初中數(shù)學(xué)中換元法解題技巧

【摘要】本文深入探討換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，通過詳細的案例分析和理論闡述揭示換元法在解決各類數(shù)學(xué)問題中的獨特價值和重要作用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；換元法；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)解題實踐中，采用“換元法”通常包含三個主要步驟：首先，確定并引入合適的新變量進行換元；其次，利用新變量并解決簡化后的問題；最后，對所得到的解進行檢驗，確保其滿足原題的所有條件.

1換元法在分解因式中的應(yīng)用

在因式分解的解題過程中，運用換元法時，學(xué)生需要首先識別出原代數(shù)式中適合替換的部分，并用一個新的變量來代替它，這樣做可以減少因式的項數(shù)，使問題變得更為簡潔明了，從而有助于學(xué)生更快速地找到解題思路.

例1把（x+y）（x+2xy+y）+（xy+1）（xy－1）因式分解.

分析對于一部分學(xué)生而言，當(dāng)例題1中出現(xiàn)兩個未知數(shù)時，可能會感到無從下手.為了解決這個問題，可以采用一種預(yù)設(shè)簡單元素替代的方法.具體來說，可以令x+y=m，xy=n，這樣原本包含多個項的多項式就會被簡化為一個更易于處理的二元式.這種換元的方法不僅從內(nèi)部簡化了原有的思考方式和解題方式，還有助于學(xué)生更順利地找到正確答案.

解析假設(shè)x+y=m，xy=n，

利用換元法將其帶到原有的公式中，最終得出：

（x+y）（x+2xy+1）+（xy+1）（xy－1）

=m（m+2n）+（n+1）（n－1），

對其進行計算，可以得到：

原式=m2+2mn+n2－1，

對其進行簡化，得到：

原式=（m+n）2－1

=（m+n+1）（m+n-1）

=（xy+x+y+1）（xy+x+y-1）

=（x+1）（y+1）（xy+x+y-1）

2換元法在解答方程（組）問題中的應(yīng)用

通過換元，可以將復(fù)雜的新知識轉(zhuǎn)化為熟悉的舊知識，使學(xué)生能夠更靈活地運用所學(xué)知識來解答問題.在解決方程組問題時，學(xué)生需要明確未知條件和已知條件之間的關(guān)系，或者揭示方程組中隱藏的已知條件之間的聯(lián)系.

例2已知x，y的方程組為x+3y=－k－12x+y=5k+4的解滿足x+y=5，求解k的數(shù)值.

分析在本題目中可以采用加減消元的方法.

解析

x+3y=－k－1①2x+y=5k+4②，

將①乘2-②可以得到5y=－7k－6，

得到y(tǒng)=－7k+65③.

將③代到①，最終可以得到：

x+3×（－7k+65）=－k－1，

得到x=16k+135.

由于x+y=5，

故得到16k+135－7k+65=5，

最終求解出k=2.

例3解方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）=1.

分析這是一道頗具挑戰(zhàn)性的經(jīng)典方程問題.對于初中學(xué)生來說，如果采用傳統(tǒng)的解題思路，即通過括號相乘會得到一個復(fù)雜的一元四次方程，這顯然超出了學(xué)生的能力范圍.為了解決這個問題，可以引入換元法.通過引導(dǎo)學(xué)生對整個方程的結(jié)構(gòu)進行深入分析，并巧妙地運用換元技巧，可以將原問題簡化為一個更易于處理的方程，從而使學(xué)生能夠順利找到答案.需要注意的是，具體的換元過程和計算細節(jié)可能因題目而異，但核心思想是通過引入新的變量來簡化原方程.在實際操作中，學(xué)生應(yīng)根據(jù)方程的特點和結(jié)構(gòu)來選擇合適的換元方式，并仔細進行計算和驗證，以確保得到正確的答案.

解析假設(shè)x2+5x+4=y，

原方程可以改寫為：y（y+2）=1，

對其進行換元，原本的方程式可以簡化，得到y(tǒng)2+2y=1，0c3e0fbd418019aa4ff09297178d881c

也就是y2+2y+1+1=1+1，

即（y+1）2=2，

可以得出這種方程的解是y=1±2，

后將其帶到x2+5x+4=y中，可以進一步求出x的數(shù)值.

3換元法在比較大小中的應(yīng)用

合理應(yīng)用換元法可以顯著降低學(xué)生的解題難度，同時提高學(xué)生的解題效率.通過使用換元法，學(xué)生能夠?qū)⒃緩?fù)雜難懂的題目進行簡化處理，使得解題過程更加清晰明了.在計算和比較數(shù)值大小時，換元法的運用能夠幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確地找到問題的答案.因此，換元法不僅是一種有效的解題工具，更是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維水平的重要途徑.

例4計算大?。?998×2000200－2000×19981998.

分析許多學(xué)生可能會覺得數(shù)字較為復(fù)雜，從而傾向于使用計算器來輔助解答.然而，如果采用換元法來解題，將能夠顯著降低學(xué)生的解題難度.通過換元，可以將題目中的復(fù)雜數(shù)字或表達式替換為更簡單的變量，從而簡化計算過程，使學(xué)生能夠更輕松地找到問題的解決方案.

解析假設(shè)：1998=x，原式子則可以轉(zhuǎn)化為：

x［1000（x+2）+（x+2）］－（x+2）（1000x+x）

=10001x（x+2）－10001x（x+2）

=0.

例5比較A和B的大小：

A=99991111+199992222+1，B=99992222+199993333+1.

分析面對這類數(shù)字龐大且看似復(fù)雜的問題時，學(xué)生們常常感到無從下手.然而，換元法的引入能夠顯著降低解題難度，使得原本復(fù)雜的問題得以簡化，從而讓學(xué)生們能夠更有信心地進行解答.深入分析后，會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字之間實際上存在著緊密的聯(lián)系.通過敏銳地捕捉并利用這些聯(lián)系，學(xué)生們的解題效率將得到顯著提升.

解析假設(shè)99991111=a，

則A=a+1a2+1，B=a2+1a3+1

A－B

=a+1a2+1－a2+1a3+1

=（a4+a3+a+1）－（a4+2a2+1）（a2+1）（a3+1）

=a（a－1）2（a2+1）（a3+1），

因為a>1，

為此A－B>0，

由此可以得到A>B.