妙用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題

【摘要】勾股定理逆定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義．本文通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，主要包括建筑工程、測(cè)量等領(lǐng)域．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理；逆定理

1證明最短路徑問(wèn)題

例1如圖1所示，在一東西方向走向河流的一側(cè)有一個(gè)村莊C，河岸邊原來(lái)有兩個(gè)接水點(diǎn)A，B，且AB=AC，由于很多原因，由C到A的路已無(wú)法通行，C村為方便村民用水，決定在河岸邊重新新建一個(gè)接水點(diǎn)H（A，H，B在一直線上），同時(shí)新修建一條公路CH，測(cè)得BC=2.6km，CH=2.4km，HB=1km．

（1）請(qǐng)問(wèn)CH是否為從村莊C到河岸邊的最近的路，請(qǐng)計(jì)算加以判斷；

（2）求原路AC的長(zhǎng)度．

解析（1）因?yàn)?2+2.42=2.62，

即BH2+CH2=BC2，

根據(jù)勾股定理的逆定理有△CHB是直角三角形，

即CH⊥BH，

所以CH是從村莊C到河邊的最近路（點(diǎn)到直線的距離中，垂線段最短）.

（2）設(shè)AC=AB=x，

則AH=x－1，

在Rt△ACH中，CH2+AH2=AC2，

即2.42+x－12=x2，

解得x=3.38，

所以原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為3.38km．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了勾股定理及其逆定理證明最短路徑和求解距離問(wèn)題，靈活應(yīng)用勾股定理的逆定理和勾股定理是解答本題的關(guān)鍵[1]．

2間接測(cè)量長(zhǎng)度

例2如圖2所示，一棵25m高的樹(shù)在某次大風(fēng)中被刮折，從折斷處A到樹(shù)根B相距8m，樹(shù)頂C落在離樹(shù)根B點(diǎn)15m處，技術(shù)人員為了查看斷痕A處的情況，在離樹(shù)根B 6m的位置D處架起一梯子AD，點(diǎn)D，B，C在一直線上．求梯子的長(zhǎng)度．

解析由題目已知可得：AB+AC=25m，

BC=15m，AB=8m，BD=6m，

∠ABC=∠ABD=90°，

所以AC=17m，

所以172=152+82，

所以AC2=BC2+AB2，

所以∠ABC=∠ABD=90°，

因?yàn)锽D=6m，

由勾股定理得AD2=BD2+AB2，

所以AD=62+82=10m，

即這個(gè)梯子AD的長(zhǎng)應(yīng)是10m．

點(diǎn)評(píng)本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，首先利用勾股定理逆定理求得∠ABC=∠ABD=90°，然后再利用勾股定理求得斜邊AD的長(zhǎng)即可，解題的關(guān)鍵是能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，然后間接測(cè)量梯子的長(zhǎng)度[2]．

3預(yù)測(cè)行駛時(shí)間

例3如圖3，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10：28，我國(guó)邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)AC=10n mile，AB=6n mile，BC=8n mile，若該可疑船只的速度為12.8n mile/h，則該2f979d8743e66920aa42f96420c25c16可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？

解析因?yàn)椤螧DC=90°，

AB2+BC2=62+82=102=AC2，

所以△ABC為直角三角形，

且∠ABC=90°，

因?yàn)镻Q⊥CD，所以可疑船只C進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離是CD，

因?yàn)镾△ABC=12AB×BC=12AC×BD，

所以BD=4.8n mile，

因?yàn)镃D2+BD2=BC2=82=64，

所以CD=6.4n mile，

所以6.4n mile÷12.8n mile/h=0.5h=30min，

所以10：28再過(guò)30分鐘后就是10：58.

點(diǎn)評(píng)已知可疑船只的速度，求出可疑船只到我國(guó)領(lǐng)海的距離CD的長(zhǎng)即可得出可疑船只所用的時(shí)間，即可得出可疑船只何時(shí)能進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海，由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，接著由面積法求出BD的長(zhǎng)，再由勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵[3]．

4檢測(cè)雕塑

例4（1）如圖4，雕塑底座正面是四邊形ABCD，現(xiàn)提供一足夠長(zhǎng)的卷尺，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方法檢測(cè)雕塑底座正面的邊AB是否垂直于底邊BC？并說(shuō)明理由．

（2）若雕塑底座是個(gè)長(zhǎng)方體，量得邊BC長(zhǎng)50cm，邊CD長(zhǎng)40cm，邊DE長(zhǎng)30cm，一只螞蟻從底部點(diǎn)B沿雕塑的表面爬到頂部的點(diǎn)E，螞蟻爬行的最短路程是多少？

解析（1）分別測(cè)量AB，BC和AC的長(zhǎng)度，

若AB2+BC2=AC2，

則△ABC是直角三角形，

∠ABC=90°，即AB⊥BC．

（2）將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖5，

由勾股定理，得：BE2=402+30+502=8000，

所以BE=405．

點(diǎn)評(píng)本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用．分別測(cè)量AB，BC和AC的長(zhǎng)度，利用勾股定理逆定理，可判斷AB是否垂直于BC[4]．

5結(jié)語(yǔ)

勾股定理逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題中具有重要作用，尤其是在建筑工程、測(cè)量等領(lǐng)域．通過(guò)實(shí)例分析，發(fā)現(xiàn)利用勾股定理逆定理可以解決許多復(fù)雜的幾何問(wèn)題，提高工作效率和測(cè)量精度．然而，勾股定理逆定理只適用于直角三角形，對(duì)于非直角三角形并不適用．因此，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)具體情況選擇合適的解決方法．此外，對(duì)于一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題，需要使用更高級(jí)的數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)工具來(lái)解決．隨著數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，可以期待勾股定理逆定理在未來(lái)將會(huì)有更廣泛的應(yīng)用前景．

參考文獻(xiàn)：

[1]陳瑩.初中數(shù)學(xué)勾股定理及逆定理的運(yùn)用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（12）：37-38.

[2]黃玉華.聚焦核心素養(yǎng)發(fā)展提升教材理解能力——以勾股定理的逆定理證法探究為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（29）：60-62.

[3]孫長(zhǎng)智.利用有效增設(shè)探尋證明思路——以“勾股定理的逆定理”教學(xué)片段為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（12）：40-42.

[4]位雅楠.例析規(guī)避勾股定理及其逆定理混用的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（14）：66-67.