剖析拋物線上的動(dòng)點(diǎn)平行四邊形問(wèn)題

【摘要】動(dòng)點(diǎn)是命題的常見(jiàn)素材，往往設(shè)置成：通過(guò)點(diǎn)的不確定性，對(duì)應(yīng)的圖形存在不同情形.它與分類討論緊密相連，考查學(xué)生的思維縝密程度.本文對(duì)一道二次函數(shù)與平行四邊形結(jié)合的綜合題進(jìn)行分析與解答，幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，方法的掌握與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力與應(yīng)變能力.促進(jìn)學(xué)生思維的活躍性與思考深度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類討論；二次函數(shù)

1試題呈現(xiàn)

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A－1，0，B3，0，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接PB，PC，以PB，PC為邊作CPBD，設(shè)CPBD的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m .

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限，且CPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)x軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分時(shí)，直接寫出m的值.

2試題分析

（1）將點(diǎn)A－1，0，B3，0分別代入二次函數(shù)y=x2+bx+c，建立方程組求得b，c；或利用二次函數(shù)的交點(diǎn)式，求拋物線的解析式；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)及平行四邊形頂點(diǎn)的位置，確定點(diǎn)D在x軸上，再利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷PC∥x軸，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先明確CPBD的面積S=2S△PBC，所以求得S△PBC即可.又因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，三角形面積與鉛垂高、水平寬的關(guān)系密切.

利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x－3，設(shè)Pm，m2－2m－3，作PQ∥y軸交直線BC于Q，則Qm，m－3，則鉛垂高PQ用含m的式子表示.

由“點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，已知點(diǎn)P既可在直線BC的上方的拋物線上，也可在直線BC的下方的拋物線上，進(jìn)行分類討論，表示PQ的長(zhǎng)即可.

（4）點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，則CPBD的形狀不確定，要根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，畫出不同的圖形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的平移”來(lái)求解.

3試題解答

解（1）因?yàn)辄c(diǎn)A－1，0，B3，0在拋物線上，

所以拋物線的解析式為y=（x+1）（x－3），

即y=x2－2x－3．

（2）因?yàn)镃PBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)C，點(diǎn)P分別在拋物線上，不可能在x軸上．

所以點(diǎn)D在x軸上，

而BD∥PC，所以點(diǎn)P和點(diǎn)C為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，

而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)C（0，－3），

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，－3．

（3）作PQ∥y軸交直線BC于Q．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把C0，－3，B3，0，代入上式，

得b=－3，3k+b=0，

解得k=1，b=－3.

所以直線BC的解析式為y=x－3．

設(shè)Pm，m2－2m－3，

則Qm，m－3．

①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，如圖2，

PQ=m－3－m2－2m－3=－m2+3m，

所以S=2S△PBC=2S△PQC+S△PQB=2×12×3－m2+3m=－3m2+9m.

②當(dāng)m＜0或m＞3時(shí)，如圖3，

PQ=m2－2m－3－m－3=m2－3m，

S=2S△PBC=2S△PBQ－S△PQC=2×12×3m2－3m=3m2－9m．

（4）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，如圖4，設(shè)CD交x軸于E．

因?yàn)閤軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分，

所以S△DEB∶SCPBD=1∶8，

所以S△DEB∶S△BCD=1∶4，

所以S△DEB∶S△BCE=1∶3．

而OC=3，由同底的三角形面積之比等于它的高之比，得點(diǎn)D到x軸的距離為1，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．

因?yàn)樗倪呅蜟PBD為平行四邊形，BD與CP是對(duì)應(yīng)邊，將點(diǎn)D向下平移1個(gè)單位，則點(diǎn)D與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等．

所以將點(diǎn)C向下平移1個(gè)單位，則點(diǎn)C與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，

即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－4．

當(dāng)x=－4時(shí)，

x2－2x－3=－4，

解得x1=x2=1，

則P點(diǎn)坐標(biāo)為1，－4，

所以m=1．

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，如圖5，設(shè)CP交x軸于E．

因?yàn)閤軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分，

所以S△PEB∶SCPBD=1∶8，

所以S△PEB∶S△BCP=1∶4，

所以S△PEB∶S△BCE=1∶3，

而OC=3，

所以點(diǎn)P到x軸的距離為1，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，

當(dāng)y=1時(shí)，x2－2x－3=1，

解得x1=1+5，x2=1－5，

則P點(diǎn)坐標(biāo)為1+5，1或1－5，1，

所以m=1或1+5或1－5.

4試題評(píng)價(jià)

基于平面直角坐標(biāo)系中的平行四邊形求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題的解法多樣，有平移法、中點(diǎn)法、對(duì)點(diǎn)法，當(dāng)然也能用距離法、平行法解答.但是不管怎樣，都是根據(jù)平行四邊形的判定來(lái)解答，主要從對(duì)邊相等、對(duì)邊平行、一組對(duì)邊平行且相等，或者對(duì)角線互相平分四個(gè)角度來(lái)得出各種解法.

本題是二次函數(shù)的綜合題，通過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形結(jié)合，設(shè)置成求平行四邊形面積與三角形面積問(wèn)題，需熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.本題的難點(diǎn)在于：（1）運(yùn)用分類討論思想，讓動(dòng)點(diǎn)“動(dòng)”起來(lái)，得出符合題意的不同情形與位置的圖形.（2）面積問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)問(wèn)題，需綜合不同知識(shí)與方法，進(jìn)行推理、計(jì)算.