一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題探究

【摘要】隨著數(shù)學(xué)教育的深入發(fā)展，一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題備受關(guān)注.本文探討一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題的解題技巧和方法，以一道例題分析一次函數(shù)與幾何圖形、代數(shù)表達(dá)式的緊密聯(lián)系，并提出解題策略，以幫助學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)這類問題，提高數(shù)學(xué)成績.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);初中數(shù)學(xué);解題技巧

1引言

一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題在數(shù)學(xué)教育中具有重要地位.通過掌握這類問題的解題技巧，學(xué)生可以更好地應(yīng)對(duì)這類問題，提高數(shù)學(xué)成績.本文將通過一道經(jīng)典例題，深入探討一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題的解題技巧，希望能為數(shù)學(xué)教育工作者和學(xué)生提供有益的啟示.

2試題呈現(xiàn)

如圖1所示，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線y=－3x+b與x軸交于點(diǎn)D，與y=x+2交于點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4.

（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）已知P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PD，PE所得的△PAB，△PDE的面積分別為S△PAB，S△PDE，設(shè)S△PAB=kS△PDE.

①如圖2，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為a－1，2a－4，且位于四邊形BODE內(nèi)，則k是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由；

②如圖3，若點(diǎn)F在x軸上，坐標(biāo)為－11，0，點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)k=1時(shí)，求FQ+PQ的最小值.

3思路分析

（1）將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)4代入y=x+2中即可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E代入y=－3x+b即可求解.

（2）①過點(diǎn)P作PM∥x軸交直線y=－3x+18于點(diǎn)M，PN∥y軸交直線y=x+2于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸，可得M22－2a3，2a－4，Na－1，a+1，由此即可得S△APE=12PN·xE－xA，S△PDE=12PM·yE－yD，將PN=5－a，PM=25－5a3，xE－xA=6，yE－yD=6代入即可求解.

②當(dāng)k=1時(shí)，S△PAB=S△PDE，即可求得點(diǎn)P4，0，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求得FQ+PQ的最小值為PF.

4解法探究

（1）因?yàn)辄c(diǎn)E在直線y=x+2上，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4，

所以E4，6，因?yàn)辄c(diǎn)E在直線y=－3x+b上，

所以b=18，

因?yàn)橹本€y=－3x+18與x軸交于點(diǎn)D，

所以D6，0.

（2）①k為定值，理由如下：

過點(diǎn)P作PM∥x軸交直線y=－3x+18于點(diǎn)M，PN∥y軸交直線y=x+2于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸，如圖4，

則M22－2a3，2a－4，Na－1，a+1，

因?yàn)橹本€y=x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

所以A－2，0，B0，2，

所以AB=22+22=22，

AE=AQ2+EQ2=62+62=62，

所以S△ABP=12S△PBE，S△ABP=13S△APE，

所以S△APE=12PN·xE－xA，

S△PDE=12PM·yE－yD，

因?yàn)镻N=5-a，PM=25－5a3，

xE－xA=6，yE－yD=6，

所以S△APE=35－a，S△PDE=55－a，

S△ABP=13S△APE=5－a，

所以S△PAB=15S△PDE，

所以k=15.

②如圖5所示，過點(diǎn)E作EC⊥x軸于點(diǎn)C，則C4，0，

所以S△ACE=12×6×6=18，

S△ECD=12×2×6=6，

所以S△ACE=3S△ECD，所以SΔPDE=13SΔAPE.

由（1）可得S△ABP=13S△AEP，

所以P在EC上時(shí)，S△PAB=S△PDE，

設(shè)P4，b且b≠6，依題意，當(dāng)P，C重合時(shí)，F(xiàn)Q+PQ最小，此時(shí)Q在原點(diǎn)，點(diǎn)P4，0，則FQ+PQ的最小值為15.

5結(jié)語

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，一次函數(shù)作為一種基礎(chǔ)而重要的工具，不僅與幾何圖形有著千絲萬縷的聯(lián)系，還在代數(shù)表達(dá)式中扮演著關(guān)鍵角色.本題是一次函數(shù)與幾何綜合問題，解答本題的關(guān)鍵是過動(dòng)點(diǎn)向x軸，y軸作垂線.

一次函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系密不可分.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率、截距等參數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)有著直接的聯(lián)系.通過分析一次函數(shù)的圖象，可以輕松解決與直線、點(diǎn)、角度等相關(guān)的問題.然而，在實(shí)際應(yīng)用中，一次函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合類問題往往具有一定的難度.學(xué)生可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為幾何或代數(shù)問題，降低求解難度.學(xué)生也應(yīng)該善于運(yùn)用圖象分析，將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，提高解題效率.同時(shí)還要熟練掌握一次函數(shù)的求解方法，如代入法、消元法等，拓寬解題思路.

參考文獻(xiàn)：

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