洞察特征知來路，合理構(gòu)造知去路
2024-10-21 00:00:00施秋華
數(shù)理天地(初中版) 2024年19期
【摘要】圖形的特征是幾何問題的靈魂，也是解答問題的關(guān)鍵.解答平面幾何問題時(shí)，要明晰知識(shí)之間的聯(lián)系，從特殊的已知條件入手，構(gòu)造一些基本的圖形，將隱藏的條件顯化，分散的條件集中化，從而巧妙地化解難點(diǎn).本文以一道等腰三角形題目為例，探討以題目特征條件為核心的幾何圖形構(gòu)造思路.
【關(guān)鍵詞】平面幾何；初中數(shù)學(xué)；等腰三角形
1試題呈現(xiàn)
例題如圖1所示，正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接PA，PD，M，N兩點(diǎn)分別是BC，AP的中點(diǎn)，連接MN交PD于點(diǎn)Q.判斷△QPM的形狀并加以證明.
2問題分析
依據(jù)所給圖象，猜測(cè)△QPM是等腰三角形.要證明此結(jié)論，則需要證明∠QMP=∠QPM，考慮構(gòu)造全等三角形或者利用三角函數(shù)來證明.在構(gòu)造的過程中要思考條件“M，N兩點(diǎn)分別是BC，AP的中點(diǎn)”的作用，“中點(diǎn)”是此問題的一大特點(diǎn)，自然也是證明此問題的一個(gè)重要突破點(diǎn).
3解法展示
3.1中位線法
解法1如圖2所示，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE=BP，連接AE.
因?yàn)镻B=CE，
所以PB+BC=CE+BC，
即CP=BE.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.
在△DCP和△ABE中，DC=AB∠DCP=∠ABECP=BE，
所以△DCP≌△ABE，
則∠1=∠E.
因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
所以MB=MC，
MB+BP=MC+CE，
即MP=ME，
所以M是PE的中點(diǎn).
因?yàn)镹是AP的中點(diǎn)，
所以NM∥AE，∠2=∠E，∠1=∠2，
則QP=QM，
所以△QPM是等腰三角形.
解法2如圖3所示，取AD的中點(diǎn)E，連接NE，NB，
則AE=12AD.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC，AD=BC，
則∠ABP=90°，∠ADP=∠DPC.
因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
所以BM=12BC.
因?yàn)锳D=BC，所以AE=BM.
因?yàn)镸，N兩點(diǎn)分別是BC，AP的中點(diǎn)，
所以NE∥PD.
在Rt△ABP中，點(diǎn)N為AP的中點(diǎn)，
則NB=12AP=NP=NA.
所以∠NAB=∠NBA，∠NAE=∠NBM.
在△NAE和△NBM中NA=NB∠NAE=∠NBMAE=BM，
則△NAE≌△NBM，∠AEN=∠BMN.
又因?yàn)镹E∥PD，
所以∠AEN=∠ADP=∠DPC，
∠BMN=∠DPC.
則QP=PM，
所以△QPM是等腰三角形.
評(píng)注由圖形可知，△QPM與正方形ABCD的關(guān)系并不密切，題目條件并不能集中應(yīng)用.所以為了證明∠QMP=∠QPM，要將角轉(zhuǎn)化到其他的圖形內(nèi).結(jié)合“M，N兩點(diǎn)分別是BC，AP的中點(diǎn)”的條件，可以據(jù)此構(gòu)造中位線，利用中位線的性質(zhì)得到∠QMP=∠AEB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.
3.2三角函數(shù)法
解法3如圖4所示，過點(diǎn)N作NH⊥PM于點(diǎn)H，
則∠NHM=90°.
因?yàn)镸，N兩點(diǎn)分別是BC，AP的中點(diǎn)，
所以MB=12BC，PN=12PA.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD.
因?yàn)椤螻HM=∠ABC=90°，
所以NH∥AB，
則NHAB=PNPA=PHPB=12.
所以NH=12AB=12CD，BH=12PB，
HM=BH+MB=12PB+12BC=12PC.
在Rt△NHM中，tan∠QMP=NHNM=CDPC，
在Rt△PCD中，tan∠QPM=CDPC.
所以∠QMP=∠QPM，QP=PM，
所以△QPM是等腰三角形.
評(píng)注三角函數(shù)值可以間接地表示出角的大小.因此，構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形，將△QPM中的兩個(gè)角∠QPM和∠QMP放在Rt△NHM和Rt△PCD中或Rt△EFM和Rt△DPC中，從而利用三角函數(shù)值表示.
4結(jié)語
上述三種解法從中位線和三角函數(shù)值兩方面證明了等腰三角形.雖然方法有所不同，但相同的是中位線是對(duì)中點(diǎn)條件的一個(gè)顯著運(yùn)用，三角函數(shù)值也是借助了中點(diǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形和直角三角形，在直角三角形中利用邊長(zhǎng)的比值得到了三角函數(shù)值的大小.所以洞察問題的某些特征，才能為構(gòu)造幾何圖形指明方向，達(dá)到事半功倍的效果.
