問題導(dǎo)學(xué)模式在初中幾何推理教學(xué)中的運(yùn)用

【摘要】幾何推理教學(xué)中，問題導(dǎo)學(xué)模式能幫助學(xué)生明確思考方向，有助于學(xué)生快速獲取解題思路，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理與幾何直觀.學(xué)生能夠自主有向思考，探尋解題的快樂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

【關(guān)鍵詞】問題導(dǎo)學(xué)模式；初中數(shù)學(xué)；幾何推理

問題導(dǎo)學(xué)模式是一種借助問題引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、深度探究的教學(xué)模式，將這一模式應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)幾何推理的課堂教學(xué)過程中，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力有著積極意義[1].在初中階段，幾何課程是發(fā)展學(xué)生推理能力的主要載體.探尋思考過程，尋找解題思路是完成幾何推理的首要任務(wù).為擺脫就題論題的低效環(huán)節(jié)，以問題引領(lǐng)為抓手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題成為幾何教學(xué)的重要目標(biāo).本文主要以相交線與平行線相關(guān)內(nèi)容為載體，探索問題導(dǎo)學(xué)模式在初中幾何推理教學(xué)中的運(yùn)用.

初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域主要研究圖形的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.在幾何圖形中，特殊的位置關(guān)系常能帶來特殊的數(shù)量關(guān)系，反之亦然.學(xué)生能否準(zhǔn)確理解幾何概念、正確進(jìn)行推理，能否正確分析和使用幾何文字信息與圖形信息對(duì)解題起著關(guān)鍵作用.

解題教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生常難以充分應(yīng)用題中的文字信息與圖形信息，疏忽“特殊的位置關(guān)系常能推出特殊的數(shù)量關(guān)系”與“特殊的數(shù)量關(guān)系可以得出特殊的位置關(guān)系”.問題導(dǎo)學(xué)在幾何教學(xué)中即通過問題引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生有向思考，在解題過程中將特殊的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系二者緊密聯(lián)系，尋找?guī)缀瓮评磉^程中的“橋梁”，將本無聯(lián)系的邊或角建立起聯(lián)系，學(xué)生的思路得以打開，從而順利完成證明.

1已知出發(fā)巧設(shè)問

例1如圖1，四邊形ABCD中，AB⊥AC．若∠1+∠B=90°，求證：AD∥BC.

問題1：已知條件中“∠1+∠B=90°”你是怎么理解的？

問題2：∠1與∠B在圖中是否有特殊的位置關(guān)系？能進(jìn)一步推出其他幾何信息嗎？

問題3：圖中是否存在哪個(gè)角與這兩個(gè)角有特殊的位置或數(shù)量關(guān)系？

問題4：借助這些關(guān)系，你能根據(jù)已知信息“∠1+∠B=90°”推得哪些結(jié)論？

解答1：由和為90°的數(shù)量關(guān)系可得∠1與∠B為互余關(guān)系.

解答2：讀題標(biāo)量，觀察幾何圖形，二者并無特殊的位置關(guān)系，無法做進(jìn)一步推理.

解答3：由AB⊥AC，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，可得∠B與∠ACB互為余角.由圖可知，∠1與∠ACB互為內(nèi)錯(cuò)角.

分析本題中的∠ACB能夠使兩個(gè)本無關(guān)系的角建立起聯(lián)系，即起到“橋梁”作用.在本題的析題過程中“圖中是否有哪個(gè)角與∠1與∠B均有特殊的位置關(guān)系？”能夠幫助學(xué)生在幾何圖形中尋找相關(guān)幾何模型，有向思考，尋找中間角，充分解讀已知信息.

解答4：∠B與∠ACB互為余角，結(jié)合已知信息∠1與∠B互余，由同角的余角相等，因此可證明∠1=∠ACB這一特殊的數(shù)量關(guān)系.由內(nèi)錯(cuò)角相等，可進(jìn)一步推得AD與BC互相平行的位置關(guān)系.

分析本題已知信息“∠1+∠B=90°”對(duì)多數(shù)中下生而言，是無從下手的條件，問題引領(lǐng)去尋找“橋梁”，找中間角，通過圖形中是否存在特殊位置關(guān)系切入，使∠1與∠B聯(lián)系起來，進(jìn)一步推出其他幾何信息.審題與識(shí)圖的過程中，目標(biāo)指向明確引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何圖形，獲取有關(guān)模型，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.借助中間角使∠1與∠B互余的信息得到更加充分的應(yīng)用，明晰思路，學(xué)生的幾何推理能力得以發(fā)展.

