初中數(shù)學(xué)圓中最值問(wèn)題的解題方法探討

【摘要】幾何是數(shù)學(xué)領(lǐng)域較為重要的內(nèi)容，也是初中學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)的難點(diǎn).圓是幾何學(xué)的構(gòu)成元素，在初中出現(xiàn)的平面圖形中屬于重要的內(nèi)容.在幾何問(wèn)題的處理中，圓的存在相當(dāng)于一種工具，能夠在大多數(shù)問(wèn)題處理中使用，由此較快地找到問(wèn)題處理思路，能夠在短時(shí)間解決問(wèn)題.本文對(duì)圓中最值問(wèn)題進(jìn)行深入剖析，提供從概念出發(fā)，垂線段求最值，以及位置轉(zhuǎn)化，對(duì)稱點(diǎn)求最值等解決圓中最值問(wèn)題的解題方法，為學(xué)生處理相關(guān)問(wèn)題提供新的解題措施，希望對(duì)學(xué)生解題思路的形成有啟發(fā)性作用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圓；最值問(wèn)題；解題方法

圓是幾何圖形中相對(duì)重要的內(nèi)容，在生活、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域出現(xiàn)的頻次較高，所以學(xué)生需要在圓的學(xué)習(xí)中，對(duì)于定義、直徑、周長(zhǎng)等概念有充分的認(rèn)識(shí)，利于學(xué)生空間想象能力的發(fā)展，同時(shí)可以強(qiáng)化學(xué)生的集合思維，便于學(xué)生遇到幾何問(wèn)題后，迅速找到思路，用較短的時(shí)間解決問(wèn)題.圓中最值問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域是相對(duì)重要的問(wèn)題，因其涉及的內(nèi)容復(fù)雜，求解過(guò)程需要進(jìn)行的工作多，所以不少學(xué)生對(duì)其感到困惑.本文圍繞圓中最值問(wèn)題進(jìn)行深入的研究，細(xì)致地剖析圓中最值問(wèn)題，給出解答相關(guān)習(xí)題的方法.

1從概念出發(fā)，垂線段求最值

對(duì)圓作垂線，利用垂線段分析圓，建立解題模型，最終給出問(wèn)題的處理方法.該線段主要由圓上的一點(diǎn)出發(fā)，與圓的半徑或直徑相交，為垂直關(guān)系的則是垂線段[1].在問(wèn)題的處理中，如果找不到思路，可以運(yùn)用作垂線的方法，獲得新的已知條件，隨后與習(xí)題原有條件進(jìn)行聯(lián)立，重新分析問(wèn)題并建立相關(guān)的模型.在垂線段的輔助下，找到解決問(wèn)題的新思路，最終構(gòu)建問(wèn)題處理方案，取得圓的最值[2].

例1在圓O中，弦AB=1，AB上有移動(dòng)的點(diǎn)C，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，CD與圓O有一交點(diǎn)D，CD的最大值是？

分析在求解CD最大值時(shí)，學(xué)生當(dāng)下掌握的條件不足，所以不能快速找到問(wèn)題的答案.此時(shí)需要根據(jù)問(wèn)題求解建立新的條件，為此可以選擇在圓中作垂線的方法，增加新的已知條件，與題干中弦AB=1聯(lián)立，求解問(wèn)題.對(duì)問(wèn)題圖形作輔助線OD，如圖1所示.結(jié)合題目中給出的信息，線段OC與CD為垂直關(guān)系，所以兩者的夾角為90°，將△OCD作為研究對(duì)象，OC為最小值時(shí)，CD的值最大.因此，對(duì)△OCD中各線段的大小關(guān)系進(jìn)行探討，在線段OC與AB垂直時(shí)，OC的值也就是最小值，B點(diǎn)、D點(diǎn)重合，此時(shí)CD的值最大，CD=12AB，將AB=1代入其中，CD=12.對(duì)本題問(wèn)題的處理，需要將關(guān)鍵集中在垂線的設(shè)置，否則僅憑題干提供的信息，并不能對(duì)CD進(jìn)行求解.作輔助線后，得到△OCD，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)變化時(shí)，將CD套在△OCD中，對(duì)其最值進(jìn)行分析與判斷，最終求得答案.

學(xué)生在問(wèn)題求解中，除了需要作垂線的輔助線，同時(shí)應(yīng)該具有觀察圖形進(jìn)行分析的能力，于圖形的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)變化中，找到臨界點(diǎn)，利用題干給出的信息，進(jìn)行圖形各類關(guān)系的梳理，最終得出問(wèn)題答案.

