于口算除法都能得到正確的結(jié)果，與60÷3相比，120÷3的正確率有所降低，像200÷5這樣最高位不夠除的口算除法，學(xué)生有一定的困難。在“研究二”不難發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生用了“去0添0”法來計(jì)算，但是卻不明白其中的道理。幾乎沒有學(xué)生能表征出真正的算理：把60看成6個十，6個十除以3等于2個十。

通過對不同版本教材的分析以及前測結(jié)果，筆者認(rèn)為本節(jié)課教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生提供豐富的素材進(jìn)行多元表征，數(shù)形結(jié)合，為學(xué)生理解算理提供直觀支撐，同時給學(xué)生足夠的時間，讓每一個學(xué)生深入地去探究、做到“理”“法”分明，提供不同層次的練習(xí)，在趣味練習(xí)中突破學(xué)生的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生遷移算理和算法，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

三、教學(xué)實(shí)踐，尋求多維策略

（一）算法先行，巧質(zhì)疑

本節(jié)課的算法簡單，所以可以一開始就充分“暴露”學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓算法先“立”起來，這就是“算法先行”。

【片段1】

1. 出示題目，理解題意。

把60支水彩筆平均分給3人，每人分得多少支？

師：你能列出算式嗎？為什么用除法列式？60÷3怎么口算？

生1：因?yàn)?0×3＝60，所以60÷3＝20。

生2：我把60的0先去掉，計(jì)算6÷3＝2，再添上0就是20。

2. 提出質(zhì)疑，引發(fā)思考。

師：為什么可以這樣計(jì)算呢？請你先靜靜地想一想。

本課以解決問題的方式引入，借助“你是怎么口算的”“為什么可以這樣算”等關(guān)鍵問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)，促進(jìn)學(xué)生對算理的思考，自發(fā)運(yùn)用已有的知識去解決新的問題。

（二）多元表征，巧說理

為了讓學(xué)生能更好地理解算理，需要呈現(xiàn)多元化的素材，為學(xué)生探究算理提供直觀形象的支撐，這不僅可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深刻理解，還可以積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

【片段2】

1. 研究60÷3＝20。

師：為什么60÷3可以用“去0添0”的方法來計(jì)算呢？你可以選擇合適的材料（小棒圖、計(jì)數(shù)器圖），把你的想法用畫一畫或者寫一寫的方式表示出來。

2. 反饋交流。

3. 小結(jié)算理。

師：原來“去0添0”的方法，實(shí)際上就是把60看成6個十，6個十除以3等于2個十，就在2的后面添上0。

學(xué)生借助小棒圖、計(jì)數(shù)器等多種表征方式，直觀感受6捆÷3＝2捆，6顆十位上的珠子÷3＝2顆，也就是20。利用不同材料，讓學(xué)生進(jìn)行多元表征，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)聯(lián)不同方式之間的聯(lián)系，從中逐步抽象出算理。在生生互動的過程中，在一次次圖示和算理的溝通中內(nèi)化理解口算除法的算理。

（三）借助教具，巧聯(lián)系

引導(dǎo)學(xué)生將口算除法的算法和算理進(jìn)行遷移，借助形象的計(jì)數(shù)器教具，找到6÷3，60÷3，600÷3，6000÷3這4個算式之間的聯(lián)系。

【片段3】

1. 動畫出示計(jì)數(shù)器圖。

在十位上有6顆珠子，平均分成3份，表示60÷3＝20。

2. 這6顆珠子還能放在哪里？該怎么列式？

①個位：6÷3＝2；②百位：600÷3＝200；③千位：6000÷3＝2000。

3. 600÷3，6000÷3這兩道題怎么口算？能不能結(jié)合圖說說你的想法。

生：6個百除以3是2個百，就是200。6個千除以3是2個千，就是2000。

4. 觀察討論，溝通聯(lián)系。

師小結(jié)：整十、整百、整千數(shù)除以一位數(shù)，我們可以看成幾個十、幾個百和幾個千去除以一位數(shù)。所以口算時可以用“去0添0”的方法轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的表內(nèi)除法來進(jìn)行計(jì)算。

在課堂上充分利用計(jì)數(shù)器的動態(tài)展示，不僅豐富學(xué)生的認(rèn)知，還為知識結(jié)構(gòu)化的形成提供了載體。通過直觀的計(jì)數(shù)器，展現(xiàn)這些算式都是以6÷3＝2為基礎(chǔ)拓展的，這過程將口算除法的算理串聯(lián)起來，并通過練習(xí)對比，使學(xué)生總結(jié)計(jì)算整十、整百、整千數(shù)除以一位數(shù)，都可以把被除數(shù)轉(zhuǎn)化成幾個計(jì)數(shù)單位去除以這個一位數(shù)。在學(xué)生經(jīng)歷比較的過程，明確算理的一致性，滲透轉(zhuǎn)化思想。