問題導(dǎo)向，目標(biāo)明確，學(xué)生在解決此類問題時(shí)能夠有跡可尋，找到解決問題的一般規(guī)律，感受幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)與有序，逐步建立幾何學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.將已知信息中角相關(guān)的特殊的數(shù)量關(guān)系標(biāo)注圖中，如果本身就具有特殊的位置關(guān)系，容易推出兩線垂直或平行等特殊的位置關(guān)系.若相關(guān)角無特殊的位置關(guān)系，已知數(shù)量關(guān)系對(duì)部分學(xué)生而言是難以著手和理解的信息，引導(dǎo)搭橋找中間角建立聯(lián)系，可以進(jìn)一步推出更多信息.中間角的尋找對(duì)問題的分析和解答起著關(guān)鍵作用.

例2如圖2所示，已知AD∥BC，∠A=∠C，試證明AB∥CD.

問題1：已知信息∠A=∠C可知∠A與∠C具有特殊的數(shù)量關(guān)系，在圖2中，二者有特殊的位置關(guān)系嗎？

問題2：請(qǐng)嘗試尋找“橋梁”，搭建起∠A與∠C之間的聯(lián)系.

解答1：∠B與∠A互為同旁內(nèi)角，∠B與∠C互為同旁內(nèi)角；這里∠B可以使∠A與∠C建立起聯(lián)系.

解答2：①∠ADC與∠A互為同旁內(nèi)角，∠ADC與∠C互為同旁內(nèi)角；這里∠ADC可以使∠A與∠C建立起聯(lián)系.

解答3：∠CDE與∠A互為同位角，∠CDE與∠C互為內(nèi)錯(cuò)角；這里∠CDE可以使∠A與∠C建立起聯(lián)系.

分析本題已知信息中需要關(guān)注的是“∠A=∠C”兩個(gè)角在圖中是四邊形的對(duì)角，但依據(jù)這一等量關(guān)系無法進(jìn)一步推理，引導(dǎo)學(xué)生思考是否有角與∠A、∠C均有關(guān)系，尋找具有特殊位置關(guān)系的中間角，在∠A與∠C之間搭建橋梁，建立聯(lián)系，解決問題.問題引領(lǐng)，目標(biāo)明確，本題的多種解法便自然生成，對(duì)中等生而言也能很快找到解題方法，明晰解題思路，學(xué)生在思考的過程中感受解題的快樂，體會(huì)成功的喜悅.本題的證明在后續(xù)學(xué)習(xí)平行四邊形相關(guān)知識(shí)中，仍會(huì)遇見，理清圖中的特殊位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，能為后續(xù)復(fù)雜幾何推理的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

角度相等、互余、互補(bǔ)這些常見特殊關(guān)系的出現(xiàn)，結(jié)合圖形，常能建立特殊的位置關(guān)系.反之，平行、垂直等特殊的位置關(guān)系，能夠帶來角之間特殊的數(shù)量關(guān)系.二者相互依存，有著密切的聯(lián)系，在幾何學(xué)習(xí)的初始階段，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖中特殊關(guān)系所帶來的模型，更需要通過問題引領(lǐng)思考，培養(yǎng)學(xué)生的幾何邏輯推理能力.問題導(dǎo)學(xué)模式下的幾何推理教學(xué)，可以幫助學(xué)生有向思考，一題多解的思路自然打開，多數(shù)學(xué)生能夠自行解題，并提供多種解題思路.

2設(shè)問出發(fā)勤聯(lián)系

從設(shè)問出發(fā)，將題中文字信息與圖形信息緊密聯(lián)系，思考需要求證的角或線段與已知信息是否存在特殊的位置或數(shù)量關(guān)系，找到二者的“橋梁”，即能迅速理清題目的已知與求證，為解題提供有效思考方向.

例3如圖3，BC⊥AC，CD是△ABC的高，求證：∠B=∠2．

問題1：∠B與∠2在圖中有特殊的關(guān)系嗎？

問題2：∠B與哪些角有特殊的數(shù)量關(guān)系？

問題3：∠2與哪些角有特殊的數(shù)量關(guān)系？

問題4：是否存在與∠B、∠2均有特殊位置關(guān)系的角？你能找到這兩者之間的橋梁?jiǎn)幔?/p>

解答1：無特殊關(guān)系.

解答2：Rt△CDB中，∠B與∠1互余；Rt△ACB中，∠B與∠A互余.

解答3：可知，∠2與∠1互余；Rt△ADC中，∠2與∠A互余.

