反比例函數(shù)中幾何與代數(shù)的綜合問題詳解

【摘要】隨著數(shù)學教育的深入發(fā)展，對函數(shù)教學的研究已經(jīng)成為培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力的重要途徑.本文詳細探討反比例函數(shù)在幾何與代數(shù)領域的綜合問題.首先分析反比例函數(shù)圖象的幾何性質(zhì)，如位置、斜率與常數(shù)k的關系，并探討其在解決實際問題中的應用.接著，討論反比例函數(shù)在代數(shù)領域中的應用，包括解決實際問題和與其他函數(shù)的組合.最后，根據(jù)一道例題提出相應的教學建議.

【關鍵詞】初中數(shù)學;反比例函數(shù);幾何性質(zhì)

1引言

反比例函數(shù)是一種特殊的函數(shù)形式，其定義為y=kx（x≠0），其中k為常數(shù).反比例函數(shù)在幾何和代數(shù)領域都有著廣泛的應用，其綜合問題也一直是教育領域關注的焦點.反比例函數(shù)的綜合問題往往結(jié)合了幾何和代數(shù)知識，在解答時需要運用圖象、公式、方程等多種工具來解決.解答此類問題需要學生具備較高的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力，因此在教學過程中需要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和綜合應用能力.

2試題呈現(xiàn)

如圖1，已知直線l：y=x+4與反比例函數(shù)y=kx（x<0）的圖象交于點A－1，n，直線l′經(jīng)過點A，且與l關于直線x=－1對稱.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求圖中陰影部分的面積；

（3）已知直線l：y=x+4與反比例函數(shù)y=kx（x<0）的圖象交于另一點B，P在平面內(nèi)，若以點A，B，P，O為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件點的P的坐標.

3思路分析

第一問為常規(guī)題，據(jù)A－1，n，l：y=x+4，得出點A的坐標，再將點A的坐標代入反比例函數(shù)，即可解答；第二問可先根據(jù)題意求出直線l′的解析式，結(jié)合圖形陰影部分面積=直線l、直線l′與x軸圍成的三角形面積-直線l′與x軸、y軸圍成的三角形面積，算出直線l、直線l′與坐標軸的交點坐標即可解答；第三問根據(jù)直線l和反比例函數(shù)的解析式，可以得到B點坐標，通過A，B，O三點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到對應的P點坐標.

4解題探究

（1）直線l：y=x+4與反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象交于點A－1，n，

把A－1，n代入l：y=x+4，

得：n=－1+4=3，

所以A－1，3，將A－1，3代入反比例函數(shù)y=kxx<0，

得：3=k－1，所以k=－3，

所以反比例函數(shù)的解析式為y=－3x（x<0）.

（2）根據(jù)直線l：y=x+4，可得直線l與x軸的交點為－4，0，

因為直線l′經(jīng)過點A，且與l關于直線x=－1對稱，

所以直線l′與x軸的交點為2，0，

設直線l′：y=k2x+b，將A－1，3，2，0代入解析式，

得：3=－k2+b0=2k2+b，

解得k2=－1b=2，

所以直線l′：y=－x+2，

所以直線l′與y軸的交點坐標為0，2，結(jié)合圖形陰影部分面積=直線l、直線l′與x軸圍成的三角形面積減去直線l′與x軸、y軸圍成的三角形面積，

所以S陰影=2－－4×32－2×22=9－2=7.

（3）因為直線l：y=x+4與反比例函數(shù)y=－3x（x<0）的圖象交于另一點B，

聯(lián)立得：y=x+4y=－3x，

解得：x1=－1y1=3或x2=－3y2=1，

所以B－3，1，

四邊形ABOP是平行四邊形，則如圖2所示.

當AB為平行四邊形一邊時，則OP∥AB，

所以OP的直線表達式為y=x，

因為A-1，3，B－3，1，O0，0，

①當四點構(gòu)成的為平行四邊形ABP1O時，P1點的橫坐標為0－－1－－3=－2，P1點的縱坐標為0－3－1=－2，

所以P1點的坐標為－2，－2；

②當四點構(gòu)成的為平行四邊形ABOP2時，P2點的橫坐標為0+－1－－3=2，

P2點的縱坐標為0+3－1=2，

所以P2點的坐標為2，2；

③當AB為平行四邊形的對角線時，四點構(gòu)成的為平行四邊形AP3BO時，P3點的橫坐標為－3－［0－（－1）］=－4，P3點的縱坐標為1－0－3=4，

所以P3點的坐標為－4，4.

5結(jié)語

在解決代數(shù)與幾何問題的綜合題時，經(jīng)常需要利用函數(shù)性質(zhì)與圖形之間的轉(zhuǎn)化.例如，可以將圖象的交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解的問題，通過解方程組來找到圖象的交點.同時，也可以將圖象中的平行線用函數(shù)中的某些參數(shù)表示出來，通過分析函數(shù)的斜率和截距來理解平行線的性質(zhì).此外，還可以將圖象中某線段的長度用函數(shù)表示出來，通過計算函數(shù)值之差來得到線段的長度.這些轉(zhuǎn)化方法不僅加深了學生對函數(shù)性質(zhì)的理解，也提高了學生解決代數(shù)與幾何問題的能力.因此，在教學中，教師應該注重引導學生運用函數(shù)性質(zhì)與圖形之間的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)他們解決綜合題的能力.反比例函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)形式，在幾何和代數(shù)領域都有著廣泛的應用.通過研究反比例函數(shù)的圖象、公式和方程，學生可以深入理解反比例函數(shù)的特性和應用.

參考文獻：

[1]白雪峰，任媛媛，宋月娟.一道初中代數(shù)幾何綜合試題的多種解法與教學啟示[J].中小學數(shù)學（初中版），2020（11）：33-35.

[2]姚蔣詩.幾何直觀在初中代數(shù)教學中的有效落實策略研究[D].鞍山師范學院，2019.

[3]高曉軍.初中代數(shù)教學中培養(yǎng)學生幾何直觀的實踐研究[J].數(shù)學大世界（下旬），2018，（08）：44+43.