2位置轉(zhuǎn)化，對(duì)稱點(diǎn)求最值

在平面上的兩個(gè)點(diǎn)，如果其存在以某直線或中心點(diǎn)對(duì)稱的關(guān)系，則可以將這兩個(gè)點(diǎn)稱為對(duì)稱點(diǎn).在圓最值問(wèn)題的處理中，圓形本身是對(duì)稱圖形，教師向?qū)W生滲透豐富的對(duì)稱知識(shí)，學(xué)生可以在該種工具的運(yùn)用下，于習(xí)題給出的圖形中作對(duì)稱點(diǎn)，增加新的條件，在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化特殊線段的位置與特殊點(diǎn)，在相關(guān)條件的運(yùn)用下求到圓的最值[3].在圓的最值求解中，教師向?qū)W生傳授對(duì)稱點(diǎn)求解的方法，增加學(xué)生在問(wèn)題分析時(shí)可選擇的手段.學(xué)生對(duì)于可應(yīng)用對(duì)稱法的習(xí)題，作對(duì)稱點(diǎn)后，只需要計(jì)算部分圓中的點(diǎn)，利用幾何圖形對(duì)稱性的特點(diǎn)，即可得到問(wèn)題的答案.在此期間節(jié)省不少的工作，還可以避免因計(jì)算量過(guò)大出現(xiàn)計(jì)算失誤的問(wèn)題[4].

例2圓O中AB是其直徑，點(diǎn)M在圓O上，∠MAB=20°，AB=8，同時(shí)點(diǎn)N，P分別為弧MB中點(diǎn)、直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，如果MN=1，△MNP周長(zhǎng)的最小值是？

分析對(duì)于該問(wèn)題，在△MNP周長(zhǎng)的求解中，學(xué)生可以使用對(duì)稱法，找到對(duì)解答問(wèn)題有利的點(diǎn)，并根據(jù)直徑作對(duì)稱的點(diǎn).在此基礎(chǔ)上計(jì)算部分圖形，隨后利用對(duì)稱性解答.

如圖2所示，在解題時(shí)作輔助線，得到N′.N′是N關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)，利用該點(diǎn)解答問(wèn)題.在該對(duì)稱點(diǎn)作完后，連接NN′，MN′，ON，ON，OM.連點(diǎn)成線后，相關(guān)直線相交的點(diǎn)P′，便是△MNP周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn).學(xué)生發(fā)現(xiàn)該關(guān)系后，結(jié)合習(xí)題中給出的條件進(jìn)行推導(dǎo)，∠A=∠NOB，∠NOB=∠MON，∠MON=20°，∠A=20°.根據(jù)該結(jié)果，∠MON′=60°，在問(wèn)題處理時(shí)，因三角形各角相等的條件，推導(dǎo)其為等邊三角形，基于等邊三角形的特點(diǎn)，△MNP最小周長(zhǎng)為5.

與其他解題方法相比，對(duì)稱法的運(yùn)用可以節(jié)省大量的計(jì)算量，減少學(xué)生在問(wèn)題處理中所用的時(shí)間，便于學(xué)生快速獲得答案.在本次習(xí)題處理中，學(xué)生能否作輔助線，是求解△MNP最小周長(zhǎng)的難點(diǎn)，同時(shí)對(duì)△MNP類型進(jìn)行判斷，是該問(wèn)題的另一難點(diǎn)，在學(xué)生處理兩個(gè)問(wèn)題后，答案也就呼之欲出了.

3結(jié)語(yǔ)

圓中最值問(wèn)題在初中幾何學(xué)中是相對(duì)重要的部分，圓的最值問(wèn)題涉及內(nèi)容復(fù)雜，其中包括圓的性質(zhì)，學(xué)生在問(wèn)題研究中還需要運(yùn)用方法判斷圓的最大值與最小值.由于過(guò)程復(fù)雜，不便于學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，難以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效的分析，學(xué)生的邏輯思維會(huì)受到影響，難以在問(wèn)題分析與研究中，快速找到解決的方法.數(shù)學(xué)教師針對(duì)學(xué)生在圓中最值問(wèn)題分析中的表現(xiàn)，掌握學(xué)生處理此類問(wèn)題的不足，給出解題方法，強(qiáng)化學(xué)生在問(wèn)題分析與處理中的能力，為學(xué)生奠定穩(wěn)固的學(xué)科基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]周利明.初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的妙用——以“函數(shù)的最值問(wèn)題”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2023，37（07）：43-45.

[2]何星依.圓中最值問(wèn)題的幾種解題思路[J].數(shù)理天地（初中版），2023（15）：34-35.

[3]左朋法.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“圓”的解題解析[J].數(shù)理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[4]楊麗娟.讓轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)課堂中落地生根——以“圓中角的轉(zhuǎn)化”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].求知導(dǎo)刊，2023（28）：62-64.