巧用圖象法求一元二次方程的近似根

【摘要】一元二次方程在數(shù)學(xué)中占據(jù)了重要的地位，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．對(duì)于求解一元二次方程，通常使用公式法或配方法．然而，有時(shí)候這些方法可能不適用，或者需要大量的計(jì)算．在這種情況下，可以嘗試用圖象法求出一元二次方程的近似根．本文介紹如何巧用圖象法求一元二次方程的近似根．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圖象法；一元二次方程

用圖象法求解一元二次方程的近似根，是快速處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法之一．根據(jù)一元二次方程寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象，找到根的可能位置，觀察根附近的函數(shù)值，確定根的近似值．

1探索規(guī)律找解法

例1方程2x2+x－2=0的近似根可以看作是下列哪兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）

（A）y=2x2和y=x－2．

（B）y=2x2+x和y=2．

（C）y=2x2－2和y=x．

（D）y=－2x2和y=x+2．

解析由2x2+x－2=0得2x2=－x+2，則方程可看作函數(shù)y=2x2和y=－x+2的圖象的交點(diǎn)，故（A）錯(cuò)誤；由2x2+x－2=0得2x2+x=2，則方程可看作函數(shù)y=2x2+x和y=2的圖象的交點(diǎn)，故（B）正確；由2x2+x－2=0得2x2－2=－x，則方程可看作函數(shù)y=2x2－2和y=－x的圖象的交點(diǎn)，故（C）錯(cuò)誤；由2x2+x－2=0得－2x2=x－2，則方程可看作函數(shù)y=－2x2和y=x－2的圖象的交點(diǎn)，故（D）錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng)本題考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，正確變形是關(guān)鍵．通過(guò)本例可以看出，一元二次方程的近似根可通過(guò)作函數(shù)圖象的方法求解．

2在解題中深化解法

例2小朋在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù)y=12xx－32．

（1）當(dāng)x≥0時(shí)，y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如表1，結(jié)合表1，畫(huà)出當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y=12xx－32的圖象；

（2）若關(guān)于x的方程12xx－32=kx－1有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則該方程其他的實(shí)數(shù)根約為（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

解析（1）根據(jù)列表，描點(diǎn)連線，如圖1.

（2）依題意，12xx－32=kx－1有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則過(guò)點(diǎn)2，1，12xx－32=kx－1的解即為y=12xx－32與y=kx－1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且y=kx－1過(guò)點(diǎn)0，－1，如圖2，作過(guò)點(diǎn)0，－1，2，1的直線，與y=12xx－32交于點(diǎn)A，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)可知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)約為4.2，則該方程其他的實(shí)數(shù)根約為4.2．

點(diǎn)評(píng)本題考查了絕對(duì)值與平方的非負(fù)性，方程的近似解．作經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，－1，2，1的直線，與y=12xx－32的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

3在應(yīng)用中鞏固解法

例3在函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．以下是探究函數(shù)y=x2+2x的性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程．列表如表2；在平面直角坐標(biāo)系中，描出相應(yīng)的點(diǎn)，用平滑的曲線連接，作出函數(shù)圖象如圖3所示．

（1）根據(jù)函數(shù)圖象，方程x2+2x+2=0有個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）現(xiàn)要建造一個(gè)體積為1立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池，其底面為一個(gè)正方形，已知側(cè)面造價(jià)為每平方米0.5萬(wàn)元，底面造價(jià)為每平方米1萬(wàn)元，配套設(shè)施1萬(wàn)元．設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為x 米，總造價(jià)為w元，請(qǐng)寫(xiě)出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出總造價(jià)不超過(guò)5萬(wàn)元時(shí)x的取值范圍（保留2位小數(shù)）．

解析（1）方程x2+2x+2=0的解，即y=x2+2x與y=－2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象可得y=x2+2x與y=－2只有1個(gè)交點(diǎn)，因此，方程x2+2x+2=0有1個(gè)實(shí)數(shù)根．

（2）依題意，w=1×x2+0.5×4×1x2×x+1=x2+2x+1，當(dāng)w=5時(shí)，方程x2+2x+1=5，即x2+2x=4，

根據(jù)函數(shù)圖象可得，方程x2+2x=4的正的近似解為x1≈0.55，x2≈1.65，所以，當(dāng)w≤5時(shí)，x的取值范圍為0.55≤x≤1.65．

點(diǎn)評(píng)本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象求方程近似解的應(yīng)用．畫(huà)出函數(shù)圖象后，根據(jù)題意可得w=x2+2x+1，當(dāng)w=5時(shí)，即x2+2x=4，觀察函數(shù)圖象，即可求解．

4結(jié)語(yǔ)

使用圖象法求一元二次方程的近似根具有簡(jiǎn)便、直觀的特點(diǎn)．通過(guò)觀察函數(shù)圖象，可以迅速找到根的位置，并且可以很方便地得到根的近似值．這對(duì)于那些不適合使用公式法或配方法的方程來(lái)說(shuō)，是一種非常實(shí)用的方法，尤其是解答選擇題時(shí)，根據(jù)方程的近似解的求解方法，可不用解方程而快速鎖定答案．

參考文獻(xiàn)：

[1]孫朝仁，朱桂鳳.理解教材、教法、學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課——以“二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似根”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（14）：12-15.

[2]方廷剛.圖象法解一元二次方程根的分布問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教師，1995（02）：48.