一題多解，解中尋道
2024-10-21 00:00:00李文彬
數(shù)理天地(初中版) 2024年19期
【摘要】圖形數(shù)量關系問題是近幾年各地中考的熱點問題之一，此類問題涉及平行線、角平分線、全等三角形等多個知識點，綜合性強，旨在考查學生的推理能力、構造能力、想象能力，體現(xiàn)新課標對學生數(shù)學素養(yǎng)的要求.本文結合一道典型例題，通過一題多解的方式探究解答此類問題的方法，以供讀者參考.
【關鍵詞】一題多解；初中數(shù)學；解題技巧
1例題呈現(xiàn)
如圖1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD⊥AC于點D，若CE平分∠ACB，交AB于點E，交BD于點F.
（1）求證：△BEF是等腰三角形；
（2）求證：BD=12（BC+BF）.
2解法探究
（1）證明因為∠ABC=90°，AB=BC，
所以∠ACB=∠CAB=45°.
因為CE平分∠ACB，
所以∠ECB=∠ACE=12∠ACB=22.5°.
則∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，
所以BE=BF，故△BEF是等腰三角形.
（2）①構造中位線
證明如圖2所示，延長AB至點M，使得BM=BA，連接CM.
因為BM=BA，AD=CD，
所以BD∥CM，BD=12CM，
則∠BCM=∠CBD.
因為∠ABC=90°，
所以∠ABD=∠CBD=45°.
因為BD∥CM，
所以∠ABD=∠M=45°.
則∠BCM=∠CBD=∠ABD=∠M=45°，
故BC=BM.
因為BD∥CM，
所以MC⊥AC，∠MCA=90°.
由（1）可得∠ACE=22.5°，
所以∠MCE=90°－22.5°=67.5°.
故∠BEF=∠MCE，
所以ME=MC.
因為BD=12CM=12ME=12（BM+BE），
所以BD=12（BC+BF）.
評注通過倍長線段的方法，構造出中點，再結合已知的中點，即可得到中位線.利用中位線的性質，可以得到平行和線段比值的條件，再將所證式中的線段合理轉化到其他位置，即可證得.
②引入?yún)?shù)
證明如圖3所示，過點F作FH⊥BC，交BC于點H.
因為CE平分∠ACB，
所以FD=FH.
設FD=FH=x，
因為FH⊥BC，
所以∠FHB=90°.
由（1）可得∠CBD=45°，
所以∠HBF=∠HFB=45°，HB=HF.
則△HBF是等腰直角三角形，
所以BF=BE=2x，CD=BD=BF+FD=2x+x.
在△FDC和△HCF中，∠DCF=∠BCF∠FDC=∠FHCFC=FC，
所以△FDC≌△HCF.
所以DC=HC=2x+x，BF+BC=BF+BH+HC=2（2x+x）=2BD.
所以BD=12（BC+BF）.
評注引入?yún)?shù)是證明圖形數(shù)量關系問題的常用方法.先設出未知量，再根據(jù)幾何條件分別表示出所證式中的線段的長度，選定一到兩個基準的線段，最后結合每個線段的形式，即可通過比值的形式證明.
③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用角平分線的性質
證明如圖4所示，過點E作EM⊥AC，交AC于點M，
即∠EMA=∠EMC=90°.
因為∠A=45°，
所以∠AEM=45°，
則∠A=∠AEM，
所以AM=ME.
因為CE是∠ACB的平分線，
所以∠BCE=∠ACE，EM=BE=AM.
在Rt△EMC和Rt△EBC中，EM=EBEC=EC，
所以Rt△EMC≌Rt△EBC.
所以MC=BC，AC=AM+MC=BE+BC=BF+BC.
因為BD=12AC，
所以BD=12（BC+BF）.
評注利用角平分線的性質來證明體現(xiàn)了軸對稱的思路，將原本的線段通過軸對稱的方式轉移到另一位置，實現(xiàn)條件的集中，簡化了題目的證明過程.
3結語
解答圖形數(shù)量關系問題可以從中位線、軸對稱、引入?yún)?shù)等多種角度進行有效轉化，從而得到不同的解題策略.學生在解答問題時，要注重題目的已知條件，探索其內在聯(lián)系，弄清題目的本質屬性，從而實現(xiàn)“一題多解”向“多解歸一”的飛躍.