解答4：①Rt△CDB中，∠B與∠1互余；由BC⊥AC可知，∠2與∠1互余；因此，∠1可以作為∠B、∠2的橋梁，通過等量代換可證∠B與∠2相等.

②Rt△ACB中，∠B與∠A互余；Rt△ADC中，∠2與∠A互余；因此，∠A可以作為∠B、∠2的橋梁，通過等量代換可證∠B與∠2相等.

分析解答本題的突破口在需要證明的結(jié)論“∠B=∠2”中.觀察圖形發(fā)現(xiàn)∠B與∠2分別在不同的三角形中，要證明兩角相等的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)去找中間角，使其與兩個(gè)角均有關(guān)系，在此搭橋建聯(lián)系，即可順利解答.本題可找中間角∠A或∠1均可完成證明.

例4如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上．

求證：∠ADE=∠DFC.

問題1：∠ADE與∠DFC在圖中是否有特殊的位置關(guān)系？

問題2：∠ADE與∠DFC在哪一個(gè)特殊的圖形中？

問題3：你能找到聯(lián)系兩個(gè)角的“橋梁”嗎？是否存在一個(gè)角，與∠ADE、∠DFC均有特殊的位置或數(shù)量關(guān)系？

解答1：無特殊位置關(guān)系

解答2：∠ADE是直角∠DEF中的一部分；∠DFC是∠DFE中的一部分，同時(shí)也是Rt△DCF中的一個(gè)內(nèi)角.

解答3：∠EDF為直角，可知∠ADF與∠ADE互余；Rt△DCF中，可知∠ADF與∠DFC互余；二者的橋梁即為∠ADF.

分析本題為2021年福建中考第21題節(jié)選部分.分析題意，易發(fā)現(xiàn)本題為從問題出發(fā).觀察圖形，可知∠ADE與∠DFC發(fā)現(xiàn)要證明的∠ADE與∠DFC，在圖中并沒有直接的位置關(guān)系，需尋找這兩個(gè)角的中間角，即是否存在某個(gè)角與這兩個(gè)角都有特殊關(guān)系.

由△EFD為等腰直角三角形可知∠EDF=90°，即∠CDF與∠ADE互余；由∠ACB=90°可得∠DCF=90°，即△DCF是直角三角形，可得∠CDF+∠DFC=90°（若能發(fā)現(xiàn)∠ACB是△DCF的外角，可以更直接得到兩個(gè)角互余的數(shù)量關(guān)系），即∠CDF與∠DFC互余，由同角的余角相等，∠ADE=∠DFC得證.

本題從設(shè)問出發(fā)，為∠ADE與∠DFC找中間角，搭橋建聯(lián)系.面對(duì)中考這一重要場(chǎng)合，若不能清晰明確的分析題意，學(xué)生很容易在本題消耗時(shí)間，無法在較短時(shí)間內(nèi)獲取答題思路，影響后續(xù)答題情緒和狀態(tài).在日常教學(xué)過程中，通過問題導(dǎo)向?qū)ふ抑虚g角解決角度證明問題，方向明確且思路清晰，在這個(gè)過程中，有方向指引，可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀推理能力.

3結(jié)語(yǔ)

問題導(dǎo)學(xué)模式對(duì)幾何推理教學(xué)有著重要作用，能起到事半功倍的效果.作為數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)教學(xué)中若僅僅“授之以漁”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)“悟其漁識(shí)”，即在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，除了讓學(xué)生掌握必備的知識(shí)、技能，更要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法的滲透[2].幾何學(xué)習(xí)的初始階段，通過問題引領(lǐng)，在充分關(guān)聯(lián)相關(guān)知識(shí)和思想方法的基礎(chǔ)上，尋找基本模型，有助于獲取解題思路，提升思維品質(zhì).

以題育人，問題導(dǎo)學(xué)模式的教學(xué)可以幫助學(xué)生在解題與析題過程中，深刻感受目標(biāo)引領(lǐng)與方向指引的重要性，若沒有正確的引領(lǐng)，將難以抵達(dá)成功的彼岸.羅增儒教授曾說“解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)核心內(nèi)容和一種最基本的活動(dòng)形式，是掌握數(shù)學(xué)和學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地

思維”的基本途徑，是貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)生活乃至整個(gè)生命歷程的伴侶”.幾何推理教學(xué)中，精準(zhǔn)的問題引領(lǐng)有助于學(xué)生學(xué)會(huì)思考，掌握思考的方向和要領(lǐng).

參考文獻(xiàn)：

[1]肖獻(xiàn)井.問題導(dǎo)學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運(yùn)用[J].新課程研究，2022（29）：66-68

[2]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：杭州教育出版社，2017.