（四）遷移類推，巧轉(zhuǎn)化

學(xué)習(xí)完例1的口算除法知識后，大部分學(xué)生能運(yùn)用所習(xí)得的方法獨(dú)立解決例2的問題，實(shí)現(xiàn)知識、方法的自主遷移類推。

【片段4】

1. 出示習(xí)題，獨(dú)立完成。

2. 錯例分析，比較探究。

3. 師小結(jié)：并不是被除數(shù)有幾個0，商的末尾也有幾個0，我們要看清楚到底去掉了幾個0，才能在商的末尾添上幾個0。

對于120÷3的口算沒有什么難度，讓學(xué)生說一說其中的算理，學(xué)生也都能掌握。而對于400÷8這樣的題目，屬于學(xué)生計(jì)算的易錯點(diǎn)，也是難點(diǎn)。以錯例的出示讓學(xué)生避免產(chǎn)生思維定式，明確整十整百、整千數(shù)除以一位數(shù)，商末尾0的個數(shù)和被除數(shù)末尾0的個數(shù)不一定一致。

（五）趣味練習(xí)，巧拓展

練習(xí)是鞏固知識的重要載體，教師更要設(shè)計(jì)有趣的口算游戲、新穎的口算題型來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時，使學(xué)生在基礎(chǔ)知識得到鞏固的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)赝卣寡由欤寣W(xué)生體會學(xué)習(xí)知識的樂趣。

四、反思回溯，探索教學(xué)本質(zhì)

（一）凸顯運(yùn)算本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“教學(xué)評一致性”的教學(xué)理念。而數(shù)的運(yùn)算與數(shù)的概念一樣，其本質(zhì)上的一致性離不開計(jì)數(shù)單位這一核心概念。正如本節(jié)課中，讓學(xué)生通過多元表征來明晰算理，整十、整百、整千除以一位數(shù)可視為數(shù)個十、數(shù)個百、數(shù)個千除以一位數(shù)，即將被除數(shù)視為數(shù)個計(jì)數(shù)單位進(jìn)行計(jì)算，使學(xué)生深刻體會到數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上是以計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算為基礎(chǔ)的，從而形成運(yùn)算能力，形成推理意識，使后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)除以一位數(shù)以及四年級學(xué)習(xí)除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法的過程中，實(shí)現(xiàn)了知識的遷移，凸顯了運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。

（二）多元表征、遷移類推，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

多元表征可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深刻理解，從不同的表征方式中抽象出算理，突出口算除法的算理內(nèi)涵。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識自主探究新知，培養(yǎng)了學(xué)生遷移類推的數(shù)學(xué)思想，能夠?yàn)閷W(xué)生未來的長遠(yuǎn)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。正如這節(jié)課，學(xué)生通過多元表征抽象出算理，建立算理模型。在說理辨析中，深入探究算理結(jié)構(gòu)。在知識的遷移類推中，拓展算理結(jié)構(gòu)，形成算法模型。這不就正是深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。對于口算教學(xué)，教師要有類的意識，巧用結(jié)構(gòu)化教具建立口算的模型，讓學(xué)生從一道題到一類題，充分發(fā)揮口算教學(xué)單元起始課的作用，為后續(xù)筆算教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

（三）精心設(shè)計(jì)，把口算教“簡單”

深度研讀教材是做好教學(xué)設(shè)計(jì)的前提，讀懂學(xué)生心理是進(jìn)行有效教學(xué)的關(guān)鍵。

在開始設(shè)計(jì)這節(jié)課時，筆者認(rèn)為這節(jié)課的內(nèi)容太少，在深入研究后才意識到這節(jié)課可以上得如此豐富。本節(jié)課重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建算理的模型，并且在理解算理的基礎(chǔ)上概括算法，從而明晰算理，遷移算法。通過“算法先行，巧質(zhì)疑；多元表征，巧說理；借助教具，巧聯(lián)系；遷移類推，巧轉(zhuǎn)化；趣味練習(xí)，巧拓展”這五個精心設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)，使知識之間縱橫連接、凝結(jié)成塊，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

對于計(jì)算教學(xué)，作為教師應(yīng)該要教“簡單”，而不是“簡單”教。計(jì)算教學(xué)還有很多的理念和策略值得我們?nèi)パ芯亢蜕钏肌?/p>

參考文獻(xiàn)：

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