一道三角形不等關(guān)系問(wèn)題的解析

【摘要】三角形不等關(guān)系問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)中的經(jīng)典題型之一，對(duì)學(xué)生的思維能力和幾何直覺(jué)有較高要求.在初中階段的解題教學(xué)中，常常是就題論題，重視解題的最終結(jié)果而忽略方法的由來(lái)和解后的總結(jié)與反思.本文通過(guò)一道典型例題，就三角形不等關(guān)系問(wèn)題的解題策略提出看法，并舉一反三.

【關(guān)鍵詞】三角形；不等關(guān)系；解題策略

例題如圖1所示，已知△ABC.

（1）試在BC上找到D、E兩點(diǎn)（不包括BC的中點(diǎn)），使得連接AD、AE，此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形？若能，表示出面積相等的三角形；若不能，說(shuō)明理由.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，試證明：AB+AC>AD+AE.

解題策略

（1）因?yàn)镈、E兩點(diǎn)都在BC邊上，所以圖中的三角形都可以看做是“等高”的三角形，它們的高是點(diǎn)A到BC邊的垂線段，底是BC邊上的線段，要滿足只存在兩對(duì)面積相等的三角形，畫圖分析，可以發(fā)現(xiàn)需要滿足BD=CE，且B、D兩點(diǎn)不是線段BC的三等分點(diǎn).

（2）要證明此不等關(guān)系，聯(lián)想到三角形三邊的大小關(guān)系，通過(guò)平移的方法構(gòu)造三角形即可得證.

解（1）如圖2所示，當(dāng)BD=CE≠DE時(shí)，因?yàn)楦呦嗟龋浴鰽BD和△ACE、△ABE和△ACD的面積相等.

（2）證法1如圖3所示，過(guò)D、B分別作CA、EA的平行線交于點(diǎn)F，DF與AB交于點(diǎn)G，

則∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD.

在△AEC和△FBD中，∠ACE=∠FDBCE=BD∠AEC=∠FBD，

所以△AEC≌△FBD，AC=FD，AE=FB.

在△AGD中，AG+DG>AD，

在△BFG中，BG+FG>FB.

所以AG+DG+BG+FG>AD+FB，

AB+FD>AD+FB.

所以AB+AC>AD+AE.

證法2如圖4所示，過(guò)A、E分別作CB、CA的平行線交于點(diǎn)F，EF與AB交于點(diǎn)G，連接BF.

易得四邊形EFAC是平行四邊形，

所以FE=AC，AF=CE.

因?yàn)锽D=CE，

所以BD=AF，四邊形FBDA是平行四邊形，F(xiàn)B=AD.

在△AGE中，AG+EG>AE，

在△BFG中，BG+FG>FB，

兩式相加得AG+EG+BG+FG>AE+FB，

所以AB+AC>AD+AE.

證法3如圖5所示，取DE的中點(diǎn)為O，連接AO并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使FO=AO，連接EF、CF，延長(zhǎng)AE，交CF于點(diǎn)G.

在△ADO和△FEO中，

因?yàn)椤螦OD=∠FOE，DO=EO，

所以△ADO≌△FEO，AD=FE.

又因?yàn)锽D=CE，DO=EO，

所以BO=CO.

同理△ABO≌△FCO，

所以AB=FC.

在△ACG中，AC+CG>AG，

即AC+CG>AE+EG.

在△EFG中，EG+FG>EF，兩式相加得

AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF，

所以AC+CF>AE+EF，

AB+AC>AD+AE.

解后反思

在研究線段間的不等關(guān)系時(shí)，一般考慮以下幾種方法：（1）利用三角形性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；（2）利用在同一個(gè)三角形中的邊角關(guān)系：大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；（3）利用直角三角形中斜邊和直角邊之間的關(guān)系：斜邊大于直角邊；（4）利用公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

此題的三種證法其實(shí)本質(zhì)上都來(lái)自對(duì)上述方法（1）的考慮，其中如何構(gòu)造合適的三角形是關(guān)鍵.借助圖形變換構(gòu)造三角形是常用的方法，如本題證法1、2中使用了平移變換，證法3中使用了旋轉(zhuǎn)變換（△FOC可以由△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到）.

舉一反三

如圖6所示，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AC>DB+DC.

證法1如圖7所示，延長(zhǎng)CD與AB交于點(diǎn)E.

在△ACE中，AC+AE>CE，

在△BDE中，BE+DE>BD.

兩式相加，得AC+AE+BE+DE>CE+BD.

又因?yàn)镃E=CD+DE，AE+BE=AB，

所以AB+AC+DE>CD+DE+BD.

所以AB+AC>BD+DC.

證法2如圖8所示，過(guò)點(diǎn)D作任意直線與AB交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F.

在△AEF中，AE+AF>EF，

在△CDF中，DF+FC>DC，

在△BDE中，BE+DE>BD，

將上述三式相加可得：

（AE+BE）+（AF+FC）+（DE+DF）>EF+DC+BD，

所以AB+AC+EF>EF+DC+DB，

AB+AC>DB+DC.

評(píng)注此題中點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，在此背景下，解題思路難以開展，所以必然要適當(dāng)添加輔助線，而最終所求式是關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的不等關(guān)系式，則只能從三角形三邊關(guān)系入手.圖7和圖8是典型的兩種構(gòu)造方法，其特點(diǎn)是作完輔助線后，出現(xiàn)了更多的三角形，其中的邊長(zhǎng)不等關(guān)系也就得到了拓展，在每個(gè)三角形中分別得到相應(yīng)條件后相加即可得到最終的關(guān)系.

結(jié)語(yǔ)

著名的數(shù)學(xué)教育家趙憲初先生曾說(shuō)“先要舉三反一，才能舉一反三”，解題教學(xué)不應(yīng)該局限于正確答案的尋找，而應(yīng)該著重于思路的由來(lái)和方法的改進(jìn)，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中體會(huì)與理解問(wèn)題的本質(zhì)，而教師則承擔(dān)著點(diǎn)撥和總結(jié)的責(zé)任，幫助學(xué)生把握規(guī)律，并形成一套完整的解題經(jīng)驗(yàn)體系.兩者相互結(jié)合，才能實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)，共同促進(jìn)的目的.